數學模型的溯源與創新運用

黃小宇

(福建省武夷山市崇安小學 福建 南平 354300)

6×6=36、5×7=35、4×8=32……你發現了什么？函數y=-x2+12x，當x等于多少時？y有最大值還是最小值？上述兩個問題的知識跨度從小學二年級到初中九年級涵蓋了乘法口訣到二次函數的知識點，但在數學模型上它們是一脈相承的，將它們還原成生活問題是這樣的一道題：用一條長24米的籬笆圍成一個長方形菜地，怎樣圍面積最大？然而這道題居然在北師大版小學數學三年級和初三的教材中類似題型均有出現，那究竟這樣編排的目的是什么？這一數學模型對我們基礎教育的老師們有何啟發？現以“長方形的周長不變面積怎樣最大”為例，談談筆者對此類數學模型的理解。

1.追根溯源，尋找數學模型的起點和生長點，經歷數學模型的發展歷程

上述二年級所學習的乘法口訣，到三年級的長方形周長不變求面積的最大值，再到初三的二次函數里求面積y的最大值。它們在數學模型的本質上是一致的，體現數學認知的循序漸進、螺旋狀上升、“仿佛回到出發點的運動”。我們要掌握數學的這一發展規律，懂得數學的起點、生長點在哪？它將走向哪里？這樣數學教學才不會是憑空所建的空中樓閣，學生學習起來不會覺得數學枯燥無味，數學不是純粹的模式化的生搬硬套。下面我談談這類數學模型在各個階段的教學中應該怎樣做才能體現知識的整體性建構，符合學生循序漸進的認知特點。

1.1 乘法口訣的教學，不只是局限于死記硬背的機械記憶，而要發現其內在的變化規律。例如：6×6=36、5×7=35、4×8=32、3×9=27……將這組算式豎著排列認真觀察你發現什么？學生自然會發現積越來越小，但是兩個乘數的和是不變的，它們相等時積最大。你還能再寫一組這樣的算式嗎？是否和前面發現的規律是一致的？例如7×7=49、6×8=48、5×9=45、4×10=40……甚至有的學生還能發現每次減少1、3、5……。將乘法口訣在比較中教學，觀察其內在的變化規律，初步把握好數學的起點，讓學生感受數學內在規律的美，激發學生探索數學學習的欲望。

1.2 三年級長方形周長不變面積最大值的教學，經歷逐一列表法，感受量的變與不變，滲透早期的函數思想。如上述：用一條長24米的籬笆圍成一個長方形菜地，怎樣圍面積最大？解決這一問題最好的方法是列表法，引導學生去假設、計算，從而找到答案。讓學生經歷在周長不變的前提下，長寬在變，面積也隨之改變。通過表格里的數據變化，學生發現長寬差距越大時面積越小，長寬最接近，也就是正方形時面積最大：24÷4=6(米)，6×6=36(平方米)。這結論和二年級的乘法口訣是一致的。把握好知識的生長點，用列表法引導學生有序的思考，觀察長寬的變化規律對面積產生的影響，從而發現面積的最大值，為將來的函數學習奠定基礎。

1.3 初中平方差公式的教學，“借形析數”，幫助學生從算術思維向代數思維的轉變。(x+1)(x-1)=x2-1，對于這一公式的結論大多數學生都能熟記并運用。但是對于這個公式背后的道理以及如何還原成生活原型？很多學生是一無所知，長此以往，割裂了代數思維和算術思維之間的聯系，數學學習變成只是枯燥無味的套用公式、模式化的演算，所以很多學生從小學到初中數學學習一下無法適應，成績下滑的一個原因。例如這個平方差公式其實和上述的周長一定求面積最大值是一致的，可以用數形結合的方法來“借形析數”，里面隱藏的道理是什么呢？(如左圖)6×6正方形和5×7長方形的面積差，其實就是1×6和1×5的差。同理也可以畫出4×8的長方形和5×7的長方形之間的差距。這種數形結合的方法很形象直觀的解釋為何周長相等，正方形面積最大，同理(x+2)(x-2)=x2-4，也可以很容易在圖上得到解釋，當長是12寬是0時，面積則為0，在數形結合中感受最大值和最小值，為后續的二次函數學習打下基礎。

2.模型變式，算術思維和代數思維互相彌補，相得益彰，深化學生對數學模型的理解

算術解法是直奔問題的結果去求解，而代數思維不同，是整體架構出一個方程或函數去建立一個數學模型，再用通解的方法去求出結果。二者各有千秋，豐富我們對數學模型的理解。

例如將上題變化成有一面靠墻，24米的籬笆可圍成長方形面積最大是多少？

這題如果用初中的函數來解答，則是設寬為x米,面積為y平方米。函數關系式為：y=(24-2x)x即：y=-2x2+24x，轉化為：y=-(x-6)2+72,從而得出當寬為6米，長為12米時面積最大為72平方米，輕而易舉的得到答案。但在小學用算術解時，該問題就會變得有挑戰性：一面靠墻時很多學生會遷移過來覺得是24÷3=8(米)，8×8=64(平方米)，圍成正方形面積最大。看去符合上題的結論正方形面積最大，怎么驗證呢？最好的方法還是用看去最笨的列表法去驗證一下：

