高等院校泛函分析課程的教學研究

靖楊萍 張林 亓文濤

摘要：泛函分析課程在高等本科院校的教學計劃中是一門重要的專業理論課，本文從兩個方面闡述泛函分析課堂的教學構建，對泛函分析的教學具有重要的參考價值。

關鍵詞：泛函分析;課堂教學;本科生

泛函分析課程是高等院校數學本科專業的一門重要專業基礎課，在數學專業的教學中具有承上啟下的作用。本課程主要任務是了解和掌握線性空間、線性算子以及線性算子空間、線性算子譜分析中的基本概念和基本理論。既以已學過的許多數學課程（如數學分析，高等代數，解析幾何，實變函數等）為基礎，是這些課程的高度綜合，又為近代數學的重要基礎課程，同時在物理學、信息科學、工程技術乃至經濟學等諸多學科中有廣泛的應用，是培養學生數學抽象思維能力和創新能力的必備課程。通過本課程學習，利于增強學生的理論自信、文化自信與創新思維，助于學生樹立正確的人生觀、世界觀與價值觀。

通過對本課程的學習，我們希望學生能達到以下四個課程教學目標：（1）能掌握泛函分析的基本概念和基本理論，能從中汲取現代數學的理論、思想和方法，開闊視野，加深對分析類課程及中學數學有關內容的理解。（2）透過分析問題的具體內容洞察其內在的代數，幾何（拓撲）實質的思想方法，了解泛函分析理論與數學的其它分支的密切聯系和廣泛的應用，為今后學習其它理論打下較好的基礎。（3）能運用泛函分析中的證明和分析方法，培養學生由淺入深逐步演繹的數學素養、數學表達以及邏輯推理能力。（4）能通過泛函分析的學習和實踐，培養創新思維和數學修養，助力復合型、創新型和應用型人才的培養。我們希望在透視泛函分析課堂教學現象的基礎上，以學生心智發展和培養復合型人才為課堂教學目標，從以下幾點分析解決問題。

一、充分調動學生學習積極性，尊重學生的主體地位

在泛函分析的教學中，我們發現，學生初學時都會覺得這是一門新的沒有接觸過的數學，在預習的時候，往往看不太懂，或者就算看懂了，也只是看個大概，不知道更深的數學含義。

在這個時候，我們做老師的，就需要培養他們的自學能力，可以給他們一些問題，讓他們去查資料，翻閱多種泛函分析的課本，仔細查考和深究泛函分析中的定義，通過定義和定義的對比，看出它們的區別來。例如，在學習緊集、列緊集、自列緊集的定義時，就需要通過對定義的比較來具體看出它們各自的含義和區別，另外，我們也可以指導學生去找一些具體的例子來，通過例子來理解定義和它們的不同之處。老師在講授的時候，一定要留下一些時間，讓學生來參與，實踐出真知，只有通過自己的練習，才能掌握書本的知識。遇到簡單的部分，我們也可以讓學生到黑板上來講一講，加深他們的印象。只有自己能給別人講清楚時，才會把這些知識弄懂。另外，也需要布置一些課后作業，通過適當的練習，加深對課本知識的理解和掌握。

二、通過定義和定理，加強學生的數學思維鍛煉，提高自學能力

泛函分析的講課過程中，大部分是定義和定理的證明，主要是理論的推理過程，計算不太多。在講定理的過程中，我們需要講清楚整個證明的過程，先把定理的邏輯推理弄清楚了，然后我們帶領學生回顧整個證明過程，看一看證明時候用到了什么方法，為什么會用這種方法，有沒有新的技巧我們可以學習，要知其然，并知其所以然。這樣，通過定理的證明，我們來培養學生的數學思維能力，邏輯推導能力，長期下去，學生的自學能力就能夠有很大的提高。另外，在講授的過程中，我們盡可能化繁為簡，深入淺出，把深奧的定理用淺顯的語言來說明，這樣，適當增進趣味性，學生們會容易接受，覺得這門課不是這么難，就愿意學下去了。

教好泛函分析不是一件容易的事情，需要每教師有較深的數學理論水平，也需要教師加強數學素養和學術水平，并且需要教師一邊科研一邊教學，把科研的心得和體會跟學生來交流。也需要教師用心設計每一堂課，充分調動學生的學習積極性，使學生愛上泛函分析，熱愛數學，提高他們的數學思維和邏輯能力，也能夠使他們將來走上數學的教學和科研之路，為我們國家培養更多的優秀人才。

參考文獻：

[1]張恭慶、林源渠，《泛函分析講義》，北京大學出版社，2014。

[2]夏道行、吳卓人、嚴紹宗、舒五昌，《實變函數與泛函分析》，高等教育出版社，1978。

[3]鄭維行，王聲望，《實變函數與泛函分析概要》下冊，高等教育出版社，1992（第二版），2005。

[4]胡適耕，《泛函分析》，高等教育出版社，2004。

[5]劉炳初，《泛函分析》，科學出版社，2015。

[6]曹廣福、嚴從荃，《實變函數論與泛函分析（下冊）》（第三版），高等教育出版社出版，2013。

作者簡介：靖楊萍（1980-），女，講師，博士，研究方向：高等教育研究，數學理論。

基金項目：

（1）杭州電子科技大學圣光機聯合學院2020年度教育教學改革項目SGJ2020JG014;

（2）浙江省教育廳項目Y202147345;

（3）浙江省教育科學規劃項目2021SCG013;

（4）浙江省高校實驗室工作研究項目YB202102。