數(shù)學(xué)史視角下數(shù)列教學(xué)的實踐與研究

◎莊 嚴(yán)

(廣東省湛江市愛周高級中學(xué),廣東 湛江 524000)

數(shù)學(xué)是自然的,但在學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是抽象的、僵化的、不自然的.這有兩個原因：第一，人們對數(shù)學(xué)史不夠重視.關(guān)于數(shù)學(xué)史的研究不能只說數(shù)學(xué)的重要性,應(yīng)該更多強調(diào)數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的重要貢獻.第二，把數(shù)學(xué)史融入課堂,并不是單純地開設(shè)有關(guān)數(shù)學(xué)史的校本研修課，為了學(xué)數(shù)學(xué)史而學(xué),而是在平時的課堂教學(xué)中給學(xué)生營造一種文化氛圍,在贊嘆古人偉大成就的同時抒發(fā)自己的敬仰之情,給自己學(xué)習(xí)的動力,在課堂上體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文關(guān)懷和文化價值.

一、數(shù)列在高中數(shù)學(xué)課程中的地位

數(shù)列這一板塊在高中教材中只占了一章,在新高考中卻是必考知識點,所占的分值不少,是高考中的重點和熱點內(nèi)容.數(shù)列就像一條紐帶聯(lián)系著高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、不等式、解析幾何等知識,有著靈活多變的解題技巧,這也使數(shù)列成為高中數(shù)學(xué)的一個難點.它在日常生活中的應(yīng)用廣泛,比如銀行的分期付款、新冠病毒的傳播、氣象、退耕還林和堆放物品的總數(shù)等,都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決.

二、數(shù)學(xué)史對數(shù)列教學(xué)的價值與意義

1.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

對于很多高中生來說,他們對于“為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”這一問題的答案是模糊的,甚至對一部分學(xué)生來說,更是功利的,他們認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)然是為了取得好成績,是為了在高考中能夠脫穎而出,還有些學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是茫然的.在這樣的學(xué)習(xí)動機的影響下,學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效果可想而知.因此,擺在許多教師面前的難題就是培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣與動力.而將數(shù)學(xué)史融入日常教學(xué)過程中,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣行之有效的方法.比如,在數(shù)列的教學(xué)中,最經(jīng)典的案例就是數(shù)學(xué)家高斯小時候計算“1+2+3+4+…+99+100”的小故事,并且這一案例在數(shù)列教學(xué)中被廣泛應(yīng)用.在數(shù)列概念的教學(xué)過程中,教師可以高斯求和這一故事的講解為引子,讓學(xué)生先嘗試相關(guān)的解答方法,最后給出高斯的解答方法,這既能夠順利引出數(shù)列的概念,又有利于真正增強學(xué)生對于數(shù)列知識學(xué)習(xí)的興趣,激活學(xué)生的求知欲望,從而讓他們以積極主動的姿態(tài)投入數(shù)列知識的學(xué)習(xí)之中.

2.加深對知識點的理解

3.幫助學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)學(xué)

在高中階段有分科的過程,數(shù)學(xué)則是理科的龍頭代表.在高考的背景下,很多人會將文理科割裂開來.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)得只重視解題方法,而忽略了這一學(xué)科知識背后的文化價值及意義.比如,在學(xué)習(xí)數(shù)列時,很多學(xué)生只知道數(shù)列表現(xiàn)為a1，a2，a3，a4，…，an,但是對于數(shù)列的概念是模糊的,更不用說數(shù)列的歷史和由來.在這樣的學(xué)習(xí)狀態(tài)下,學(xué)生只將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為解決問題的必經(jīng)道路.在機械的解題訓(xùn)練中,學(xué)生對數(shù)學(xué)開始厭惡和排斥.但是新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該適當(dāng)反映數(shù)學(xué)歷史,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化觀.在數(shù)列教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史,能夠讓學(xué)生真正走出數(shù)學(xué)認(rèn)識的誤區(qū),感受數(shù)列這一數(shù)學(xué)知識背后的文化背景,全面認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值.

4.促使德育滲透

立德樹人是我國教育的根本任務(wù),高中數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)該以立德樹人為教學(xué)任務(wù)指導(dǎo),在數(shù)列教學(xué)中融入更多豐富的數(shù)學(xué)史資料,更好地滲透思想品德教育.比如,教師為學(xué)生介紹《九章算術(shù)》,可讓學(xué)生了解我國的數(shù)學(xué)專著,既有助于增強學(xué)生的民族自信心,也能夠激勵學(xué)生拼搏向上,讓他們以古人為榜樣,學(xué)著攀登數(shù)學(xué)高峰,即使遇到難題也會鍥而不舍.

