基于大概念的初中函數主題教學設計探析

劉永東 段振富 林山杰

（1.廣州市天河區(qū)教師發(fā)展中心，廣東 廣州 510630；2.福州第十六中學，福建 福州 350001；3.閩侯縣上街實驗學校，福建 閩侯 350108）

一、問題的提出

一般來說，大概念是在經驗和事實的基礎上，對子概念之間聯(lián)系加以整合抽象概括的、對本學科其他內容更具有統(tǒng)攝力、關聯(lián)性并能更加廣泛遷移的概念。威金斯和麥克泰格（Wiggins&McTighe）提出，大概念是處于課程學習中心位置的觀念、主題、辯論、悖論、問題、理論或者是原則等，能夠將多種知識有意義地聯(lián)結起來，是不同環(huán)境中應用這些知識的關鍵。［1］學者們對數學大概念持有一個共同觀點：大概念應能貫穿整個數學課程，應當是最重要、最核心、最具統(tǒng)整性的數學；應當和其他知識點具有充分的聯(lián)系；應當體現出數學的本質特點；應當為后續(xù)獲取更高層次的學習提供必要的基礎。［2］具體說，高度提煉大概念以構建教學整體觀，從大主題視角看課時教學，關注學生的學。本文基于初中函數主題教學，以人教版八年級下冊第19 章《一次函數》主題教學設計為例，試作闡釋。

二、主題教學設計的大概念確定

（一）確定大概念是什么

概念是指對一類具體事物本質特征的抽象概括，大概念是學科領域中最有價值的內容，如高中數學課程的函數主線等內容、初中數學課程四大領域的主線內容、高中數學六大學科核心素養(yǎng)等，均是大概念。

函數內容貫穿整個中小學教學。從通過具體的實例初步建立函數概念的意識，到通過抽象的情景建立變量觀點下的函數概念，再到從變量、圖象、對應三個角度認識函數的概念。這說明不同階段的數學大概念是有層級的，比如，“函數是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要模型”就比“函數是兩個非空數集之間的對應關系”層次來得高。［3］對于數學學科來說，“大概念”的層次一般按照五個層次進行分類。一是跨學科大概念，指在教學實踐中出現很多跨學科的關鍵概念；二是學科大概念，是指學科所獨有的育人價值，其他學科不能替代的育人功能，例如各學科的核心素養(yǎng)；三是課程大概念，例如課程知識結構的主線內容；四是主題大概念，是指主線內容下主題之間的整體聯(lián)系性，例如重要的數學概念與思想方法要等；五是課時大概念，每個課時中統(tǒng)領教學整個過程的核心內容或思想方法。需要指出的是，在確定大概念時，應該把與學習相關的知識、技能、方法、思想以及這些內容所體現的數學價值、教育價值、核心素養(yǎng)綜合起來，進行整體性思考。

例如，在進行初中函數主題教學時，需要提取主線知識的各層級大概念，對函數有一個大概念層級理解（圖1）。

圖1 初中函數的大概念層級關系

（二）如何確定大概念

通過分析，我們知道大概念可以從層次維度來提煉。具體而言，按照“從高到低”縱向結構來提取大概念，分別為跨學科角度、學科角度、課程內容角度、學科主題角度和學科課時角度。以下結合《一次函數》主題內容提取相關的大概念。

首先，跨學科角度提取大概念。函數研究的核心是對應關系，變化中的不變性、規(guī)律性、連續(xù)性、符號、推理、抽象等概念不僅僅是數學學科所特有的，它們還是跨學科的大概念。其次，從學科角度提取大概念。“對應”是用聯(lián)系和發(fā)展的眼光觀察得到變化規(guī)律，是用數學眼光觀察世界的表現，體現了建模的思想方法，體現了數學的本質，因此，函數是學科大概念。若從內容提取大概念，初中階段明確給出函數定義，要求學習三種函數，這是該階段課程內容體現出來的大概念。若從主題內容提取大概念，兩個方面是核心，一個是本單元最核心的內容，通常可用知識框架圖來表示（圖2），清晰構建主題知識體系，從而得到主題大概念。而從主題研究路徑入手，即“生活情境問題，抽象出函數的定義，根據圖象得出性質，運用性質解決生活中的問題”，學習路徑也是大概念。最后，從課時內容提取大概念。學習函數最核心的問題是建立函數意識，理解變化和對應的關系，弄清函數定義背后包含的本質問題，通過三種函數圖象與解析式之間的關系，發(fā)展數形結合的抽象能力。綜上所述，對一次函數單元教學設計提取大概念的路徑和內容，如圖3 所示。

