數學舉例題的命制與評價實踐

童其林

（龍巖市永定區城關中學，福建 龍巖 364100）

“舉例問題”首次出現在2021 年全國新高考I 卷數學考試中，即填空題14 題.而走在高考改革前列的上海的高考，舉例題除了出現在填空題里，也曾在大題里考查——比如，2007 年上海春季高考卷第17 題就放在大題中.所以研究上海卷的舉例題，可以幫助我們迅速適應全國新高考I 卷舉例題.

一、數學舉例題的命制

數學舉例題的命制是一個命題老師創造力的表現，也是學生解題富有創造力的表現.［1］舉例題的命制或設計方向還比較廣泛：一是提出一個逆向的數學問題；二是給定一些限制條件，提出一個正向的數學問題；三是給定一個數學結論或數學模型，提出一個有實際背景的應用問題等，關鍵是應試者能夠完整地敘述一個數學思想、數學內涵的具體問題.

（一）逆向問題

舉例題中一類提出逆向問題，必須提供正向問題作為引導，促發其創新思維.

例1 求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題.

例如：原來問題是“若函數f(x)=-(7 -3a)x在R上是減函數，求實數a 的取值范圍”.求出a＜2 后，它的一個“逆向”問題可以是“若a＜2，討論f(x)=(2 -a)x的單調性”；也可以是“若a＜2，求f(x)=x2-ax+5 的最小值”.

給出問題：“已知函數f(x)=mx2-mx-6 +m，若對于m?[-2,2],f(x)≤0 恒成立，求實數x 的取值范圍.”（視你所給出的“逆向”問題的程度給出本小題的滿分值）

解析：問題可變成關于m的一次不等式：(x2-x+1)m-6≤0 在［-2，2］恒成立，求x取值范圍.

設g(m)=(x2-x+1)m-6,

即x 的取值范圍是[-1,2].

“逆向”問題可以是：

問題1：已知函數f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，若f(x)≤0 恒成立，求實數m 的取值范圍；

問題2：已知函數f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，若f(x)≥0 恒成立，求實數m的取值范圍；

問題3：已知函數f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，求函數f(x)的最大值和最小值；

問題4：已知函數f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，求函數f(x)的單調區間；

問題5：已知函數f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，求函數f(x)的零點個數；

問題6：已知函數f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，若f(x)≤x3+mx2恒成立，求實數m的取值范圍.

點評：給定的問題情境是函數和函數自變量的取值范圍，6 個問題涉及面較為廣泛，在對原問題求解后，深刻理解了問題的本質，再逆向提出如此問題，需要的能力必是經過數學研究性學習的訓練后的成果.具體求解時，舉出1 個即可.

（二）正向問題

例2 如果一個n面體共有m個面是直角三角形，那我們稱這個n面體的直度為，比如在如圖1 所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，通過割補法得到四面體C1CDB（即三棱錐C1CDB）就是直度為的四面體.

圖1

（1）請用割補法在如圖2所示的正方體上，作出一個直度為1 的四面體.（作出一個并指出哪個四面體即可，不必說明理由）

圖2

（2）如圖3，P為棱AA1上的中點，Q為棱AD上一點，且PQ⊥C1P.請你舉一個與圖中有關“異面直線所成角或直線與平面所成角或二面角”的問題，并解之.

圖3

（視你所舉出問題的難度給出本小題的滿分值）

問題（1）的解答：

答案不唯一，如圖4 所示的四面體C1CDA，或如圖5 所示的四面體C1CAB都可以.

圖4

圖5

問題（2）學生舉出了不少有意義的問題：

案例1：求異面直線D1Q與PC1所成的角；

案例2：求直線PQ與平面C1D1P所成角；

案例3：求直線D1A1與平面C1D1P所成角的正弦值；

案例4：求平面C1D1P與平面ABB1A1所成的二面角的余弦值；

案例5：求平面C1D1P與平面A1B1C1D1所成的二面角的余弦值；

案例6：在線段AB上是否存在點F，使得二面角D1-PQ-F的正弦值為，若存在求出線段PF的長，若不存在，說明理由.

點評：根據此題背景舉一個問題并不難，難的是舉一個有思維難度的問題.以上6 個案例中，案例6 最富有挑戰性，問題難度相對較大，涉及的知識面也較大，有探索，有逆向思維，其他4 個案例與學生平時訓練的問題基本相似.

案例5 的解答：

在線段AB上存在點F，使得二面角D1-PQ-F的正弦值為.理由如下：

若點F在線段AB上，則二面角D1-PQ-F為鈍角α，因為如圖6，以CD為x，CB為y軸，CC1為z軸建立空間直角坐標系，并設正方體的棱長為2，易知P(2,2,1)，平面D1PQ的一個法向量為=(1,0,0).

圖6

因為幾何體ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以C1D1⊥平面ADD1A1，又PQ?平 面ADD1A1，所以C1D1⊥PQ，又PQ⊥C1P，C1D1?PC1=C1，所以PQ⊥平面C1D1P，所以PQ⊥D1P.

