振蕩激波作用下壁板的非線性動力學特性分析

葉柳青　葉正寅

摘要： 沖壓發動機內部的激波串往往存在振蕩特征，揭示此種狀態下壁板的氣動彈性特性對結構安全性具有重要指導作用。基于von Kármán 大變形理論和當地一階活塞流理論，采用?Galerkin 方法建立了振蕩激波作用下壁板的非線性動力學方程，通過龍格?庫塔法對非線性動力學方程進行數值積分求解，在不同的系統參數（即激波強度、激波振蕩幅值以及振蕩頻率）下，取來流動壓為分岔參數，研究壁板在振蕩激波作用下的分岔及混沌等復雜動力學特性。計算結果表明：與激波位置固定情況相比，壁板在振蕩激波作用下表現出更加豐富的動力學行為，其分岔特性更加復雜。極限環幅值隨著激波強度和振蕩幅值的增大而增大。激波的振蕩容易激發出混沌運動，并且通往混沌的道路為準周期道路。激波強度的增大不會改變通往混沌的道路，而當激波振蕩幅值大幅度提高時，不僅混沌區域顯著增大，通往混沌的道路不再是準周期道路，而是經歷更為復雜的過程進入混沌。

關鍵詞： 極限環;?混沌;?分岔;?振蕩激波;?當地活塞流理論

中圖分類號： O322;?V215.3 ???文獻標志碼： A ???文章編號： 1004-4523（2022）02-0464-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2022.02.022

引 言

沖壓/超燃沖壓發動機¹是一類結構簡單的吸氣式發動機，直接利用空氣作為燃料氧化劑，其推進劑的比沖（用于衡量火箭或飛機發動機效率的重要物理參數）比火箭發動機高數倍，是下一代發動機的首選。這類發動機結構形式主要為薄壁板結構，其氣動彈性主要表現為壁板顫振的方式。壁板顫振是壁板結構在慣性力、彈性力和氣動力耦合作用下產生的一種動態失穩現象。不同于機翼顫振導致結構迅速的破壞，壁板顫振振動的幅值一般受到結構非線性的限制不會引發迅速的破壞，而更多的是造成結構的疲勞損傷。雖然不同于機翼顫振一定會造成嚴重的飛行事故，但是劇烈的壁板顫振將會對壁板結構的疲勞壽命甚至飛行器的飛行性能產生不利的影響。

壁板顫振系統的研究始于20世紀50年代，其分析內容主要有兩方面：1）壁板的線性顫振邊界分析，即確定壁板顫振發生的臨界條件，并研究系統參數對壁板顫振臨界速度的影響規律;2）壁板顫振的非線性顫振響應分析，即求解得到非線性顫振響應的幅值和頻率，其中特別關注系統響應性質發生轉變的情況，如由周期性極限環顫振轉變為混沌顫振。由于不同的振動形式，估計壁板疲勞壽命的算法不同，因此研究壁板非線性氣動彈性系統中出現的各種復雜的響應也是壁板顫振分析中一項非常重要的內容。Dowell通過改變動壓和面內力，研究了簡支板的混沌現象。結果表明，對于各向同性簡支板，當面內力足夠大時，動壓超過一定值就會出現混沌現象。不僅考慮熱應力，還考慮隨著溫度的升高材料的機械性能發生改變，葉獻輝等研究了熱環境下二維壁板的非線性顫振特性，結果表明，系統呈現出豐富的動力學行為，包括衰減振動、極限環振動、擬周期振動和混沌振動。楊智春等采用帶有曲率修正的一階活塞理論，對超音速氣流中受熱壁板的動力學行為進行研究。Wang等對黏彈性壁板在壁板兩面都受到氣動力作用時的分岔特性和混沌響應進行了研究，結果表明，黏彈性阻尼可以有效地抑制混沌運動。

對于沖壓/超燃沖壓發動機來說，在發動機內部流場中存在著復雜的波系，因此有必要對激波作用的流場中薄壁板的氣動彈性特性進行研究。假定激波位置固定在二維壁板的中點不變，Visbal從數值的角度分別研究了無黏流場與黏性流場中受激波作用的二維壁板氣動彈性問題。Brouwer等提出了用當地活塞流理論來預測有激波作用的流場中氣動力的可行性。Ye等基于當地活塞流理論，建立了激波作用下壁板氣動彈性穩定性的理論分析模型，推導出了受熱壁板發生氣動彈性失穩的邊界條件，并分析了激波強度、激波沖擊位置對臨界顫振動壓的影響。采用雙向流固耦合算法，李映坤等研究了斜激波沖擊作用下曲壁板的氣動彈性響應特性。上述的研究都假定激波位置固定不變，但實際上，沖壓/超燃發動機內部的激波串往往存在振蕩特征。目前僅有少量的文獻考慮激波位置隨時間發生改變。Miller等基于von Kármán大變形板彎理論、CFD代理模型和熱傳導理論建立了基于流固熱的氣動彈性分析模型，可對運動激波作用下的壁板氣動彈性響應進行長時間的計算。Brouwer等在流場中設置正弦振動的激波發生器來產生振蕩激波，采用CFD和活塞流理論結合的方式進行氣動力建模，分別計算了振蕩激波主導流場中作用在二維和三維壁板上的非定常氣動力。其中氣動力的定常部分和非定常分量分別由CFD和活塞理論計算得到。結果發現計算得到的廣義氣動力與非定常CFD的計算結果吻合較好，由此說明了此方法預測振蕩激波流場中氣動力的可行性。Dennis等采用風洞實驗對在快速移動的激波作用下彈性壁板的氣動彈性特性進行了初步的研究，結果表明，與激波位置固定不變的情況相比，彈性壁板在快速移動的激波作用下振動幅值顯著提高。對于彈性壁板在振蕩激波作用下的分岔及混沌等復雜動力學特性，還鮮有系統性的研究報道。

本文針對振蕩激波作用下壁板的非線性動力學問題，基于von Kármán大變形理論及當地一階活塞流理論，采用Galerkin方法建立了振蕩激波作用下二維壁板的非線性動力學方程，通過龍格?庫塔法對非線性動力學方程進行數值積分求解，分析了系統參數（即激波強度、激波振蕩幅值以及激波振蕩頻率）對壁板分岔特性及混沌運動的影響。其中，為了準確識別和分析壁板在振蕩激波作用下的非線性動力學行為，使用相圖、Poincaré映射圖以及最大Lyapunov指數（Largest Lyapunov Exponent，?LLE）來進行判斷和分析。研究工作不僅加深了對彈性壁板在振蕩激波作用下的非線性動力學行為的理解，研究結論對超聲速飛行器壁板設計也有一定的參考價值。