圖2 函數的概念與性質知識內容

圖3 一次函數的大概念提取路徑和內容

三、基于大概念的主題教學設計要素分析

（一）主題內容分析

小數是初中數學課程“數與代數”領域的核心內容，函數是數學抽象、數學模型等多種數學思想方法的重要知識載體，也是學生由靜態(tài)數量關系學習到動態(tài)變化規(guī)律研究的重要工具，是重要的數學概念與思想方法的螺旋上升。人教版教科書把初中函數主題分成一次函數、二次函數和反比例函數三個子主題，基于大概念的數學主題教學設計的具體落實，要求根據主題教學目標和分主題的具體教學目標統(tǒng)籌規(guī)劃教學進程。從宏觀視角規(guī)劃初中函數主題的主體結構，如圖4 所示；從微觀視角規(guī)劃分主題的課時教學進程，并分解目標到課時，以一次函數為例的教學進程，如圖5 呈現。

圖4 基于宏觀視角的函數主題教學進程

圖5 基于微觀視角的“一次函數”主題課時教學安排

在《一次函數》教學中，師生從研究對象、研究方法、研究框架和研究價值等初步認識和感受一次函數，同時掌握其基本研究路徑：從實際問題中抽象一次函數概念，到研究函數的圖象和性質，進而運用函數解決實際問題。這些內容往往都蘊含在一次函數章起始教學中，因而要把研究的路徑弄清楚，如圖6所示。

圖6 一次函數基本研究路徑

（二）主題目標分析

數學課程目標是一個整體，包括了數學知識、方法、思想、經驗、問題，又包括數學情感、態(tài)度、價值觀。這個整體的集中表現既是數學學科素養(yǎng)，也是數學課程目標的集中體現，因此，素養(yǎng)導向的教學意識應貫穿教學活動全過程。一般說，課程標準呈現的是整個主題學習目標，因此，先依據課程標準，確立素養(yǎng)目標；再對照目標，設置課時學習目標。

例如，《一次函數圖象和性質》教學要完成兩個目標，采用“三維敘寫”方式分點表述如下：

［目標1］結合函數概念和正比例函數圖象及性質，了解函數的一般研究方法，在正比例函數和一次函數表達式的關系理解上，類比學習一次函數的圖象和性質，經歷感知數學抽象。

［目標2］通過直觀感知、動手操作理解一次函數的圖象是一條直線；能畫一次函數的圖象；會根據函數圖象和表達式探索一次函數y=kx+b（k≠0）的性質，理解k、b取值對函數圖象的位置及其變化情況的影響，體悟數形結合思想。

當然，完成目標確定是需要明晰主題教學的重、難點。作為初中函數主題學習的起始章節(jié)，一次函數圖象和性質教學重點是通過對函數概念的抽象，理解“對應”的含義，同時讓學生能夠感受概念中蘊含的數學思維和方法。在理解函數概念的同時，培養(yǎng)函數意識，熟悉研究函數的基本路徑和套路，培養(yǎng)抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀和應用意識五方面核心素養(yǎng)，而其難點在于構建函數意識。

（三）設置教學任務

素養(yǎng)只有在解決問題的應用過程中才能有效形成。通過對素養(yǎng)的內涵、價值、表現水平及其相互關系的深入理解，設置能引導學生探索和解決問題的教學任務，才可達成素養(yǎng)目標，即教學目標任務化。任務設置需要遵循學習認知規(guī)律，創(chuàng)設合適的情境和精當、有序的問題提出，以有效的學習活動呈現知識的發(fā)生、發(fā)展過程；而且要思考相應的核心素養(yǎng)在教學中的孕育點、生長點和關聯(lián)點，以及素養(yǎng)水平達成的整合性、階段性和連續(xù)性。即在數學邏輯體系中探尋孕育點，在內容主線中挖掘生長點，在具體知識中重視關聯(lián)點；在跨章節(jié)的主題教學過程中，結合本階段課程標準的素養(yǎng)要求，研究融入教學內容和教學過程的具體方式和整合載體，持續(xù)實現核心素養(yǎng)目標。