所以，在線段AB上存在點F，使得二面角D1-PQ-F的正弦值為，且|PF|=

（三）有實際應用的問題

此類問題是理論聯系實際類，給出理論背景或數學模型，結合自己的學習經歷與生活經歷創作出一個數學問題，有點像寫命題作文.

例3：在一些地方送報人先買了報紙然后送到顧客家，再向顧客收取報紙的費用.

假設有一天顧客對送報人說：“不像往常一樣每星期收5 美元，而是隨機地從這一袋中拿取2 張鈔票（有10 美元和1 美元的若干張），怎么樣？如果你愿意從袋中取錢的辦法，從今以后每星期就采用這一方式.”

送報人作了簡單的思考：若袋子里5 美元的鈔票多于或等于1 美元的鈔票，那就接受顧客的建議；若袋子里都是1 美元的，那就按原來的付款方式；若10 美元的鈔票遠遠少于1 美元的鈔票，就要算一算，長期下期會不會虧本.

請你幫助送報人和顧客設計一個袋中隨機拿取2張鈔票（假設只用10 美元和1 美元的鈔票若干張），對送報人和顧客都不會吃虧的辦法.

假如10 美元和1 美元各m,n張，則

所以設計袋子里10 美元鈔票1 張，1 美元的鈔票5張，對送報人和顧客都不會吃虧.

點評：能用期望的知識判斷設計方案對雙方公平即可得滿分.

（四）語言問題

數學學科經常遇到的數學語言包括文字語言、符號語言、圖形語言.數學文字語言帶有數學特有的本質屬性——關系屬性，比如線面垂直既有文字語言，也有符號語言和圖形語言，這些約定俗成的語言是人們進行數學交流的工具.

例4（2008 福建省高考題改編）：設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意a、b∈P，都有a+b、a-b、（除數b≠0），則稱P是一個數域，例如有理數集Q是數域，數集也是數域.請你各舉出2 個數域和不是數域的例子.

解析：負整數組成的集合是數域.理由如下：

設a，b∈p，其中一個必定不等于零，設a≠0.則a-a=0 所以0∈p=1 所以1∈p.所以0-1=-1，-1-1=-2，-2-1=-3，…，所有負整數都屬于p.是數域.

整數集不是數域.理由如下：

點評：以上所舉的例子，是深刻領會數集、數域概念之后的選擇.在評價過程中，只要符合數域的定義，而且表述正確，則舉出一例可得整題分數的，能各舉出2 個且正確，可得滿分.

以上所舉是解答題的舉例題，目前的語境下，除了上海高考卷，舉例題更多出現在填空題中.填空題的舉例題，往往是要求考生通過給定的條件、結論、性質和定理等素材，從題干中獲取信息，整理信息，寫出符合題干的結論或是具體實例的一類題型.通常情況下，符合條件的對象有很多，從而增加了試題的開放度.同樣的，填空題的舉例題可以舉一個正例，也可以舉一個反例，還可以舉一個語言類的問題等.

例5（2021 年新高考2 卷，第14 題）：寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f(x)=__________.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；

②當x∈(0,+∞)時，f′（x) ＞0；

③f′(x)是奇函數.

點評：該題要求考生在理解條件①②③的基礎上，構建出一個函數f(x).由于答案是開放的，所以在考查思維的靈活性方面起到了很好的作用，同時也給不同水平的考生提供了充分發揮自己數學能力的空間.熟悉常見基本初等函數的基本性質有利于進行構造.本題答案為f(x)=x4，答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N*)均滿足.

二、數學舉例題的評價

填空題中的舉例題，由于答案開放，會增加評價的一些難度，但還是能看出對錯.比較難評價的是解答題中舉例題的評價，因為每一個學生的思維方式不太一樣.

作為一道解答題中的舉例題，一是要看其答題的完整性，二是要看其答題敘述的準確性，三是要看其舉例問題提出的創新性.符合題設條件又滿足這三條，應該是一個成功之作.我們先看下面的例子：

例6（2007 年上海春季高考，第17 題，本題滿分14分）：求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題.

例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該正四棱錐的體積”.求出體積后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側面面積之和的最小值”.

試給出問題“在平面直角坐標系xoy中，求點P(2,1)到直線3x+4y=0 的距離.”的一個有意義的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題.

解 析：點（2，1）到直線3x+4y=0的距離為…………4 分

“逆向”問題可以是：

（1）求到直線3x+4y=0 的距離為2 的點的軌跡方程.…………10 分

設所求軌跡上任意一點為P(x,y)，則

所求軌跡為3x+4y-10=0 或3x+4y+10=0.…………14 分

（2）若點P(2,1)到直線l:ax+by=0 的距離為2，求直線l的方程.…………10 分

所以，直線l的方程為x=0 或3x+4y=0.…………14 分

意義不大的“逆向”問題可能是：

（3）點P(2,1)是不是到直線3x+4y=0 的距離為2 的一個點？…………6 分

所以點P(2,1)是到直線3x+4y=0 的距離為2 的一個點.…………10 分

（4）點Q(1,1)是不是到直線3x+4y=0 的距離為2 的一個點？…………6 分

所以點Q(1,1)不是到直線3c+4y=0 的距離為2的一個點.…………10 分

（5）點P(2,10 是不是到直線5x+12y=0 的距離為2 的一個點？…………6 分

所以點p(2,1)不是到直線5x+12y=0 的距離為2的一個點.…………10 分

評分說明：

（ⅰ）在本題的解答過程中，如果考生所給問題的意義不大，那么在評分標準的第二階段所列6 分中，應只給2 分，但第三階段所列4 分由考生對自己所給問題的解答正確與否而定.

