結構不良試題的編制研究

許佳銘

1 問題提出

作為新高考數學的考試內容，結構不良試題的解決，對考查學生的核心素養、關鍵能力和必備知識起到關鍵的作用，能有效地發揮考試的選拔功能，根據問題空間是否明確，可以把問題劃分為結構良好的問題與結構不良問題，前者是初始狀態、目標狀態和算子（解決問題的方法和途徑）都很明確的問題，而后者則是這三者中至少有一個沒有明確界定的問題[1].

結構不良問題主要特征有：①問題條件或數據部分缺失或冗余;②問題目標界定不明確;③具有多種解決方法、途徑;④具有多種評價解決方法的標準;⑤所涉及的概念、規則和原理等不確定[1].

在數學學科的試卷中，所設置與考查的結構不良試題，應具備以下三類特征之一：條件部分缺失、所求問題并不明確、解決方法并不一致，這與開放性試題有著明顯區別，開放性試題更注重對學生綜合能力的考查，而結構不良試題應注重在所給背景問題及條件下，考查學生建構數學問題的能力以及分析問題和解決問題的能力，

作為研究對象的新題型，試題不能太難，要掌握在中等難度;知識內容不能太復雜，要限制涉及的知識點的數量;能力要求不能太高，也要限制考查能力的種類和層次[1].當結構不良試題得到明顯的反饋信息后，再根據實際情況作出調整，對難度、知識點、能力等作出更具體的要求，當前的試題整體難度，應該控制在中等或中等以下，當然，從發展趨勢上看，結構不良試題的難度也會在后面作出一定的調整，總的來說，可以通過對以上三個特征的分析，以結構良好試題作為鋪墊，對條件、問題、方法作出調整，編制結構不良試題，筆者以數列為例，通過研究數列結構不良試題的命制，給出具體實例，據此提出解決結構不良試題的策略.

2 結構不良試題的編制研究

2.1從問題條件缺失思考

從“問題條件缺失”入手，可以發現，在解決某個問題時需要一些具體條件，因此在編制時讓題目減少其中一個條件，提供多個與之相關的條件讓學生選擇，而不同的選擇將導致不同的結果，不同的條件所造成的難度也不一樣，從不同方面考查學生對知識點的掌握程度，

因此本類問題的編制思路在于要清晰所考查的問題的本質是什么，比如考查等差數列中前n項和的函數性質，問題的關鍵在于公差d，則可圍繞d的取值情況，編制d>0，d=0，d<0三個條件供學生選擇，如題1：

設計意圖問題指向非常明確，若 Sn存在最小值，則d>0.題干條件首先考查學生對前n項和Sn與通項公式an的關系的掌握程度，而條件①②③結合等差數列的前n項和公式、等比數列的定義（等比中項）、等比數列的前n項和公式等基本問題，考查學生對數列基本知識點及解決方法的掌握程度，三個條件都可轉化為用基本量表示，再求出具體d的值后，即可解決所求問題，三個條件以及問題Sn最值的解決，難度基本一致，考查學生的運算求解能力與數學運算核心素養，

在題1基礎上，如果更進一步考查學生的思維能力，在所有條件不變的情況下，將“Sn≥Sk恒成立”修改成“Sk>Sk+1且Sk+10，更進一步，還需滿足“d≠0且d≠4”這個條件，對學生的能力提出了更高的要求，同時也給善于思考的學生提供了展示的機會.

2.2從問題目標界定思考

從“問題目標界定”入手，可以發現，問題目標本身就屬于所選條件，編制時所選擇的條件就是問題本身，不同的條件對應不同的問題，但所屬問題的類別應一致，考查學生對同一問題解決的不同方法的掌握程度，因此關鍵就在于把條件編制成問題，比如考查數列的通項公式，除了利用基本量法求解等差等比數列（己知數列類型）的通項公式外，諸如Sn與an的關系、累加法、累乘法等問題都可編制成條件，如題2-1：

設計意圖備選條件即問題，因此聚焦于數列{an}的通項公式的求解，條件①需要構造等差數列，條件②利用累加法可解決，條件③需要認識到等式左邊可看做是數列{an/n}的前n項和，除了上述的三個條件，還可將遞推公式求解通項公式其它幾種類型編制成問題，綜合考查學生對這一類問題的掌握程度，考查邏輯推理與數學運算能力，