三、利用數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情境

中華民族光輝燦爛的數(shù)學(xué)史是對學(xué)生進行愛國主義教育的豐富資源.用數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情境富有新意,能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍課堂氣氛,使其在高漲的熱情中繼續(xù)探索新知識,利用他們的好奇心持續(xù)研究,從而起到事半功倍的效果.對于教材“數(shù)列”這一章，我們可以找到很多有關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容,下面舉幾個用數(shù)學(xué)史進行情境導(dǎo)入的例子.

1.數(shù)列概念的授課過程

老師:我們來做一個游戲，一人一句話數(shù)字接龍:“一只青蛙一張嘴,兩只眼睛四條腿；兩只青蛙兩張嘴,四只眼睛八條腿；三只青蛙三張嘴,六只眼睛十二條腿……”以此類推,看看大家誰說得又快又對.

學(xué)生:一只青蛙一張嘴,兩只眼睛四條腿；

學(xué)生:兩只青蛙兩張嘴,四只眼睛八條腿；

學(xué)生:三只青蛙三張嘴,六只眼睛十二條腿；

學(xué)生:四只青蛙四張嘴,八只眼睛十六條腿；

學(xué)生:五只青蛙五張嘴,十只眼睛二十條腿；

……

老師:同學(xué)們說得很好,那我們把青蛙的數(shù)目、青蛙的嘴、眼睛、腿的數(shù)目分別記錄下來,可以得到怎樣的一列數(shù)呢?

學(xué)生:青蛙的個數(shù)為1,2,3,4,5.

學(xué)生:嘴的張數(shù)為1,2,3,4,5.

學(xué)生:眼睛的只數(shù)為2,4,6,8,10.

學(xué)生:腿的條數(shù)為4,8,12,16,20.

老師:通過以上每組數(shù)的例子,同學(xué)們自己理解一下數(shù)列的概念,并與課本做比較,看有什么不同.其實數(shù)列從古就有,我們再來看古代關(guān)于數(shù)列的有趣的例子.傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家在海灘上研究的數(shù)學(xué)問題有“三角形數(shù)”和“正方形數(shù)”,如圖所示,我們數(shù)一下,每個圖形中分別有多少個圓點?

學(xué)生:三角形數(shù)為1,3,6,10,15.

學(xué)生:正方形數(shù)為1,4,9,16,25.

這是數(shù)列的第一節(jié)課,較為簡單,內(nèi)容不多,教師引入數(shù)學(xué)史，自然而然地舉出例子,形象生動,通俗易懂,能滿足學(xué)生的獵奇心理,課后主動查資料,為后面的課程做好鋪墊.

2.等差數(shù)列的授課過程

3.等比數(shù)列的授課過程

“等比數(shù)列”這一節(jié)涉及生物學(xué)科中的細(xì)胞分裂,我國古代還給出了一個無窮遞縮等比數(shù)列,記載在《莊子·天下》中,“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”，這都可引入等比數(shù)列的概念.我們還可以借機科普一下數(shù)學(xué)史上有關(guān)等比數(shù)列的文字記載,出于《易·系辭上》:“河出圖,洛出書,圣人則之;兩儀生四象,四象生八卦.”我們的祖先是何等的聰慧,敬佩之心油然而生,身為華夏兒女也倍感驕傲.

4.無窮遞縮等比數(shù)列的授課過程

說到無窮遞縮等比數(shù)列,那就不得不提數(shù)學(xué)史上非常著名的“芝諾悖論”，講述的是古希臘的英雄阿喀琉斯是一位跑步健將,有一次他要與烏龜賽跑,但是這個大英雄永遠也追不上烏龜.聽完這個故事,學(xué)生對于跑步健將追不上烏龜這個結(jié)論紛紛表示不可能.這時，教師可以借助多媒體動畫解釋芝諾的理由是:阿喀琉斯每趕到烏龜之前的落腳點,烏龜就已經(jīng)往前走了一段,雖然它們之間的距離一直在縮小,但他永遠追不上烏龜，這個悖論中的所謂“無限”,就是阿喀琉斯在追上烏龜之前的這段空間距離,可以無限分割成無限小的距離段.阿喀琉斯并不是在努力跑向終點,趕上烏龜,而是在完成烏龜留下的一個又一個越來越短但又無限多的距離段.如果說有一段無限長的、只有起點沒有終點的距離,那么阿喀琉斯就是跑得再快,也是無法窮盡的.這樣就激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,下課后他們?nèi)匀换匚稛o窮,課后會自主查資料進行研究探討,滿足自己的求知欲.借助這個故事,此知識點已在學(xué)生腦中留下了深刻的印象,估計很難忘記了.

