人教A版高中數學新舊教材的比較研究

農桂香 王守峰

[摘 ?要] 函數作為貫穿高中數學課程的主線，在整個高中數學教材中占有較大的比重. 基于此，文章以“函數的基本性質”這一小節為例，探究新教材與舊教材在知識結構等各方面的異同，并為新教材的使用提出幾點建議.

[關鍵詞] 高中數學;新教材;函數;比較研究

2019年5月，基于《普通高中課程方案和數學學科課程標準（2017年版）》編寫的高中數學新教材正式發布，并在2019年秋季學期開始在全國范圍內正式使用.本次修訂的高中數學新教材與舊教材相比在內容分布、知識呈現方式、例習題等方面有較大的變化.新教材的使用對數學教師而言不僅是一次嘗試更是一個挑戰，為了便于數學教師更好地開展教學，對新教材與舊教材進行研究、分析、比較就顯得尤為重要.本文選取2019年人教版（A版）高中數學教材（簡稱新教材）[1]和2004年人教版（A版）高中數學教材（簡稱舊教材）[2]的“函數的基本性質”這一小節作為研究對象，主要從內容分布、知識呈現方式、例習題變化這幾方面展開. 通過對新舊人教版高中數學“函數的基本性質”內容進行回顧和梳理，對其變化的特點及經驗進行總結和歸納，期望對中學數學教師的教和學生的學有借鑒意義.

[?]內容分布比較

人教A版高中數學新舊教材的“函數的基本性質”內容的分布如表1所示.

從表1可以看出，新舊版本教材在“函數的基本性質”這一內容上保持一致，知識點并無增加或刪改，變化在章節的編排上.舊教材的“函數的基本性質”這一部分內容分布在第一章，而新教材的“函數的基本性質”這一部分內容分布在第三章.

[?]知識呈現方式比較

1. 節首內容的比較

首先，新教材對“性質”的含義做了進一步解釋，提出“變化中的規律性也是性質”. 其次，在引導學生對函數的性質進行探究時，新舊教材的表述方式也有所不同.舊教材的表述是“函數在什么時候遞增或遞減”，而新教材的表述是“隨著自變量的增大函數值是增大還是減小”. 相比之下，新教材的表述更為準確，因為學生在初中階段已經利用函數圖像研究過函數值隨自變量的增大而增大（或減小）的性質，而沒有學過遞增或遞減的概念.新教材的表述與學生的已有認知經驗更為貼切.

2. 新舊教材內容變動分析

新舊教材在研究函數的基本性質時，都采用了圖像語言—文字語言—符號語言的方式，但是兩個版本教材的探究方式有所不同.

舊教材通過研究一次函數f（x）=x和二次函數f（x）=x2的單調性進而引出函數單調性的概念. 首先，舊教材先給出一次函數f（x）=x和二次函數f（x）=x2的圖像，讓學生觀察一次函數f（x）=x和二次函數f（x）=x2的上升和下降情況;其次，以二次函數f（x）=x2為例，列出x和f（x）=x2的對應值表，當學生對圖像和對應值表進行觀察后，再給出函數單調性的一般定義.在研究函數的奇偶性時，舊教材同時給出了相應圖像和部分函數值，讓學生進行觀察.

新教材研究函數的單調性時，主要借助二次函數f（x）=x2的圖像進行分析.與舊教材不同的是，新教材并沒有列出x和f（x）=x2的對應值表，而是通過對f（x）=x2圖像的觀察，用文字語言和符號語言去描述. 在研究函數的奇偶性時，新教材先給出了相關函數的圖像，接著設置探究環節，再取自變量的一些特殊值，觀察函數值的情況.

此外，新舊教材對于函數的三個基本性質的表述也不相同，以“函數的單調性”為例，相互對比如表2所示.

通過對比可知，新教材對于函數單調性概念的描述更加符號化，這是因為新教材在第一章中安排了“集合與常用邏輯用語”這一內容.

3. “思考”“探究”欄目的對比

舊教材主要包括“思考”“探究”“觀察”欄目;新教材刪去了“觀察”這一欄目，主要包括“思考”“探究”欄目.新舊教材“思考”“探究”欄目數量分布情況如表3所示.

由表3可知，新舊教材欄目的變化主要體現在“函數的單調性”和“函數的奇偶性”這兩部分內容上.

舊教材在“函數的單調性”這一部分內容中設置了一個思考題和一個探究題.設置思考題的目的是引導學生利用解析式f（x）=x2去描述隨著x的增大，相應的f（x）的變化情況，從而引出函數單調性的概念;設置探究題有助于加強學生用定義法判斷函數單調性的應用能力.

在探究“函數的奇偶性”時，舊教材給出了兩個觀察題和一個探究題. 設置兩個觀察題的目的是為了讓學生通過對函數圖像以及函數值對應表的觀察，去描述函數圖像的特征，從而引導學生理解奇函數和偶函數的概念. 在得到奇函數和偶函數的概念后，讓學生繼續思考——“思考”欄目中的兩個小問對學生進一步理解奇函數和偶函數的概念有促進作用.