看來結論并不是圍成的正方形面積最大，而是長是寬的兩倍，長12米寬6米的長方形面積最大！這結論和上題顯然不同，問題出在哪里呢？可以引導學生觀察發現沒有靠墻時是一長一寬的和不變時，長寬相等面積最大，而這題是一長和兩寬之和相等時才是面積最大！用數形結合方法來解釋最直觀：上圖可以看出，由于是一面靠墻，所以將圍成的圖形一分為二可以發現圖一是分成兩個8×4的長方形，而圖二還是分成兩個6×6的正方形，顯然6×6大于8×4，所以圖二面積大。一面靠墻和沒有靠墻求最大面積圍法的共同點都是利用周長相等正方形面積最大的這一數學模型，不同點在于沒有靠墻的話，在一長加一寬的和不變時長寬相等面積最大，而一面靠墻，由于是一長加兩寬的和不變，所以就要將一長除以2的結果和寬相等也就是一長等于兩寬的和時面積最大，這樣圍成的長方形就可以分割成兩個面積最大的正方形，本質上和上題的結論也是一致的。還有學生發現一面靠墻的最大面積一定是不靠墻最大面積的2倍！正如上題24米籬笆圍成正方形最大面積是36平方米，而一面靠墻的話面積增大到72平方米。原因是在兩寬不變都是6米的情況下，一面靠墻的那個6米就可以節約下來，和原來長的6米組成新的長為12米，寬不變還是6米，這樣面積相當于擴大到原來的兩倍！通過數形結合可以非常好的解釋這一原理，在變式中加深學生對這一數學模型的深刻認識，發展學生空間觀念的同時，體會到數學“萬變不離其宗”統一性的美。

通過算術思維，用數形結合的方法可以很深刻、清楚的發現這類模型問題的內在結構。但如果用函數方程來解決這類問題雖然答案得來輕松，卻無法得到合理的解釋，也就是為何長是寬的兩倍時，靠墻面積最大？但是函數的代數思維是一種通解的方法，體現數學抽象性和整體性的特點。因此算術解法的直觀性、巧妙性和代數解法的統一性各有千秋，對于初中不僅僅是只會方程解法就可以，回過頭來用算術解法來嘗試解答，可以更深刻的加深對這類數學模型的理解。

3.數學模型的創新運用，發展學生的創新意識和創造性思維

3.1 周長不變，長方形長寬越接近面積最大的這一數學模型可以運用到其他數學問題上。例如用1、2、3、4、5這五個數字組成一個三位數乘兩位數怎樣組合乘積最大？學生通過列舉、驗證自然會發現431×52的乘積最大。但是為何不是521×43或者其他的答案乘積最大呢？這里說理的難點是這兩個乘數的和不是固定不變的，因此想運用這數學模型有點麻煩。其實稍微創新改變一下，還是可以運用這數學模型的。假設這是六個數字0、1、2、3、4、5。組合成兩個三位數相乘，要使積最大則兩個乘數的和也要越大越好，因此必須是951。即：百位上4+5=9，十位上2+3=5，個位上1+0=1。這樣設計的結果滿足了兩個乘數的和相等是951且最大。因此就產生了：類似431×520和521×430等多種乘積，因為431×520這兩個乘數比521×430的這兩個乘數更接近，所以431×520>521×430,且在多種乘法算式里431×520這兩個乘數最接近因此它們的積就最大?？墒窃}是沒有0的，最后再將兩個比大小的乘法算式左右兩邊同時除以10，就可以恢復三位數乘兩位數了，因此431×52>521×43。

小結：如果是偶數個數字組成兩個相同位數的兩個乘數相乘，那么可以直接運用周長不變，長方形長寬越接近面積最大的這一數學模型，找到答案。如果是奇數個數字就可以請0來幫忙，0占位在這太好用了，這個腳手架搭設完美，用畢再拆除，絲毫不影響。這種創造性思維，將這一數學模型進行創新運用就很完美的解決了這類問題，相同的這類問題如果是用代數思維函數列方程來解決就顯得非常麻煩費解，甚至無從下手，但算術思維在這里巧妙的運用，彰顯創新和智慧，很好的培養了學生的創新意識。

3.2 這類模型進一步的拓展，還可提出更有價值的問題，提出問題比解決問題更重要。有的學生提出一面靠墻時如果不是要求圍成方形，可以圍成任意形狀，是否圍成半圓的面積最大？還有學生指出可以將這類問題歸納成一維的周長不變求二維面積最大值的問題，同理也可以猜想出二維面積不變求三維體積最大的問題。例如：一張長方形鐵片長30厘米，寬20厘米，在四角分別剪去一個正方形，焊成一個無蓋的長方體鐵盒，要使鐵盒的容積最大，四角剪去正方形的邊長應該是多少？一個好的數學模型可以引發學生去思考，甚至在此基礎上萌發出多個數學模型，它們之間既有一脈相承的關系，同時又是再創造的產物，很好的培養學生的創造性思維，提高了學生的數學核心素養。

數學建模的過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、計算求解、驗證結果、改進模型、最終解決實際問題。而要形成數學模型很重要的前提是數學推理，史寧中教授指出：“數學推理是一種有邏輯的推理，包括演繹推理和歸納推理，在一般情況下，人們借助歸納推理“推斷”數學的結果，借助演繹推理“驗證”數學結果。在這個意義上，數學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的”。以“長方形周長不變，長寬越接近面積最大”這個數學模型為例，這個成果或許猜想往往先是通過合情推理發現或者發明的，合情推理與演繹推理二者不可偏廢。因此對這一數學模型的溯源和創新運用就尤為重要，只有這樣才能讓學生更主動的去探究數學、理解數學，培養應用意識和創新意識。