新工科教育下離散數學教學內容改革

摘? 要： 離散數學是培養計算思維能力的核心課程，教學內容抽象，理論性強。結合離散數學當前教學存在的不足之處和新工科教育要求，探索離散數學教學內容改革，以期提升新工科學生的離散化、抽象概括、形式推理、發散思維等計算思維能力。

關鍵詞： 新工科; 離散數學; 計算思維; 教學內容

中圖分類號：G642? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1006-8228（2022）05-82-03

Teaching content reform of discrete mathematics in the emerging engineering education

He Kun

Abstract： Discrete mathematics， which has the characteristics of abstract content and strong theory，is a core course to cultivate the ability of calculating thinking. Combining the problems existed in teaching of discrete mathematics and the requirements of emerging engineering， the reform of discrete mathematics teaching content is explored. It is expected to improve the calculating thinking abilities of students， such as discretization， abstract generalization， formal reasoning， and divergent thinking.

Key words： emerging engineering; discrete mathematics; calculating thinking; teaching content

引言

新工科以互聯網和工業智能為核心，培養學科交叉、適應并引領產業發展的復合型人才，為跨界整合、解決復雜工程問題奠定基礎[1]。其培養的復合型人才不僅具有扎實的專業知識，還具備相關專業知識抽象表示、邏輯思維、形式化證明、模型構建和離散求解等計算思維能力[2]，計算思維是探索和解決大型復雜工程問題的可行途徑。

離散數學是純數學與計算機科學的橋梁，培養計算機科學和軟件工程專業學生從離散對象中探究潛在的關系、構建抽象模型、設計離散算法和解決問題可行性等能力[3]。該課程主要研究離散量的結構及關系，側重于運用數學語言描述對象狀態、關系和變化過程。其涉及的基本概念、理論和推理方法有助于培養學生運用計算機挖掘對象關系、多角度解決數值問題和完備分析問題等技能。該課程傳授的理論知識、方法和思維技能廣泛用于計算機科學和軟件工程專業的建模分析和驗證等方面，為設計開發魯棒的、完備的和高性能的應用軟件奠定基礎。

在新工科指導下，工科教育以多學科理論交叉為基礎，以工程應用為導向，繼承相關專業的優點以便利用人工智能、大數據分析技術解決復雜的工程問題。傳統工科專業與計算機的有機結合，對計算思維提出了新的要求，從而對離散數學教學的知識結構、知識運用和邏輯思維訓練等內容提出了新的挑戰[4]，具體包括以下四方面。

⑴ 對離散數學的知識結構提出挑戰。隨著傳統工科專業和人工智能的深度結合，加速了工科專業學生的計算思維培養需求，延展了集合關系的計算機表示、關系分析及其函數構造的應用領域，提高了同態和同構思維在不同行業的創新應用。同時，降低了部分知識的重要性如數論和組合數學。

⑵ 對離散數學知識的運用提出了高要求。新工科理念驅使的學科交叉歸根結底是數學模型和可行計算方法的有機結合，這促使離散數學應適當減少純理論知識，致力于培養學生探索自身專業的離散對象內在關系、關系分析和多角度解決實踐問題的能力。繼承傳統工科學生對解的存在性和表示等優點，探索解的可行性分析，促使理論轉化為實踐。

⑶ 跨學科計算思維能力培養。新工科建設要求學生在掌握專業理論知識的前提下，實現專業術語的符號化、定理數據化，推理過程化和模型離散化，結合人工智能解決本專業大型復雜的工程問題。

⑷ 跨學科發散思維和創新能力培養。跨學科創新需繼承傳統相關學科的優點，實現相關學科知識和技能的互補。隨著社會經濟的快速發展，各行業相互滲透，這造成了憑借單一專業知識難以解決的行業問題日益增多，如海量數據的信息挖掘和解空間遷移。為了解決新出現的行業難題，這需要整合相關學科的知識體系、將相關學科的先進技術融于一體、培養學生的發散思維。