從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思這四個反映數學核心素養(yǎng)的角度考慮，基于核心素養(yǎng)的理想教學任務，應特別重視情境的創(chuàng)設和問題的提出。核心素養(yǎng)是在特定情境中表現出來的知識、能力和態(tài)度，需要在一個個基于真實生活情境的主題活動中，通過操作發(fā)現、體驗探究等建構知識和發(fā)展能力，才有利于學生感悟和形成。因此，設定的教學任務，需要在多樣的情境和問題中完成，需要是聯(lián)系學生現實生活的，利用學生現有經驗的，刺激學生向抽象思維發(fā)展的形象性情境，凸顯與學科知識發(fā)現、發(fā)生、發(fā)展過程的，能夠激發(fā)學生思考的、融入情感的、有價值內涵的問題情境。

（四）嵌入任務評價

在課堂學習過程中持續(xù)地嵌入評價，圍繞具體目標設計具體的評價任務，讓學生能清晰地理解任務并根據評價結果進行思維的自我監(jiān)控，即教學評一致性已形成共識。學習目標是教學評的靈魂，評價是教學全過程的基本線索，核心素養(yǎng)達成是評價的基本要素。于是，圍繞發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)開展教學評一致性的主題教學，離不開這些環(huán)節(jié)：依據課程標準，確立學習目標；對照學習目標，設置評價任務；依據評價任務，設置問題驅動；設置作業(yè)檢測，評價目標達成；呈現學習主線，開展學后反思。以下結合前述設置的學習目標1，呈現問題驅動型任務1，以三分之二的學生完成任務達標度做中微觀評價，舉例說明。

任務1根據以往經驗，我們在研究函數時一般從哪些角度進行？請結合一個新的函數，說說你的研究流程？

［活動1］基于思維起點，從事實問題開始，溫故知新，引向方法性知識。

請回顧已學的函數概念以及正比例函數圖象和性質，結合研究函數的流程（圖7）思考并嘗試回答下列問題：

圖7 研究函數的流程圖

問題1：我們是如何定義函數的？你是怎樣認識函數的圖象？請用自己的話解釋。

問題2：根據以往經驗，我們在研究函數時一般從哪些角度進行？請以正比例函數y=kx（k≠0）為例說明。

［活動2］基于自主構建，思辨聚焦式問題，類比探究，生長價值性知識。

先思考后回答問題3-5。

思考：以正比例函數y=kx（k≠0）為例，自變量可取任意實數，而對應的因變量也可取任意實數；如果是一次函數y=kx+b（k≠0，b≠0），這個結論還成立嗎？

問題3：對函數y=kx（k＞0），當自變量x的值越來越大時，y的值也越來越大。那對函數y=kx+b（k＞0），這個結論還成立嗎？當k＜0 時，結論又如何？

問題4：正比例函數y=kx（k≠0）的圖象經過原點（特殊點），一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象也會經過某些特殊點嗎？

問題5：正比例函數y=kx（k≠0）的圖象是一條直線，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象還是一條直線嗎？為什么？它的圖象與y=kx（k≠0）的圖象有何關系？

［活動3］接下來，先看一段視頻（以具體函數圖象呈現兩種函數的區(qū)別和聯(lián)系），再思考問題5，并表述你的完整回答。

上述例子，實際上是在教學評一致性的理論視角下開展教學設計與實施，從問題1 的溫故知新，到指向類比學習的問題2，再到過渡性的簡單思考，完成從“數”的角度類比研究增減性和特殊性的性質。之后讓學生回歸課本精讀理解，解決問題5 后再從數形結合角度類比研究圖象，體現知識間聯(lián)系，繼續(xù)結合問題和動手操作畫圖，完成以下主題學習任務。

任務2根據正比例函數的性質和圖象，你能猜測到一次函數有哪些性質？圖象是怎樣的？請結合所畫的一次函數圖象說明

若能通過多元評價方式把素養(yǎng)目標融入活動中，以情感態(tài)度價值觀體驗作為載體，則能真正將數學知識和素養(yǎng)融合達成教學評一致性。例如學后反思，先概述主干知識學習的過程性和知識技能的主體性，再以問題形式促進學生反思學習知識的方法性和價值性：

你能體會到我們是如何研究一次函數的嗎？在研究過程中關注了什么問題？你是怎樣知道一次函數的圖象和性質的，你能完整地表述嗎？如果要研究這種特征的函數y=ax2+bx+c（a≠0），你認為該怎樣研究呢?

