小學數學符號思維的培養策略

李金靈

(湖州師范學院教師教育學院 浙江 湖州 313000)

1.培養數學符號思維的重要性

羅素在《西方哲學史》中對符號進行了描述，他說道：“數學的真理，正如柏拉圖所說，乃是與知覺無關的；它是非常奇特的一種真理，并且僅只涉及符號。”[2]由此可見，數學符號可謂在數學中發揮了重要的作用。數學離不開數學符號，數學的形成和發展都與符號息息相關。學生在學習數學的道路上會不斷接觸數學符號，理解數學符號，培養符號思維是十分必要的。第一，數學符號具有高度的概括性和抽象性。符號是信息高度凝練的產物，數學符號亦是如此。利用一個或幾個數學符號便能表示一系列復雜的數學信息，每個數學符號都是不同數學信息高度概括的產物。第二，數學符號在表征數學信息和數學關系中起到了關鍵的作用。每一個數學符號包含著特定的含義，傳達著不同的數學信息，數學信息和數學關系的呈現依靠數學符號來傳遞。學生在學習數學的道路中會遇到諸多數學符號，它們貫穿于數學學習的整個過程，在數與代數領域、空間與圖形領域得到了廣泛的應用。第三，數學符號是一種國際化語言。由于數學符號本身的國際通用性，來自不同國家和地區的人們都能理解它的含義，獲取數學符號中傳遞的意思。即使語言背景不同，對數學符號的認知也是相同的。第四，數學學習需要培養學生的符號思維。理解不同符號的意義與作用，根據符號理解數與數之間的關系，運用符號解決一系列問題能夠幫助學生在數學學習中培養良好的數學符號思維。

在義務教育階段，小學數學學習的中包含了十大核心思維，符號意識便是其中之一。《義務教育數學課程標準(2011年版)》中指出要注重發展學生的符號意識，具體包括：能理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律；能使用符號進行運算和推理，得到一般性的結論[3]。建立符號意識，培養符號思維不僅有助于學生理解符號的深層次意義，而且鍛煉了數學表達與思考的能力，培養了學生的抽象概括能力。但是在教學中，教師往往只意識到教授數學符號的含義和作用，卻忽略了符號思維的培養。

2.小學數學教材中符號的分類與特點

2.1 小學數學符號的分類。數學符號內容豐富，邵光華根據其表示的意義將符號分為六類，分別為元素符號、運算符號、關系符號、結合符號、約定符號、縮記符號[4]，每一類符號都有著不同的含義，在數學學習中起到了不同的作用。

2.1.1 元素符號。元素符號常用于表示數或幾何圖形。在小學階段，出現的元素符號主要有阿拉伯數字，表示數的字母，表示常數的字母，表示幾何圖形或線段、直線的字母。這些元素符號起到了直觀地、簡潔地呈現數與幾何圖形的作用，因而廣泛地應用于數學信息的表達。

2.1.2 運算符號。運算符號指進行數學運算時所使用的一系列符號。小學階段常用的運算符號包括“+”、“-”、“×”、“÷”四種，運算符號連接了數字之間的關系，在列式計算中起到了連結數字的作用，在解決問題中起到了將數學信息用算式的方式呈現的作用。

2.1.3 關系符號。關系符號是一類表示數學對象之間關系的符號。用于數值大小比較的數學符號有“=”、“≈”、“<”、“>”，用于表示位置關系的數學符號有“∥”、“⊥”，(1，2)能用兩個數判斷位置關系，含有未知數的等式可以表示數與數之間的關系。

2.1.4 結合符號。結合符號是一類能改變運算順序的符號，表示將某些數學對象先進行結合后運算的符號。小學階段出現的結合符號是小括號，用于在算式中改變計算順序。有了小括號的幫助，學生在列式計算時可以進行簡便計算，提高學生的運算速度和運算能力。

2.1.5 約定符號。約定符號規定了某些符號表示的特定含義。例如長度單位有“mm”、“cm”、“dm”、“m”、“km”，面積單位有“cm2”、“dm2”、“m2”、“km2”，體積單位有“cm3”、“dm3”、“m3”，質量單位有“g”、“kg”、“t”，這些符號都是用于表示特定的含義。

2.1.6 縮記符號。縮記符號表示某些符號的縮寫形式，也是符號的簡便表示方法。小學階段常見的縮記符號主要有兩類，一類是循環小數的表示，用點表示小數點后面數字的循環；另一類是乘號的省略形式，6和a相乘可以表示為6a，乘號可以省略不寫。

筆者根據以上六類符號的分類依據，對人教版小學數學一年級至六年級中常出現的符號進行了整理與分類，具體見表1。

表1 人教版小學數學符號表

2.2 小學數學符號的特點。第一，數學符號具有較高的概括性，是一種具有高度抽象性的數學語言。數學符號的高度概括性也決定了它的簡潔性，用言語表示的一句話往往只需要使用一個或者幾個符號便能簡便地表示出來。第二，數學符號具有多樣性。數學符號根據不同的分類依據可分為不同的類別，除了本文列舉的一種分類方法之外，還可以選取不同的標準進行分類，分類標準與方法是多樣的。此外，同一個數學符號也具有多樣性，即一個符號在不同情況中的擁有不同的含義。第三，數學符號具有抽象性。數學符號是在數學史的演變中逐漸形成的，許多符號來自拉丁文與希臘字母，數學符號的形狀大多與它具體指代的含義無直觀形象的聯系。在小學階段，學生的直觀思維程度較高，抽象思維程度較低，因而數學符號對于小學生來說具有一定的抽象性。