新教材對“函數的單調性”進行探究時給出了兩個思考題.對函數f（x）=x2的單調性進行探究后，給出了“思考一”，設置“思考一”是為了讓學生類比函數f（x）=x2的單調性表述方式，對函數f（x）=x和f（x）=-x2的單調性進行表述，從而引出函數單調性的概念. 給出函數單調性的概念后，設置了“思考二”，“思考二”中的第一小問引入錯例，讓學生舉出反例，幫助學生從另一個角度形成對函數單調性概念的認識，認識到函數單調性概念中哪些因素是重要的，起著關鍵作用. “思考二”中的第二小問讓學生舉出例子，目的是讓學生清楚在定義域上的單調與在區間上的單調的區別.

在探究“函數的奇偶性”時，新教材設置了兩個探究題和一個思考題. 兩個探究題的設置旨在讓學生類比函數單調性的符號語言表述方式去描述相關函數圖像的有關特征. 在“思考”欄目中，新教材比舊教材多設置了一個小問，第三小問讓學生思考“如果知道y=f（x）為偶（奇）函數，怎樣簡化對它的研究”，引導學生利用偶（奇）函數的圖像及性質去解決問題，復雜問題簡單化，對學生的思維起著很好的鍛煉作用.

[?]新舊教材例習題的對比

1. 例習題數量對比

新舊教材例習題數量對比如表4所示.

新舊教材例習題數量相差不大，新舊教材在“函數的最大（小）值”和“函數的奇偶性”中設置的例題數量持平，在“函數的單調性”中新教材比舊教材多設置了一個例題.

2. 例習題內容對比

例題內容的變化主要體現在“函數的單調性”這部分內容上. 舊教材的例1讓學生通過圖像觀察對函數的單調區間進行描述，以及對函數在每一單調區間上是增函數還是減函數進行判斷. 新教材的例1讓學生根據定義，對函數f（x）=kx+b（k≠0）的單調性進行研究. 新舊教材的例2內容相同，新教材多設置了例3，讓學生根據定義證明函數y=x+在區間（1，+∞）上單調遞增.

通過對新舊教材的習題比較可知，新教材將習題分為三個部分——復習鞏固部分、綜合運用部分以及拓廣探索部分，分層次設置相關題目. 新教材對舊教材的大部分習題有所保留，對部分習題進行了刪減，同時增加了一些新題目.教材刪去了舊教材習題A組中的第1、6、8題以及習題B組中的第1、3題，新增了“復習鞏固”的第4題，“綜合運用”的第7、8、9題以及“拓廣探索”的第13題.

3. 例習題難度水平對比

由前面的分析可知，新教材對舊教材的大部分例習題都有所保留，故進行例習題難度水平對比時，將舊教材刪掉的那部分例習題（如例1，A組中的第1、6、8題，習題B組中的第1、3題）與新教材新增的那部分例習題（如例1、例3，“復習鞏固”的第4題，“綜合運用”的第7、8、9題以及“拓廣探索”的第13題）作為比較對象. 采用鮑建生教授提出的綜合難度模型，測定所選擇樣本的難度水平[3]. 綜合難度模型的難度因素、水平以及賦值情況如表5所示.

根據鮑建生教授提出的綜合難度模型對所選樣本的難度水平進行評定，由評定結果畫出如圖1所示的雷達圖：

通過對雷達圖的觀察可知，新教材在“函數的基本性質”這一節中的例習題的綜合難度整體大于舊教材. 具體來看，新教材中例習題的探究水平、推理水平、知識水平以及運算水平都是大于舊教材的，而新教材在例習題的背景水平上要明顯低于舊教材.

[?]總結與建議

通過對新舊教材中“函數的基本性質”內容進行對比分析可知，新教材與舊教材相比有如下特點：①在概念的探究上更加注重概念形成過程;②在知識的呈現上滲透著多種數學思想;③在知識的應用上更加注重概念的直接運用.為了在教學中更好適應新教材的這些變化特點，本文提出如下教學建議.

首先，教師要強化學生對概念的理解.新教材與舊教材相比，對概念的生成以及理解更為注重.教師實施教學時應結合學生已有的知識經驗，讓學生經歷諸如類比探究、抽象概括等一系列思維活動，經歷從個別到一般、從具體到抽象的探究活動，幫助學生搭建起已有概念和新概念之間的橋梁，從而把握新概念的本質. 此外，教師引導學生得出新概念后，還應對概念中的關鍵因素進行解釋. 教師在教學過程中可以通過舉反例的方式，讓學生對概念的理解更為深入.

其次，教師要在教學過程中滲透數學思想方法. 數學思想作為一種普遍適用的方法，它以具體數學內容為載體，又高于具體內容. 諸如轉化思想、分類思想、數形結合思想、化歸思想等都是常用的數學思想方法. 數學教師在數學教學中無形地滲透一些基本數學思想方法，可以幫助學生深刻認識所學內容，對學生核心素養的培養也有很大的促進作用.

最后，教師要加強對學生的思維鍛煉，提升學生的綜合能力. 通過對例習題內容的分析可知，新教材的例習題難度大于舊教材，但新教材中有生活背景的習題較少，大多是純粹的數學題，這說明新教材更加注重概念的形式化應用.此外，新教材對學生的探究能力、推理能力、知識儲備、運算能力等方面提出了更高的要求. 為適應新教材的這些特點，教師講解例習題時可以更換題目的條件或結論讓學生求解，引導學生總結解題的方法，提高學生的綜合能力.

參考文獻：

[1] ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書A版：數學（必修第一冊）[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2] ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書：數學（必修1）[M]. 北京：人民教育出版社，2004.

[3] ?鮑建生. 中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J]. 全球教育展望，2002，31（09）：48-52.