1 傳統離散數學教學內容缺陷

目前離散數學教學內容主要包括數理邏輯、集合論、圖論和代數系統，有些還涉及數論、組合數學和概率論等內容[5]。其數理邏輯主要研究自然語句的符號表示、形式證明和驗證推理，從簡單語句的共性出發，培養學生對離散對象的概括能力;集合論以集合元素為研究對象，探索集合元素的二元關系、計算機表示和關系性質，以數據聚類為實例延伸集合論的實踐環節;圖論是二元關系的一種直觀表示和推廣，有利于從局部和整體出發挖掘集合關系。在圖論知識的教學中以計算機網絡路徑尋優為實例，鍛煉學生分析問題的能力。代數系統的教學中以運算為出發點，揭示不同運算之間的內在聯系和構造新運算，以支持向量機的多項式核函數和徑向基函數為實例，展示新運算解決問題的有效性。傳統離散數學教學內容及其實踐均是以計算機科學和軟件工程專業為基石，致力于培養學生的概括抽象能力、邏輯推理能力和歸納創新能力。但面對跨專業的計算思維培養，其教學內容過于理論化、知識點分散而獨立、相關專業的應用實例較少。這些缺陷使得該課程的教學內容、知識點和技能運用能力難以在其他工科實踐中得到體現。

⑴ 教學內容過于理論化[6]。離散數學具有多概念、多符號、強理論、高度抽象等特點，這使得教師在授課過程中傾向概念定義、符號說明和理論演繹推理，側重于數學的抽象性和嚴密性，強調理論結論和證明技巧。忽略了離散數學的工業應用背景，使得學生被動地灌注了大量概念、證明技能，推理方法和定理結論，但因缺乏與專業具體問題的有機結合，造就了“學而不用”的現象，從而難以培養學生對自身專業知識的概括能力、分析推理能力和靈活運用能力。

⑵ 教學內容過于專業化。傳統離散數學的教學內容主要研究離散量的結構及關系，它為計算機科學和軟件工程專業的數據結構、算法設計與分析、 編譯原理、數據庫原理、人工智能等課程提供數學理論基礎。離散數學知識點的實例主要來源于機器學習、計算機網絡和通信編碼等專業領域，而涉及跨行業知識的應用實踐環節較弱，如離散數學中關于圖細化僅以概念形成給出，沒有具體闡述細化方法和及其優缺點，這限制了圖細化在有限元分析方法（物理專業）的拓展應用。薄弱的實踐環節不能有效激發跨專業學生對該課程學習的興趣，導致教學效果不理想。

⑶ 教學知識點過于獨立分散[7]。離散數學的教學內容主要涉及自然語句、集合、圖論和運算等對象，且每個對象分別對應各自獨立的、自成體系的知識模塊。其中數理邏輯根據簡單語句的共性，對命題進行命題符號化表示，結合推理規則進行符號推理演算和證明;集合側重于闡述元素關系的存在與否，關系的共性及其應用;圖論以二元關系的直觀表示為基礎，借助鄰接矩陣和關聯矩陣分析圖的道路、連通分支數和子圖。代數系統根據運算的可交換性、可結合性、幺元和逆元的存在性，講述半群、群和布爾代數及其應用。這些對象及其內容自成體系，強調知識模塊的獨立性和完備性，使得學生支離破碎地學習離散數學知識點，缺乏系統掌握相關內容。各自獨立的知識模塊削弱了離散數學與專業課程的關聯，使得相關內容在工程問題分析、模型構建、模型離散化和求解的可行性等方面未充分發揮其作用。同時每個知識模塊具有多概念、多公式，強理論、強抽象和強邏輯等特點，這種“兩多三強”的特性導致大部分學生將離散數學當作一門純數學理論課程，難以將所學知識應用于實踐。

2 離散數學教學內容改革

跨學科交叉專業應以多學科交叉理論為基礎，實踐教學為重點，培養工程實踐能力、創新能力和智能化應用能力，達到自主創新解決業界問題。對此，學生需具有多學科專業語句符號化，專業相關的形式化推理、演繹和證明能力，挖掘對象關系、計算機表示、模型創新構建和可行計算等思維能力。面向跨學科計算思維的培養需求，離散數學的教學內容應繼承傳統工科教學優點，結合計算機科學和工業智能，培養交叉專業學生的歸納能力、概括能力、計算思維和工程實踐能力。