3.培養小學生數學符號思維的策略

3.1 體會數學符號的優越性和符號意義的多樣性。學生在學習之初對符號的理解為漢字的替代物，并沒有理解符號的作用，體會它的優越性。數學符號蘊含著豐富的數學信息，是具有一定概括性和普遍適用性的數學信息的抽象產物。正確理解符號概念有助于把握符號的本質內涵，理清數量之間的關系。數學注重于理解，教學的目的并非讓學生一字不落地復述出每一個符號的含義與作用，而是要理解它的本質內涵、適用條件等。教師需要引導學生在數學學習中意識到符號的優越性，體會符號的高度概括性和凝練性。當學生體會到數學符號的作用時，便能激發并保持學生對符號探索的積極性，體會符號中蘊含的數學思維。

在大多數小學生的認知中，一種符號只包含了一種意義，是一一對應的，事實上并非如此。阿拉伯數字0～9是小學生最先接觸到的數學符號，在學生的認知中，數字即物品的數量。但并非如此，數字不僅表示事物的數量，也可以用來指代具體的事物。例如數字“1”，既可以表示某個物品的數量為1，也可以用來指代一個物品或一堆物品。在分數中，“1”指代的是單位“1”，也就是學生在部分與整體意義中理解的整體。由此可見，同一種符號在不同的情境中表達著不同的意義，傳遞著不同的信息。符號的含義并非具有單一性，在不同的情境中包含著不同的含義，需要根據具體的情境進行判斷。

3.2 考慮學生認知發展水平，采取合適的教學語言。不同學段的學生擁有不同的認知發展水平，隨著學段的上升，學生的認知水平不斷得到發展。教師應根據學生的實際情況，適當地調整教學語言，在教學中選擇合適的教學語言促進學生符號思維的發展，這是十分重要的。低年級的學生認知發展水平處于起步的階段，教師在教學過程中應采用通俗易懂的語言去解釋符號的含義，在具體例子的解釋中促進低年級學生理解數學符號的意義與作用。隨著年級的增長，學生認知發展到了一定的水平，教師應使用概括性較高的語言去描述和概括符號的含義。除了教授之外，教師還可以引導學生自主對數學符號進行主動探究與總結，在探究中理解符號的意義與作用，在實踐中體會符號表示的數量關系。

3.3 教學遵循循序漸進性，引導學生經歷數學符號的形成過程。符號思維的培養要遵循循序漸進性，在逐步的探究中得到發展。實踐是培養符號思維的重要途徑之一，符號思維的形成與實踐息息相關。教師應在教學中尋找合適的時機引導學生對符號進行探究，在探索中形成符號意識，發展符號思維。具有探索性的例題是幫助學生培養符號思維的載體，例如一些探索規律題“找規律，填一填：1.1×1.1=，11.1×11.1=，111.1×111.1=，1111.1×1111.1=，11111.1×11111.1=......”針對該類型的探究題，學生在觀察中可以發現其中的規律，再用符號表示規律并且進行驗證。首先，學生通過觀察可以發現算式中乘數的規律，即每個數位上的數字都是1，并且算式依次增加了一個數位。其次，引導學生嘗試運用符號表示算式中的規律，得出一般結論。最后，教師可以引導學生驗證得到的規律是否成立，進一步體會符號的作用與意義。在這三個環節中，教師應不斷引導學生進行探究，實現從直觀算式到抽象規律的形成過程。學生在探究中經歷了符號的作用和意義，才能促進學生符號思維的發展，形成用符號解決問題的意識。

3.4 創設問題情境，在協作中共建數學符號思維。問題情境的創設有利于激發學生的認知沖突，學生帶著疑問中融入數學探索。教師在此基礎上闡述與明確探索的主題，引導學生進行思考，建構并闡述自己的觀點，這是學生自主建構知識的過程。學生的學習包括個體認知和社會認知，在教學中教師往往會忽略學生之間的協作建構而注重學生與知識之間的個體建構，即在教學中忽略了社會建構的作用。社會建構是促進學生知識理解的重要途徑，在社會協作中，學生在協作學習中進行社會化互動，即通過協作交流共同探索符號的意義，理解符號表示的數量關系。學生在個體建構的過程中產生對數學符號的理解和疑問，社會建構利于學生呈現自己的觀點與不足，學生之間可針對彼此的觀點進行補充或提出質疑，促進認知沖突的解決，最終促進符號思維的發展。該策略的目的是利用協作對話的交互作用，使學生持續改進自己對于符號的觀點，從而實現學習的深層次的轉變，促進符號思維的發展。