“新思維具象圖”在初中一元二次方程中的運用

李碧秀

（晉江市潘徑中學，福建 晉江 362271）

一元二次方程在中學數學教學中占有重要的位置.一方面，它起到了貫通前后知識的作用，不但對前面學過的實數、一元一次方程、因式分解、二次根式等知識進行鞏固，又對今后將學習的其他高元方程、一元二次不等式、二次函數等知識打下良好的學習基礎；另一方面通過一元二次方程的教學過程可以將高中數學學科六大核心素養等滲透到課堂中.為讓學生能更好地理解和掌握一元二次方程的運用方法，需要運用更有效的教學方法來培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模等能力.筆者在近三年的教學中，運用了“新思維具象圖”這一新的教學法對一元二次方程的解法進行梳理、歸類，通過新教學法的開展，促進了學生思維能力的提升.

一、認識“新思維具象圖”的內涵及價值

“新思維具象法”是福建師范大學物理與能源學院陳祖標老師在傳統“思維導圖”的啟發下，通過與認知科學、思維科學、可視化理論等相關學科研究成果相結合，創造性地提出了這一新的教學法.晉江市僑聲中學張鵡老師在教育部重點課題中做了進一步的研究，并在僑聲潘徑教育集團校全科推廣.［1］筆者將此法運用在初中數學科的教學中，經過三年多的教學實踐，教學效果顯著.

“新思維具象法”的內涵是：通過借助擬人化或擬物化的“圖片”方式，將在頭腦中“看不見、抽象的知識關聯、結構、思維路徑等”轉化成為“看得見、具象化的圖形”表達出來，這樣就使得“看圖知其意”.這種全新的思維教學法運用到我們的實際教學中，將知識結構等繪制成“新思維具象圖”，除了有助于培養學生科學思維，還可以讓教師及時發現學生的思維中存在的不足之處并進行糾正，這樣長期堅持下去，將有力地促進學生的思維提升.

提高教學的有效性，教學方法和學習方法至關重要.目前很多學校基本上都是以課堂中的“灌輸”為主，缺乏對學生思維能力的培養.我們立足“可視化理論”來研究數學課堂教學的有效性，從而改進教學方式，促使學生轉變學習方式、提升學科思維能力.從心理學角度來看，初中12 至16 周歲這個年齡段學生，對以“圖片”方式呈來的知識內容興趣大而且記憶深刻，“新思維具象圖”正符合了這一年齡段學生的學習需求.“新思維具象圖”是知識可視化理論和認知工具理論相結合的產物，在抽象的數學教學中，運用“新思維具象圖”能夠幫助學生降低認知負荷、激發探究興趣、構建良好的認知結構.以獨創的“新思維具象法”理念為指導，重新審視、理解和創新初中數學課堂教學，有獨到的探索意義，對于豐富拓展數學教學理論和達成初中數學、物理等多門課程的總目標即“提高全體學生的科學素養”，均具有重要的作用.

二、“新思維具象圖”在一元二次方程解題中的運用

一元二次方程的基本解法一共分為三種：直接開平方法、配方法和因式分解法.我們在授課中可以用兩種方式進行對照.

一是用“思維導圖”（如圖1）：

圖1

二是用“新思維具象圖”（如圖2）：

圖2

我們可以從圖1、圖2 明顯體會到它對學生的興趣和吸引力不同，用“新思維具象圖”開展教學活動，可以做到既有趣又提高學生記憶力.其實此方法也對培養學生“數學抽象”能力有很大的幫助，因為“新思維具象圖”可以幫助學生從圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征.

（一）“新思維具象圖”在一元二次方程的概念中的運用

一元二次方程在培養學生“數學建模”能力方面有重要作用，它可以化成統一的“模型”形式：［2］

（1）對整式方程先進行去分母、去括號、移項、合并同類項等變形；

（2）一般形式中的b、c 可以是任意實數，而二次項中的系數a≠0，若a=0，方程就不是一元二次方程了，但也未必就一定是一次方程，這需要對b 進行討論才能決定；

（3）要確認一元二次方程的各項系數，必須先要將此方程轉化為一般形式，再確定a、b、c 的值，一定不要漏掉符號；

（4）項與項的系數一定要區分開來；

（5）一元二次方程的根：如果x0滿足ax02+bx0+c=0（a≠0），則x0就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根.

