挖掘教材習題功能 點燃學生思維火花
——由一道填空題引發的思考

陳娟娟

(上海市朱行中學 201506)

1 緣起

教材是知識技能的重要信息載體，往年許多學生中考試題在教材中都能找到一個影子，而且有一些題目就是以課本例題、習題為素材改編成的.因此，教材是平日統考或者中考命題的一個重要依據，而教材上的例題和習題又具有一定的典型性和代表性，這就需要教師們在日常教學中，對教材中的例題、習題進一步地進行歸納、總結，采取“一題多解與一題多變”的模式進行教學，舉一反三，和學生一起研究總結，同時在數學課堂中培養學生的數感，提高教學的有效性.

2020年1月份，筆者參加了上海市金山區九年級數學一模調研考試的閱卷工作，負責批改試卷的第16題.該題目是由滬教版九年級下冊第27.5(3)第30頁第4題改編而來.閱卷后，筆者從教研室獲取了這道題解答情況的相關數據，這道題得分率為僅為0.23，又在自己所教的班級進行了一節試卷講評課，引發了筆者對解題教學的一些思考.

2 習題呈現

滬教版九年級下冊第27.5(3)第30頁第4題：已知相交兩圓的半徑長分別為15和20，圓心距為25，求兩圓的公共弦的長.

2.1 解法分析

解法1 直接法

∵O1O2是連心線，AB是公共弦，(如圖1)，

∴O1O2垂直平分AB.

已知O1A=15，O2A=20,O1O2=25，

設AC=x,則AB=2x,

在Rt△ACO1中，∠1=90°

∵O1C2+AC2=O1A2,

∵O1C+O2C=O1O2=25,

解得x=12，

∴AB=2x=24，即兩圓的公共弦長為24.

評析本解法是相交兩圓連心線的性質定理的直接運用.這是求公共弦常見的一種方法，同學們也是容易想到的.但是因為(1)式含有兩項無理式，需要兩次平方才能化成整式，所以計算量確實不小.

解法2間接法(先求圓心距其中的一段)

∵O1O2是連心線，AB是公共弦，(如圖1)，

∴O1O2垂直平分AB，

已知O1A=15，O2A=20,O1O2=25，

設O1C=x,則O2C=25-x,

在Rt△ACO1,中，∠1=90°

∵O1C2+AC2=O1A2,

∵AC=AC

解得x=9，把x=9代入(2)式得AC=12

∴AB=2AC=24，即兩圓的公共弦長為24.

評析因為相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，所以肯定存在兩個直角三角形.如果把圓心距的一段設為x，利用同一個量的兩種表示相等列出方程，求出對應的x從而即可求出弦長.這種間接設元的方法在數學解題中也是很常見的.

解法3間接法(面積法)

已知O1A=15，O2A=20,O1O2=25

所以，△O1AO2是Rt△(如圖1).

∵O1O2是連心線，AB是公共弦，

∴O1O2垂直平分AB，

∴AB=2AC=24，即兩圓的公共弦長為24.

評析該解法敏銳地觀察到了15、20、25是一組勾股數，得到一個直角三角形.從計算上來看，計算量也不大，很容易求出結果.這個解法給我們以后解題提供了一個很好的思維活動經驗,要仔細琢磨.

2.2 變式題組

變式1 已知半徑長分別為6和8的圓O1和圓O2相交于A、B兩點，且∠O1AO2=90 °，求圓心距AB的長.

變式2已知圓O1和圓O2相交于A、B兩點，AB=8，O1O2=10，圓O1半徑為5，求圓O2半徑.

變式3已知圓O1和圓O2相交于A、B兩點，公共弦AB=24，大圓O2的半徑為15，O1O2=4，求小圓O1的半徑長.

變式4 已知圓O1和圓O2相交于A、B兩點，公共弦AB=24，小圓O1的半徑為13，大圓O2的半徑為15，求O1O2的長.

