MPCK視角下圓的標準方程教學設計

張鑫　于雪婧　趙迎春　布仁滿都拉

摘 要：數學教師的教學內容知識（MPCK）是從舒爾曼提出的PCK理論中獨立出來的，是近年來學術界教育領域研究的熱點問題。MPCK與教師的工作經驗密切相關，對課堂教學起著舉足輕重的作用。本文在MPCK的視角下，對圓的標準方程教學內容進行設計，并分別以MK、PK、CK的分視角對各個環節進行分析。

關鍵詞：MPCK;教學內容知識;教學設計;圓的標準方程

中圖分類號：G424.1? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2022）04-0011-04

1 MPCK概念介紹

20世紀80年代中期，美國學者舒爾曼提出了“缺失的范式”（Missing Paradigm），給出了“PCK”（Pedagogical Content Knowledge）的概念[1]。此后，以Grossman為代表的國外許多學者對PCK的內涵進行了解讀和研究。2000年，PCK引起以白益民為代表的國內學者的關注，并迅速成為教師知識研究領域的熱點[1]。PCK有“學科教學知識”“教學內容知識”等翻譯方式，這里采用后一種譯法。若結合數學學科來分析PCK，即數學教學內容知識[2]（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，MPCK），釋義為數學教師從事數學教學所應具備的核心知識[2]。黃毅英教授將MPCK分成MK（Mathematics Knowledge，數學學科知識）、PK（Pedagogical Knowledge，一般教學法知識）、CK（Content Knowledge，數學學習知識）三個角度[3]，三者互相影響，MPCK是三者的公共部分（見圖1），且會隨著教師教學經驗的增長而增長。

在數學教學中，教師往往需要綜合運用這3類知識，才能夠把科學形態的數學有效地轉化為教育形態的數學知識[4]。目前，世界各地的教育形勢均表明，教師仍是學與教的核心[1]。而MPCK是決定一名教師的認知活動的基礎，對教學活動起著舉足輕重的作用。教師進一步理解和使用這樣的知識，可以有效地提高課堂教學的效率。

2 MPCK視角下圓的標準方程教學設計

本文以圓的標準方程為例，簡述從MPCK的視角分析、設計教學的過程。圓的標準方程選自人教A版（2019）高中數學選擇性必修第一冊第二章《直線和圓的方程》，主要包括圓的標準方程及其應用等內容。

2.1 教學目標

教師設計教學目標時，可結合MPCK的理論進行分析。

本節課教學難點在于使學生利用初中學習過的“圓的定義”，將圓的定義抽象化為平面直角坐標系之中坐標點的位置關系，推導得出圓的標準方程并應用。教師需要讓學生理解：圓的定義并不是僅需死記硬背的普通文本，而是客觀描述圓實際存在的性質的數學語言。

結合MPCK的3個分視角做分析如下。

（1）從MK的角度來說，在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中，對本節課的相關規定有：回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程[5]。學生在初中已經學習過圓的定義等基本知識，在高中已經學習過使用代數語言描述直線的幾何特征。對該問題的設計，可以按照從文字語言、圖形語言轉向代數語言，進而推導方程的順序進行。

（2）從PK的角度來說，本節課適合以現實情境引導學生思考，同時滲透課程思政，故設計使用“討論法”開展教學。學生以小組為單位，圍繞“用代數的方法，結合圓的定義在平面直角坐標系之中表示圓”的問題展開討論，自行推導出圓的標準方程。

（3）從CK的角度來說，高一學生語詞邏輯記憶、有意記憶、意義記憶越來越成為記憶的主導，但從具體到抽象的認知能力和語言總結歸納能力較為欠缺。考慮使用動畫圖像直觀進行引導，使學生通過課上的探究，歸納、概括所發現的圓的標準方程并使用嚴謹的數學語言進行表達。在實際教學中，還應結合學生實際情況，考慮學生最近發展區，適當對講授方法做出調整和取舍。

根據以上分析，制定教學目標如下：

（1）通過類比直線方程的推導過程，能推導并掌握圓的標準方程;通過例題的訓練，會用待定系數法與數形結合法求圓的標準方程。

（2）通過例題中的建系、畫圖操作，培養學生用解析法研究幾何問題的能力，滲透數形結合思想。

（3）通過創設情境注入課程思政，挖掘課程思政元素，激發學生的愛國情懷。

（4）通過探索圓的標準方程的知識與特點，使學生進一步感受數學中蘊含的對稱美與和諧美。

2.2 設計貼合實際的情境，引導探究核心問題

根據MPCK組成之中的MK部分，本節內容是立足于初中所學知識及上一章內容的基礎，在平面直角坐標系中建立圓的代數方程，也為后續學習其他圓錐曲線的方程奠定基礎;根據PK部分，可以考慮以當前的社會熱點問題作為情境引入，讓學生感受學習本節內容的必要性，滲透課程思政元素;根據CK部分，引導學生使用小組討論的學法開展圓的標準方程內容的學習是圍繞“學習共同體”的理念，讓學生感悟蘊含于平面解析幾何中的“數形結合”思想（見圖2）。