“新思維具象圖”形式生動有趣，既能讓學生掌握數學概念，又能便于記憶，能有效提升學生對一元二次方程的學習效果.教師用“新思維具象圖”在給出相關概念之后，再配以適當的練習（如圖3），就可以讓學生通過練習掌握什么是“一元二次方程”了.

圖3

例：判斷下列方程是不是一元二次方程.

①2x2-kx-1=0（k 為 常數）

②4/(x+3)=1

③1-x2=0

④5x2=0

⑤x2+y=0

⑥（x+3）2=（x-3）2

⑦mx2-3x+2=0（m 為常數）

⑧（a2+1）x2+（2a-1）x+5-a=0（a 為常數）

解析：①③④⑧易錯點：二次項前面的系數不為0，和一次項前面系數及常數項無關；②是分式方程；⑤是二元方程；⑥整理后是一元一次方程；⑦當m=0時，是一元一次方程；⑧因為a2+1≠0 永遠成立，所以無論a 為何值，方程⑧都是一元二次方程.

（二）直接開方法解一元二次方程

直接開方法：形如（x+a2）=b（b≥0）的方程可用直接開平方法求解，兩邊直接開平方得：

（1）直接開平方的理論根據是平方根的定義，注意這里的條件是b≥0，若b＜0，則方程（x+a）=b 無實數根；

（2）在實際問題中，要聯系實際情況確定方程的解.

運用直接開方法求解過程中，對于形如x2=m或一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數的一次式的平方，而另一邊是一個非負數，可用直接開平方法求解（如圖4）.

圖4

例2：用直接開平方法解關于x 的方程：

（1）（3x+2）（3x-2）=12

（2）2（x-4）2/3=6

（3）（x-m）2=n

（4）（2x-1）2=b+4c

解析：

（1）x1=4/3，x2=-4/3

（2）x1=1，x2=7

當b+4c＜0 時，無實數根.

此法可以很好地培養學生的“邏輯推理”能力.此處的“新思維具象圖”主要是可以激發學生的學習興趣，幫助學生掌握從特殊到一般的推理或從一般到特殊的推理，從面建構起一元二次高中生的知識框架，形成有有條理、合乎邏輯的思維品質，增強數學學習能力.

（三）配方法解一元二次方程

配方法是“數學運算”中的一種常見的方法，它是指在明確運算對象的基礎上，依據“運算法則”解決數學問題的過程.通過此法可以促進學生數學思維發展，使之養成程序化思考問題的習慣.用配方法解一元二次方程的一般步驟，可制作一張如圖5 所示的“新思維具象圖”.當然也可以引導學生根據自己的興趣愛好，制作自己的“新思維具象圖”，這樣幫助學生掌握和牢記“配方法”解一元二次方程的方法和步驟，再配合一定的習題去練習，以達到鞏固所學知識和技能的目的.

圖5

例3：用配方法求方程：

（5）無實根（或無實數根）.注意，不能說無解！

（四）因式分解法解一元二次方程

因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即：若ab=0，則a=0 或b=0.

因式分解法的一秀解題步驟的“新思維具象圖”如圖6：

圖6

歸納：

（1）采用因式分解法可以將“一元二次方程”作為兩個“一元一次方程”來求解，它體現了一種“降階”要求和降低難度的思想；

（2）將方程右邊變形為0，左邊化為(ax+b) (cx+d)=0

（3）因式分解法是比前兩種簡單的一種方法，若能用此法優先考慮;

（4）為便于運算，應先把方程整理成一般形式，并且首項取為正號.

因式分解法解一元二次方程是大家在三種解法當中覺得最困難的一種，其中不僅是因式分解的過程比較困難，而且在計算的時候也比較容易出錯.所以，教學中一定要讓學生注意：一是解方程時，不能兩邊同時約去含未知數的項；二是因式分解法的前提是方程一邊等于0.

例4：用因式分解法解方程：

“新思維具象圖”教學法，讓學生深刻理解并掌握一元二次方程的三大解法，并對學生掌握每一種解法都給出了實質的建議和解題技巧.在培養學生數學能力的同時，可以很好地將數學學科素養落實到課堂上來，讓我們的課堂教學既有趣，又便于學生學習掌握、深刻記憶，從而提高課堂教學效率.