本題組的四個變式訓練，問題的大背景沒有變，這樣我們可以通過節省練習的時間，提高課堂學習效率.此外，通過學生對問題的探究可以幫助他們理解更有難度的問題，用發散思維思考，看透問題的本質.變式訓練法有利于提高學生的創新意識，使學生能夠獨立解決問題，有利于他們未來的成長.

3 功能分析

3.1 有助于鞏固新知

本習題是學生學習了相交兩圓連心線的性質定理之后設置的.通過變式題組的練習訓練學生的思維能力，讓學生克服自己原有的思維方式，理解新知識在題目中的應用.對于大部分學生來說，如果就一直練基本題目，對于學生的思維能力發展沒有多大的幫助，因此在變式題目中可以適當增加逆向思維或者新舊知識結合的題目.通過運用知識，加深學生對相交兩圓連心線的性質定理的理解，鞏固新知.

3.2 有利于歸納數學方法

在習題教學時，很多教師采用“就題論題”，只教“是什么”，很少教“為什么”，更少教“怎么想到的”.教師在教學中要重視解題指導，要能做到三個“堅持”：堅持以知識溯源為思路引領，明確思考方向；堅持以教會學生怎么想為能力抓手，強化學法；堅持以同一類型還可以怎么做作為拓展方向，力求以一題會一類.這樣，重點培養學生分析問題和解決問題的能力，使學生能夠輕松地處理新問題.

3.3 有利于培養學生的數感

在上述2.2變式題組的訓練中，通過解題活動會發現常見的勾股數6、8、10；9、12、15；15、20、25；5、12、13等.其實前三組數據和我們熟知的勾股數3,4,5是對應成比例的.在習題的多角度探索中，這種數感是可以通過反復訓練培養出來的.數感是人們對數的直接感知能力,數感在數學教學和數學運算中起著重要的作用.培養學生數感也是我國當前數學課堂教學的一個非常重要的任務.

3.4 有利于數學思維的發展

通過這種分層思維訓練，有利于培養學生的發散思維品質，提高課堂質量.首先，例題、練習教學要足夠重視發散性思維訓練，而“一題多解、一題多變”有助于學生形成發散性思維.所以，在解題后教師嘗試著追問“還有沒有其他解法？”同時，習題教學還要重視多種解題方法的本質揭示，只有透徹掌握方法的本質，才能實現“由會一題到會一類題” 的方法遷移.例題、習題教學要立足其顯性功能的開發.其次，教材上的典型習題，很多都具備變式或者拓展延伸的空間，因此還要學會挖掘其隱性功能.二者兼具才不會浪費例題資源的價值，也就不會錯過欣賞習題教學的美麗風景.

4 鏈接一模

(2020年1月長寧金山一模16題)已知相交兩圓的半徑長分別為8和15，圓心距為17，則這兩圓的公共弦長為____.

5 教學反思

5.1 把教材題目用好些

教材的例題和習題是經過眾多專家精心遴選、反復斟酌而定的，是教材的一個有機組成部分.它在幫助學生把握雙基，完善知識結構，培養和提高思維能力等各方面起著重要作用.作為一線教師，更應該從課本中挖掘例題習題的功能，在對課本習題多角度探索的過程中，提煉和優化解題方法，為學生遇到類似的考題能夠迅速找到最優方法打下基礎.

5.2 把思維教得靈活些

課堂教學中不能貪多，尤其是在解題教學中更不能貪多.在學生的難點處，請勿“一帶而過”.在同學們的思路卡殼時，教師要給他們多一點的思考空間，用啟發性問題引導學生，鼓勵他們進行多樣化的嘗試探索，尋找解決問題的最佳方法.在這樣的教學過程中，學生獲得的解題經驗才深刻.

5.3 把自己教的善思些

通過這一次一個小題目的得分率反思自己的教學，我們還有很多需要改進的地方.我們要反思自己的教學，反思自己的課堂，才能常教常新，學生才能常學常優.雖然教學是有遺憾的藝術，但我們應該努力為學生走向數學學習的“詩和遠方”鋪設道路.