2.1 教學內容系統化

傳統工科專業課程普遍具有研究對象明確、知識模塊聯系緊密等特點。如電力系統規劃課程以電網為對象，僅僅圍繞電網規劃和建設，分析不確定因素對電網的負面影響和電力預測等內容。面對學生習慣于接受系統性的知識內容，離散數學的知識模塊需要重組優化，突出知識模塊間的潛在聯系，彌補其獨立性。如在離散數學教學過程中，以自然語句為對象，根據語義將語句分為命題（對象外在屬性判斷）或謂詞（對象內在關系的判斷），分析命題和謂詞的共性以及兩者的差異性;結合謂詞邏輯研究對象的內在關系，引申出集合和二元關系表示、關系性質分析等知識，分析二元關系的不同表示之優缺點，對關系的有向圖表示進行延續講述圖論相關概念。綜合分析離散數學中各個知識模塊間的關系在多學科交叉教學中具有以下優點：

⑴ 有助于激發學生持續不斷地學習離散數學的相關知識;

⑵ 在分析過程中有助于培養學生分析問題能力，探究傳統方法的優缺點，激發學生從不同角度提出創新思想;

⑶ 有助于學生系統地學習、掌握離散數學知識和技能。

2.2 教學內容側重于抽象概括和形式推理能力培養

傳統工科專業課程中涉及大量專業術語和定理，這些術語和定理均利用自然語句描述連續對象。為了運用計算機解決定理相關的工程問題，對專業術語和定理的數據離散化處理是首要環節。結合離散數學命題符號表示的本質，培養學生從不同角度對專業術語和定理進行數據離散化表示能力。從數據表示方面鼓勵學生在本專業領域的創新，如集合的特征函數表示彌補了經典集合的不足。

離散數學的代數系統摒棄運算差異性，將注意力集中于運算的基本性質，揭示運算更一般的規律性。以此為例，在教學內容上應致力于培養學生對不同問題高度抽象能力，使學生把握事物本質并反過來指導實踐中的深入應用。借助此模塊知識講授，分析不同專業的研究對象和具體問題的共性，培養學生概括能力，為引領業界奠定基礎。

2.3 教學內容注重發散思維能力培養

離散數學應有助于培養跨專業學生多角度分析解決具體問題的能力，如數理邏輯學模塊運用直接法、CP規則法、反證法和機械消元法等進行形式證明同一問題。以此為基礎，借助數學符號推理訓練學生分析問題的能力，總結不同方法可解決問題的前提條件，提升學生解決問題的靈活性;比較各種方法的優缺點，激發學生創新性地提出新方法，以便彌補傳統方法的缺點。以集合的二元關系表示為例，分析其集合表示、圖表示和矩陣表示等方法各自優點，如集合表示具有緊湊性;矩陣表示有利于計算機分析關系性質;圖表示有助于主觀分析元素間的局部性和整體性。在交叉專業基礎知識的指導下，培訓學生的發散思維能力。

2.4 教學內容強調分析問題的完備性

離散數學中大多數定理均具有前提條件，這類似于不同專業理論結論的邊界條件。類比分析前提和邊界條件兩者共性，模擬離散數學中對不滿足定理前提條件問題的解決方法。結合專業結論的邊界條件和專業知識應用條件的多樣性，培養交叉專業學生分析問題的完備性能力。

3 結束語

傳統工科與計算機科學的有機結合延伸了離散數學教學內容在交叉學科的廣泛應用。在傳統工科專業理論基礎上，繼承傳統離散數學教學內容的優點，激發學生的探索創新學習，擴展專業知識的應用領域。 面對交叉專業的離散數學教學應具有知識系統性、適當減少理論知識和增加實例分析環節，彌補傳統內容過于理論化的不足。特別是引入專業相關的問題分析、模型可行計算和工程實踐，側重于培養學生的抽象概括能力、發散思維能力和全面分析問題能力，使離散數學教學內容在新工科理念驅使的交叉專業應用型人才培養中發揮重要作用。

參考文獻（References）：

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[7] 張順利，黃文芝.計算思維導向的離散數學混合教學模式

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收稿日期：2021-09-16

*基金項目：四川大學新世紀教育教學改革工程研究項目“計算思維能力培養在離散數學課程建設中之探索與實踐”（SCU9245）

作者簡介：何坤（1972-），男，四川巴中人，博士，副教授，主要研究方向：計算機圖像處理和模式識別。