問題一 第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在我國舉行，請同學們觀察圖中的奧運五環標志，回答以下問題：這個標志是由什么幾何圖形組成的？這些幾何圖形有什么異同？

問題二 天津之眼摩天輪直徑110米，是世界上唯一一個橋上瞰景摩天輪，是天津的地標之一（見圖3）。2020年2月，為致敬奮斗在抗疫一線的醫務工作者，自疫情結束恢復營業后至2020年12月31日，天津之眼對全國醫務工作者實行免門票。請同學們回答以下問題：當摩天輪上的一個箱體繞著軸旋轉一周，會形成一個什么幾何圖形？這個幾何圖形的定義是什么？

問題三 能否類比直線方程的建立過程，建立平面直角坐標系，使用“代數”的表達方法來表示圓？

問題四 設圓心A為（a，b），半徑為r，M（x，y）點是圓上任意一點，根據定義，圓應該如何用代數的方式表示？

從MK的視角來看，兩個問題的設計引導學生回憶了圓的定義和確定一個圓的基本要素（圓心、半徑），教師重視該部分知識在整個數學知識體系之中的作用，有助于學生形成自己的知識體系。

從PK的視角來看，本部分內容是本節的核心重難點內容，教師情境引入利用圖像和動畫進行直觀引導，從情境引入到學生自主討論的過渡使用問題串，不僅能完成從舊知到新知的過渡，也使得課堂能在較為輕松的環境下開展。同時，對奧林匹克運動會及當前新冠疫情的描述還能夠升華學生的愛國主義情操，激發學生努力學習報效祖國的學習動機，完成課程思政教學目標。

從CK的視角來看，培養學生利用“代數”的方法解決平面幾何問題的能力，有利于實現學生思維中形和數的統一，促進學生數學抽象、數學運算、數學建模等數學核心素養的發展。

2.3 當堂練習，學以致用

從MPCK之中MK的角度，“應用圓的標準方程解決問題”屬于本節課的重難點，設計有梯度的課堂習題、解決情境導入的問題是鞏固本節所學知識、突破本節課難點的有效措施，能夠重點提升學生“數學運算”的核心素養;從PK的角度，考慮課堂教學采用問題—啟發的教學模式，鍛煉學生解題技能;從CK的角度，合作學習的學法體現學習共同體的理念，能夠保證課堂思維流量。根據以上分析，設計課堂習題如下。

例1 一個圓的圓心為A（2，-3），半徑長為5， 寫出這個圓的標準方程。

練習1 求圓的圓心及半徑

（1）x2+y2=4;

（2）（x-1）2+y2=1;

練習2 寫出下列圓的方程

（1）圓心在原點，半徑為3;

（2）圓心在（-3，4），半徑為。

練習3 請嘗試自己建立平面直角坐標系，寫出情境二中“天津之眼”所在圓的標準方程。

練習4 根據以下條件寫出圓的標準方程。

（1）寫出經過點P（5，1），圓心為C（6，-2）的圓的標準方程。

（2）寫出以線段PQ為直徑的圓的標準方程，其中P（6，3），Q（4，9）。

問題一 請回答以下問題。

（1）方程（x-1）2=9-（y+3）2表示一個什么樣的圖形？

（2）方程x2+y2=0表示一個什么樣的圖形？

問題二 在剛剛做過的例題中，圓心為A（4，-6），半徑為3的圓標準方程是（x-4）2+（y+6）2=9，問：如何判定M1（5，-7）和M2（-，-1）這兩個點是否位于圓上？你是怎樣判斷出來的？

從MK的視角來看，前半部分的課堂始終圍繞從圓心坐標、半徑長度等元素推導圓的標準方程的邏輯進行教學，問題三、四則是引導學生已知圓的標準方程，去反推圓的其他元素。從另一個角度了解圓的標準方程所表達的意義，能夠使學生對本部分知識達到更深的理解層次。

從PK的視角來看，教師使用問題—啟發的教學模式，穿插板演、搶答等方法，首先帶領學生運用新知識共同完成問題，再留給學生獨立解決問題的空間，使學生不斷經歷獨立思考—合作交流的過程，能極大地提升學生解決問題的能力。

從CK的視角來看，通過對同一個知識點正反雙向的題目訓練，學生能夠體會運用代數法和幾何法解決問題的特點，能夠深度理解圓的標準方程的概念，發展數學運算，數學抽象和數學建模的核心素養。

