2019年浙江省高考數學第21題的探究與拓展

施利強 江戰明

本文以2019年浙江省高考數學第21題的圓錐曲線試題為例，探究問題的本質，并從多角度進行拓展.

1 試題再現

如圖1，過焦點F（1，0）的直線與拋物線y2= 2px（p>0）交于A，B兩點，點C在拋物線上，AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q（點Q在F點右側）.

（1）求拋物線的方程及準線方程;

（2）記AAFG，△CQG的面積分別為S1，S2，求S1/S2的最小值及此時點G坐標.

1.1 試題解讀

本題考查了拋物線的幾何性質、在直線與拋物線相交背景下求兩三角形面積比的最值問題，主要涉及直線與拋物線的位置關系等知識點，本題是圓錐曲線中的“非對稱性問題”，主要涉及圓錐曲線中設點、設直線的切入問題，其最大難點在于三角形面積的表示以及復雜的函數運算以及最值求解.

1.2 試題解析

本題求解的切入點比較寬泛，可以設直線、可以設點、也可以通過面積比值化簡后再進行最值運算，但三種方法沒有大的本質區別.最終都是殊途同歸通過函數求出面積比的最值，筆者將進一步挖掘問題的本質并進行拓展.

2 試題拓展

2.1變定曲線為任意拋物線

變式1如圖1，過焦點F（P/2，0）的直線與拋物線y2= 2px（p>0）交于A，B兩點，點C在拋物線上，AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q（點Q在點F右側）.記△AFG，△CQG的面積分別

評注 本題將拋物線改為任意拋物線，其它條件不變，發現跟原題的結果是一致的，并求得此時重心坐標為G（p，0）.

2.2 變定點為任意點

變式2如圖2，過x軸正半軸上定點P（s，o）的直線與拋物線y2= 2px（p>0）交于A，B，點C在拋物線上，AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q（點Q在點P右側）.記AAPG，△CQG的面積分別為S，S2，求S1/S2的最小值及此時點G坐標，

答案：G（2s，0）.

評注 變式2計算的核心與變式1類似，因此筆者只給出答案，以下同，本題在變式1的基礎上進一步將條件改編，將定點變為數軸正半軸上的任一點，發現結論也是一樣的，讓人聯想到本題的結論與定點的位置并無關系，

評注 本題將問題放到橢圓中，橢圓比拋物線有更多的對稱性質，題干中略去了焦點位置關系的條件，改為A，C兩點的位置關系，求解得到面積比的最值，跟拋物線中的結論一致，與拋物線中不同

評注 本題在變式3的基礎上再進一步加強了條件，定點變成了橢圓長軸上的非焦點，此時要取到面積比的最值需要保證定點的范圍.

3 背景探究

在對本題的一題多解探究和變式研究過程中，不難發現該模型在不同條件下面積比的最小值是不變的，因此這個問題應該有更深的背景.

3.1 條件探究

注意到原題中條件“點Q在點F點右側”，由對稱性不妨假設Yi>O，然后分四種情況進行討論，

①當Y128時，由解法3可知兩面積比為：

從上述討論可以看出本題中條件“點Q在點F右側”的必要性，缺少這個條件將要討論最值取等的條件，進一步畫出面積比的函數圖象，從圖象可以看到存在兩個極值點xA=√3-2，XB=√3-2，而題給條件是將比值限制在了極值點所在區域內，

4 總結反思

從上述探究不難發現，本題的模型可以從拋物線上三點推廣到橢圓或雙曲線上三點，也可以拓展到任意三點，直接“架空”曲線，從這個角度講，本題失去了圓錐曲線解析的本質，但確實給人以耳目一新的感覺，或許試題已經很難用“難或簡單”加以評論，因為它本身就是在考查學生的綜合素養，那么，如何在有限的時間里，實現“透過表象看本質”？相信只要在平時的教學過程中注重對問題本質的探究，注重學生發散性思維的培養，注重學生核心素養的提升，那么還是有可能快速破解此類問題的，或者至少會進行多角度嘗試并簡化運算，7AE62EAE-0879-451A-AA99-95CA3C89A06E