在題2-1的基礎上，結合開放性探究的思想，如果進一步考查學生的思維能力，可以將問題設計成“數列{an}的通項公式存在、不存在、存在且不唯一”三種情況，如下試題：

設計意圖與題2-1相比，本題在求出數列{a"}的通項公式后，還需要對數列{an}的正負進行判斷，考查學生是否注意到題目所給的限制條件，條件①由于下標的不同，考查學生對數列項數的理解;條件②需要對an是否等于0進行分類討論，且兩個答案均不符合題意;條件③利用累乘法后得到an= na1，而條件S2=3S化簡后得到a2=2a1，答案變成不唯一！

2.3 從問題解決方法思考

從“問題解決方法”入手，可以發現，解決某個問題的方法是不同的，隨著所選條件的變化，所選用的方法也跟著變化，但方法的多樣性不是簡單的一題多解，而是在幾個不同條件下，問題的解決所選用的方法是不一樣的，考查學生對同一問題的不同解決方法，這類問題與上述第2類問題較像，但可承載的考點較為綜合，比如同時考查學生對通項公式與前n項和的掌握情況，如題3：

設計意圖本題綜合考查數列通項公式、前n項和、不等式問題，而問題的解決依賴于數列{an}的通項公式，因此思路是直接的，學生審題后可直接回到條件的選擇上，從數列{bn}的結構分析，當{an}是等差數列時，{bn}是類似于An2+ Bn+C形式的數列，考查分組求和方法;當{an}是等比數列時，{bn}也是等比數列，考查等比數列的前n項和;當{an}是類似于C/An+B形式的數列時，可考查裂項相

消方法;如果要考查其它求和方法，也可通過對通項公式的分析，編制出不同的條件.

3 總結與反思

在數學考試中引入、設置結構不良試題是考試內容改革的要求，結構不良問題初始狀態、目標狀態、中間狀態至少有一個不確定，有利于引導學生在解決問題的過程中，根據具體情境，從多個角度分析，考慮多個可能，尋找不同路徑，提出多種解決方法，以考查學生思維的系統性、靈活性、深刻性、創造性[4].如果依據不同條件得到的結果是一樣的，那么如何區分學生知識的掌握程度與思維能力？按這種思路往下分析，所選條件的難度必須保持一致，才能體現試題的公平性，但這樣的問題變成與結構良好問題并無太大差別，筆者私認為，這類題目并不是新高考所提倡的結構不良試題，

此外，若不同條件之間難度差異過大，個別條件太難或太易，這樣的題目也不合適，如以下例題：

在這個問題中，條件②③馬上可以得出{bn}分別是等比數列與等差數列，但接下來，對于“anbn≤akbk恒成立”這個問題的解決，條件②需要利用不等式進行簡單的放縮，條件③需要從函數角度或者作差判斷，出于對試題公平性的考慮，學生會不會意識到由于條件②③過于明顯，會導致問題的解決變得更復雜，從而選擇條件①？

選擇本身是試題要考查的內容之一，不同選擇可能導致不同結論，難度與用時也會有所區別，但這個區別不能過大，條件的難度應與問題的難度達到相對平衡，避免出現“頭重腳輕”或“頭輕腳重”問題，試題的編制研究應該著重體現出公平性，

雖然結構不良試題的知識內容不能太復雜，知識點的數量也有所限制，但畢竟類型特殊，題目備選條件有多個（兩個以上），可以承載的知識點較多，可以把聯系密切的問題編制成條件，綜合覆蓋相關問題，因此習題講解時可以系統地把相關的知識點復習一遍，同時也能幫助學生更好地作出條件的選擇，當然，考試時需要引導學生考慮時間因素，

結構不良試題的命制，是把數學知識與現實生活聯系起來的嘗試，使學生體會到數學高考不是主要考知識，而是更關注如何解決現實生活中無處不在的結構不良問題，引導學生從知識的習得與記憶轉向問題的解決、策略的選擇，使數學應用在思維層面真正發生[4].因此，結構不良試題除了在數列問題、解三角形中出現，在立體幾何、解析幾何、概率與統計等模塊中都可能涉及，而不同模塊的側重點不一樣，對學生思維能力與問題解決能力的啟發也不一樣，是值得進一步探討與研究的，

參考文獻

[1]任子朝，趙軒.數學考試中的結構不良問題研究[J].數學通報， 2020，59 （2）：1-3

[2]教育部考試中心.以評價體系引領內容改革，以科學情景考查關鍵能力——2020年高考數學全國卷試題評析[J].中國考試，2020， 340（8）：29-347AE62EAE-0879-451A-AA99-95CA3C89A06E