2.4 暢所欲言，總結課堂

根據MPCK中MK的角度，知識之間存在互相關聯的網絡，教師應幫助學生梳理鞏固本節課的知識脈絡（見圖4），即確定一個圓的基本要素、圓的定義以及圓的標準方程，使學生達到更深的理解層次，幫助學生形成知識體系;從PK的角度，教師在課堂總結部分應給學生足夠的自由發言空間，目的是通過課堂小結，盡可能地發現學生還未解決的問題;從CK的角度，學生自己梳理、總結知識脈絡，是扎實數學基礎、發展數學核心素養的有效途徑。

從MK的視角來看，教師在本部分，按照以下方面緊扣本節課重難點進行引導總結。

（1）圓的定義與圓的標準方程息息相關。

（2）圓的標準方程與現實世界息息相關，是接下來要學習的其他平面解析幾何知識的基礎。

（3）推導圓的標準方程的方法及其反映的數學思想。

（4）利用圓的標準方程解決數學問題的要點。

在總結過程中，教師應適時點撥提問，并伴有鼓勵性語句，讓學生自我表達，提升語言總結能力和表達的精確性，體會數學要求時刻精確的思想。

從PK的視角來看，教師要求學生自由發言，課堂的學習氛圍良好。

從CK的視角來看，課堂總結的思路邏輯清晰，層層遞進，嚴密精準，學生能夠很好地思考、舉證、討論，便于教師發現問題、引導學生解決問題。

3 結語

本節課的設計思路如下。

（1）通過現實情境使學生回顧圓的定義。

（2）結合情境描述圓的基本要素和幾何特征。

（3）結合具體問題合理建立平面直角坐標系。

（4）使用代數語言描述圓的幾何特征。

（5）得到圓的標準方程。

主要設計理念是在MPCK的視角下，堅持問題導向的方法，對學生形成有效的思維引領，幫助其塑造科學嚴謹的數學思維習慣，引導學生自主發現問題、分析問題，最后解決問題。

通過以上剖析，提出對教師的建議：

（1）不輕視數學中的任何一個問題，從學生立場解釋知識、表征知識[6]。很多時候，教師對教學內容存在“想當然”的態度，容易使用“這是固定規則”“易證”“容易得到”等詞匯。教師深入挖掘教材，站在學生的角度對每個可能的問題進行深度思考，在發現問題、解決問題的過程中引導學生深入探知、深度理解，是切實提升自身MPCK水平的有效途徑。

（1）注重提升自身的數學知識。從建構主義的觀點來看，教師的數學知識向數學教學內容知識轉化，最終生成MPCK的過程是一個動態的建構過程，它需要教師在真實的教學情境中自主建構[7]，需要以教師自身高水平的學科知識為基礎。

（3）重視教授知識過程中情境的重要性。學生要學習知識，知識為學生成長服務。知識具有情境性、實踐性、個體性等性質[7]，教學活動中構建情境，能很好地兼容知識的性質，極大地提升教學效果。教師應結合數學史、實事、課程思政等設計情境，使學生體會到學科與人的關聯，成長為完整的人。

（4）高水平的MPCK得益于教師從新手時期就開始的不斷努力和思考。只有教師主動以理解數學知識和學生學習情況為前提，對每一節課進行再創造，整合教法知識與學科知識，積極對自身MPCK進行建構，才能切實提高專業能力。

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參考文獻：

〔1〕陳子薔，胡典順，何穗.中國目前MPCK研究綜述[J].數學教育學報，2012，21（05）：15-18.

〔2〕李渺，寧連華.數學教學內容知識（MPCK）的構成成分表現形式及其意義[J].數學教育學報，2011， 20（02）：10-14.

〔3〕黃毅英，許世紅.數學教學內容知識—結構特征與研發舉例[J].數學教育學報，2009，18（01）：5-9.

〔4〕胡典順，何穗.MPCK視角下的指數函數的單調性[J].數學通報，2012，51（04）：16-18+21.

〔5〕中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

〔6〕李偉勝.學科教學知識（PCK）的核心因素及其對教師教育的啟示[J].教師教育研究，2009，21（02）：33-38.

〔7〕童莉.數學教師專業發展的新視角——數學教學內容知識（MPCK）[J].數學教育學報，2010，19（02）：23-27.

收稿日期：2022-03-07

通訊作者：趙迎春（1983—），女，內蒙古興安盟人，副教授，碩士生導師，研究方向：微分算子譜理論及其應用，學科教學論。

基金項目：赤峰學院教育碩士專業學位人才培養與基礎教育教學專項（cfxyjyss12026）