追本溯源 激活思維

黃晚霞

問題是數(shù)學的心臟，培養(yǎng)學生利用數(shù)學知識與思想方法去解決問題的能力是數(shù)學教學核心任務之一，數(shù)學標準強調在數(shù)學活動中，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，并形成解決問題的一些基本策略，縱觀近幾年中考，數(shù)學壓軸題的得分率不盡人意，很多教師在復習中花了大量精力反復訓練、不斷強化，學生也疲于應付，但效果不明顯，甚至沒有效果，究其原因，教師以題論題，強調課堂容量，卻沒有“授人以漁”，使得學生面對中考壓軸題中復雜多變的情景，無從下手、束手無策，下面以一道習題的教學為例，談談筆者的教學感悟與反思.

1 問題呈現(xiàn)

如圖1，將半徑為4的圓O沿弦AB折疊，圓上點O‘折疊后恰好與圓心O重合，連接AO并延長交圓O于點C，連接BC.點P為弧OB上一動點，點M，N分別為線段OC，BC上一動點，求APMN周長的最小值.

2 試題分析

初看題目貌似平凡，細細品味才發(fā)覺它有著深藏不露的“精彩”，本題以圓為載體，結合折疊、含30。的直角三角形、動點求最值等有關問題，著重考查學生運用數(shù)學模型以及分析問題、解決問題的能力，其文字敘述簡明扼要、內容豐富，對學生的綜合能力要求較高，

本題中，點P為弧OB上一動點，點M，N分別為線段OC，BC上一動點，總共三個動點.如何在三個動點的環(huán)境下，追尋周長的最小值是本題的難點，解決問題的關鍵點有：如何化曲為直求三角形周長;如何三角形周長用CP表示;如何利用模型求最值，因此教學中做到引導學生追本溯源，建立模型，突破思維障礙，是教學的關鍵.

3 教學過程

3.1 找準支點，合理鋪墊

本題主要是考查在運動過程中幾何線段、圖形周長求最值的問題，問題解決必然要建立在學生已有的知識、方法、經驗和模型的基礎上，特別是學生具備的方法、模型應是教師教和學生學習的重要支撐點，也是學生學習發(fā)展的生長點，合理鋪墊是打開思維、解決問題的鑰匙，本題是三個動點求三角形周長的問題，學生已有一定的知識和方法，比如一個動點或兩個動點時的將軍飲馬問題等等，在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱變換化曲為直，把復雜問題轉化為容易解決的問題，為了更好幫助學生，做了以下鋪墊，

教學鋪墊1：如何解決兩個動點分別在兩條直線上運動的最值問題？

己知：如圖2，A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小，

分析分別作點A關于OM，ON的對稱點A‘，A”;連接A'A”，分別交OM，ON于點B，點C，則點B，點C即為所求，

教學鋪墊2：圓外一定點與圓上一動點的距離最值問題，

如圖3，點P是圓O上一點，點A是圓O外一點，當點P動到點B時，AP最短，當點P動到點C時，AP最長.

3.2科學轉化，解決問題

3.2.1化動為靜，用模型

本題中，點P為弧OB上一動點，點M，N分別為線段OC，BC上一動點，共三個動點，如何在三個動點的環(huán)境下，追尋周長的最小值.化動為靜，假設點P是弧OB上一定點，點M，N分別為線段OC，BC上一動點，化為兩個動點問題，降低難度，利用教學鋪墊1，化陌生為熟悉，具體如下，

首先，根據(jù)對稱性可知OO'⊥AB，且OK=1/2OO'，

=1/2OA.因此sin ∠CAB1/2，可得∠CAB=30度，由于

AC是直徑，所以∠ABC= 90度，所以∠ACB= 60度，假設點P是弧OB上的一定點，作點P關于直線AC的對稱點P‘，作點關于直線BC的對稱點P”，連接PP”，分別交線段AC，線段BC于點M，N，則L△PMN= PM+PN+ MN= P'M+ MN+P”N=P|'P”，所以當PP”最小時，L△PMN取最小值.

3.2.2激活思維，化難點

問題轉化為如何求P'P”的值？但P”的長度和位置會隨著點P的變化而變化，而且關系不明顯.變不明顯到明顯，這是解決本題的另一個關鍵，

現(xiàn)在把問題進一步轉化為點P是弧OB上的一動點，如何求線段CP的值？

3.2.3 溯源模型，破障礙

如何解決這個思維障礙？再次追本溯源，發(fā)現(xiàn)點P在以O‘為圓心，OO‘為半徑圓上的運動，點C為圓O‘外一點，這就是圓中最值基本模型“圓外一點與圓上一點的距離最值問題”.

4 教學反思

4.1 追本溯源，突出模型

數(shù)學建模思想是一項重要的數(shù)學核心素養(yǎng)，幫助學生建立數(shù)學模型并用模型去解決實際問題是教學的重要目標，初中幾何問題中蘊含豐富的模型，比如“將軍飲馬”、“一線三等角”等，幾何模型的教學是培養(yǎng)學生數(shù)學直觀素養(yǎng)，樹立學生建模意識的重要途徑，在總結、提煉、運用模型同時，要引導學生弄清模型所蘊含的知識本源和數(shù)學思想方法.

4.2 挖掘思想，提升素養(yǎng)

教學中中考壓軸題，情境復雜，綜合性強，對學生分析問題、解決問題的能力要求較高，涉及到數(shù)學思想、方法多，在教學中，教師要有意識總結提煉數(shù)學思想和方法，在本題的教學中要以問題為導向，突出模型、轉化、運動變化等思想，如在問題的解決中將P點化動為靜，動靜結合，化曲為直求周長以及將P'P”的長轉化CP，最終將問題轉化為模型去解決，從而實現(xiàn)所求目標，整個過程突出轉化思想、模型思想，通過不斷總結、提煉、運用數(shù)學思想，展開學生的思維，在課堂教學中落實和發(fā)展學生數(shù)學建模、幾何直觀和邏輯推理等核心素養(yǎng)，

參考文獻

[1]戴秀梅.對一道經典數(shù)學題的再探究[J].中學數(shù)學教學參考，2020（3）（中旬）：58-60