（五）減負提質增效

綜上所述，核心素養(yǎng)導向下，基于大概念的初中數學教學設計應立足于系統(tǒng)思維，著力在教學設計的深廣度和寬度拓展。結合課程內容結構分析，依據課程標準確立主題教學素養(yǎng)目標，將其分解為主題課時教學目標，進而結合學生需求合理設置完成學習目標的教學任務，并以情境和問題設計驅動任務達成，促進學生學會學習、合作和反思評價。即教學設計取向應注重素養(yǎng)目標任務化，知識內容結構化，教學情境真實化。當然，還有兩個方面要素需要引起注意。

一方面，以核心素養(yǎng)為指導的課程是要促進學習方式的轉變，數學教學活動的重心應從關注教轉到關注學，體現學習方式多樣化和具備學法指導意識。數學學習不能僅限于聽講與紙筆練習，閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流、總結提煉、學后反思等都是數學學習的重要方式，這些方式又會形成不同特色的多種學習策略和形式。

另一方面，立德樹人是學科教學的根本任務，教學評一致是實現根本任務的基本路徑，即要求教學與評價基于課程標準、以學定教、以評價促進教與學。這是達成學習目標、教學活動與評價之間的一致性，是以評價實現教與學的統(tǒng)整，意在引領教學設計追求學習目標達成度的最大值。教學評指向一個教學靈魂，即清晰的課程學習目標，而目標具有整體性和階段性，重視評價也是具備整體性和階段性，需要注重多樣化的過程性評價方式，例如傳統(tǒng)的書面檢測、口頭問答、課堂表現觀察、探究活動中的表現、隨堂小測、課后作業(yè)等形式，最根本的是判斷學生是否養(yǎng)成用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界的數學思維和習慣。而評價與反思同步，因此，還要注意呈現學習主線，開展學后反思，即反思主干知識學習的過程性和知識技能的主體性，以問題形式促進學生學習知識的方法性和價值性反思。

指向減負提質增效的主題教學，在課堂實施時需要做到：一是素養(yǎng)明確，素養(yǎng)常蘊含在數學思想方法的應用中，因此應在數學思想引領下深度學習；二是思辨真實，素養(yǎng)目標任務化后，任務需要情景和問題支撐，因此應在數學問題驅動下促進學習；三是互動靈活，完成任務不能單靠一種學習方式達成，需要多樣化的方式推進，因此應在真實情景持續(xù)互動學習；四是技能夯實，沒有知識技能的支撐，也就沒有素養(yǎng)的形成載體，需要在評價反饋中夯實技能以獨立學習。

四、結束語

隨著中小學教育逐步轉向素養(yǎng)育人，教學設計的理念和設計過程更趨完善。不同定位取向的教學設計都有一個共同傾向，即以人的學習為本。在基于大概念視角下進行主題教學設計中，堅持以終為始，從教學要達成的目標出發(fā)設計教學過程，用主題視角把分散的一個個知識點用“大概念”統(tǒng)攝，形成知識內容結構化，進而設置以目標為導向的情境化教學任務，達成教學目標素養(yǎng)化，最后通過多樣化的學習方式和評價反思達成教學評的一致性。此外，從知識導向的教學轉向以核心素養(yǎng)導向的課堂過程中，數學史具有不可替代的作用和價值，例如對于函數的發(fā)展歷史也應該作為一個重要內容進行滲透，函數概念的定義經過300 多年的不斷發(fā)展和完善，既能讓學生建立哲學式思考問題的方式，也能認識到對于科學真理的追求全人類是一個整體。

概而述之，基于大概念的初中數學設計，意在使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化，能讓學生把數學內容讀懂，把數學問題想透，把數學思維講清，能讓學生減輕學習負擔，為學生提供自我挑戰(zhàn)、自我組織、自我評價以及尋求指導支持的學習環(huán)境，從而發(fā)展和形成數學素養(yǎng)，體現課程內容育人的價值性和素養(yǎng)的發(fā)展性，利于構建教育教學新生態(tài)，促使學科素養(yǎng)的落地。