5.等差數(shù)列求和的授課過程

對于等差數(shù)列求和，課本上講述了一個大家耳熟能詳?shù)墓适?德國王子高斯小時候就用首尾相加的方法解決了1到100的求和問題,令老師和同學(xué)贊嘆不已.很多學(xué)生都知道這個故事,但是學(xué)生不一定注意到這種等差數(shù)列求和的方法有局限性,n只適合偶數(shù),不適合奇數(shù).同學(xué)們可以效仿高斯開動自己的創(chuàng)新思維,動手動腦探究等差數(shù)列的求和公式.這樣，這節(jié)課的內(nèi)容瞬間與學(xué)生拉近了距離,學(xué)生不僅理解了知識點,而且很有成就感,對知識印象深刻.

我國北宋政治家、科學(xué)家沈括早已解決了這個問題,他的方法叫作“隙積術(shù)”.教師投影出《夢溪筆談》中有關(guān)“隙積術(shù)”的原文,這是等差數(shù)列常用的數(shù)列求和方法——倒序相加法，這種方法常用于解決堆放物品的總數(shù)問題.比如，印度泰姬陵是世界文化遺產(chǎn),被譽為“完美建筑”,又有“印度明珠”的美譽.有這樣一個傳說,當(dāng)時陵寢中有一個特殊三角形圖案(等邊三角形),由100層的寶石堆砌而成,那么問題來了,這一共有多少顆寶石呢?

6.等比數(shù)列求和的授課過程

教師可使用多媒體向?qū)W生展示國王在國際棋盤放麥粒這個故事,并仿照這個故事,組織學(xué)生小組探究,在課前準(zhǔn)備好的棋盤上放大米.學(xué)生躍躍欲試,在實際操作中體會國王當(dāng)時的想法和現(xiàn)實的差距，從而使學(xué)生明白,凡事都要有理論依據(jù)做支撐,不可以憑感覺想當(dāng)然,要進行實踐才能下結(jié)論,培養(yǎng)了他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

四、利用數(shù)學(xué)史激活思維,鞏固強化

很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)都會有這種體會,課堂上老師講的內(nèi)容明明聽懂了,寫作業(yè)時卻一頭霧水,要么無從下筆,要么寫著寫著就斷了思路,十分苦惱.其實,這種現(xiàn)象就跟走迷宮是一樣的,上課時跟上老師的思路,就如走迷宮時前方有個領(lǐng)路人,不管什么岔路口只要跟上就行了,就算是不認(rèn)識路,機械地跟著也可以完全走出去,但是路不熟,所以在課后自己獨立走的時候結(jié)果可想而知.如果課堂上老師能引入一點數(shù)學(xué)史的知識,既有趣又能加深學(xué)生的印象,這就像在迷宮的岔路口點亮一盞指路的明燈,學(xué)生課后復(fù)習(xí)顯然增效很多.在以后的階段性復(fù)習(xí)當(dāng)中,由于印象深刻,也很容易喚醒記憶,讓人眼前一亮,還可以類比其他知識點,激活思維,全面提升.

五、利用數(shù)學(xué)史提升能力,歸納拓展思維

課堂小結(jié)能總結(jié)一節(jié)課的綱要,是一節(jié)課的靈魂.在一節(jié)課中,通過教師的引導(dǎo),大部分學(xué)生學(xué)會了新的概念,掌握了一些簡單的應(yīng)用,而這節(jié)課還沒完,數(shù)學(xué)文化博大精深,課堂上掌握的內(nèi)容只是管中窺豹,學(xué)生知識儲備有限,他們中還有些“知其然，不知其所以然”，這時教師就需要在課后拓展補充一些內(nèi)容,開闊學(xué)生視野,使其鑒往知來.教師可在課堂小結(jié)時拋出一個問題,使學(xué)生有意猶未盡之感,此時,數(shù)學(xué)史資料就可以閃亮登場了.

如教師在課堂最后肯定學(xué)生的課堂表現(xiàn),送詩一首,以表鼓勵：

遠看巍巍塔七層,

紅光點點倍加增.

共燈三百八十一,

請問尖頭幾盞燈.

學(xué)生感嘆詩中描繪的美景之時,會發(fā)現(xiàn)它里面竟藏著數(shù)學(xué)問題.

作為一名數(shù)學(xué)老師,用一首詩結(jié)束一節(jié)課,才華外露,自身的形象在學(xué)生眼中瞬間高大了幾分.學(xué)科的融合再一次表明數(shù)學(xué)并不是枯燥乏味的,數(shù)學(xué)中也孕育著美,我們要挖掘、發(fā)現(xiàn)、欣賞、體會數(shù)學(xué)之美.

我們在教學(xué)難度不大、課堂容量要求不高的課程時,可以多融入一些相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容.有趣的材料可以讓冰冷的數(shù)學(xué)知識變得有血有肉,使學(xué)生在課堂上變得活潑,吸引學(xué)生的注意力,并使他們對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生濃厚的興趣.這樣不僅不會影響教學(xué)目標(biāo)的完成,而且會幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)公式，并為下一堂課做準(zhǔn)備.