（ⅱ）當考生所給出的“逆向”問題與所列解答不同，可參照所列評分標準的精神進行評分.

這個題目，有個詞特別醒目，即“有意義”的問題.如何評價學生提出的問題呢？難點在于評價學生提出問題的數學“意義”是否體驗數學思維，反映數學本質.從本題的評分標準可以判斷，提出的問題好、不夠好、不好及解決問題正確與否能得的分數.

三、“有意義”的數學問題的定義、判斷和制定

所謂有意義的問題可以從下面四點考察：

一是問題的準確性——敘述語言的準確.把一個問題說清楚，尤其是數學問題，必須突出敘述語言的準確性.如果邏輯不清、語言混亂，不可能提出一個“有意義”“有價值”的問題，所以要準確地使用數學符號，并賦予意義.而且如果數學概念不清也不能把問題說清楚.

二是問題的簡潔性——敘述語言的簡潔.一個問題能用30 個字說清楚就不要用31 個字，數學問題語言敘述的簡潔最能體現數學的“美”，也最能反映問題的數學本質，更能顯示一個人的數學思維能力.

三是問題的思維性——思維的寬度深度.一個問題“有意義”的度在很大程度上取決于問題思維的寬度與深度，數學思維的深度，條件隱含的深度，解決問題的寬度——方法的多樣性.

四是問題的創新性——創設問題的角度.一個問題的“閃光點”充分體現在問題的創新性上，你提出問題的角度是否新穎？是否人們一看就會產生火花？

舉例題是新高考的一個重要題型，能考查學生的思考能力、敘述能力、解決問題的能力.評價細則上，可以依據等級描述型評價法對問題求解部分制定；依據多重計分評價法對所舉例的質量制定評價細則，即依據等級描述型評價法，將求解過程細分評定分數.依據多重計分評價法，分為三個等級：一級所舉問題敘述完整，但思維量不大，難度不大；二級所舉問題敘述不僅完整，思維量較大，但亮點不明顯；三級所舉問題敘述不僅完整，思維量較大，而且有明顯亮點.分值上，可根據數學教育實際，此類創新題的分數控制在12 分左右為宜，難度把握在中檔左右.

例7 要測量海島上一座不能到達的山峰A的高度AH，要求用皮尺、三角板和量角器等儀器進行測量，舉例說明你的測量過程、計算方法和結果.

案例1：在測量海島上一座不能到達的山峰A的高度AH時，可立兩根高a米的標桿BC和DE，前后兩竿相距BD=b米，使后標桿桿腳D與前標桿桿腳B與山峰腳H在同一直線上，從前標桿桿腳B退行c米到F，人眼著地觀測到島峰，A、C、F三點共線，從后標桿桿腳D退行d米到G，人眼著地觀測到島峰，A、E、G三點也共線，計算山峰AH的高度.

案例2：在測量海島上一座不能到達的山峰A的高度AH時，如圖8，選擇一條水平基線BG，使H，G，B三點在同一條直線上.由在B，G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是α，β，CD=a，測角儀器的高是h，則可求得AH的高度.

圖7

圖8

解析：在△ACD中，根據正弦定理可得AC=

案例3：在測量海島上一座不能到達的山峰A的高度AH時，可在平地上選擇三個點P、Q、R（Q為PR的中點），可量出PR=2a，在P、Q、R三點處，用量角器測得A的仰角分別為α、β、γ，將測量數據繪制成一張草圖（如圖9），計算山峰AB 的高度.

圖9

同理可得QR2+QH2-2QR·QHcos(π -θ)=RH2

兩式相加可得2a2+2QH2=PH2+RH2，將上述各值代入計算可得

案例4：在測量海島上一座不能到達的山峰A的高度AH時，假設沙灘上有一可攀登的建筑物，如圖10，則可在同一垂線上選2 個測量點C，D，測得PC=a，CD=b，點C測得A的仰角為α，點D測得A的仰角為β，計算山峰AB的高度.

圖10

評價細則：（1）可以依據等級描述型評價法對問題求解部分制定；（2）依據多重計分評價法對所舉例的質量制定.即依據等級描述型評價法，將求解過程細分評定分數.依據多重計分評價法，分為三個等級：一級所舉問題敘述完整，但思維量不大，難度不大；二級所舉問題敘述不僅完整，思維量較大，但亮點不明顯；三級所舉問題敘述不僅完整，思維量較大，而且有明顯亮點.按評價標準，案例1，2，3，4 都可以判定為三級.