拉格朗日點(diǎn)與多星模型問題探討

陳揚(yáng)輝 李文波

(1. 福建省廈門集美中學(xué)，福建 廈門 361021；2. 福建省廈門第一中學(xué)，福建 廈門 361001)

1 引言

歷年高考物理針對(duì)萬有引力定律的考查都較為全面，各類天體模型不斷推陳出新，其中包含三星體系、四星體系的多星體系問題討論也在考試中多次出現(xiàn)，往往讓準(zhǔn)備不足的考生手足無措。現(xiàn)以高中物理知識(shí)體系為基礎(chǔ)，闡述面對(duì)該類型問題的有效求解手段，也為即將迎考的考生提供本類題型的解題思路。

2 拉格朗日點(diǎn)的位置與特征

關(guān)于多星體系的萬有引力考題，可能會(huì)借助拉格朗日點(diǎn)作為背景知識(shí)考查。那拉格朗日點(diǎn)是什么，有何特點(diǎn)？

簡(jiǎn)化的模型如圖1所示，S為太陽，E為地球，在地球繞太陽周期運(yùn)動(dòng)過程中，存在L1～L5五個(gè)位置，由于太陽和地球引力的共同作用，這五個(gè)位置上的天體繞S(太陽)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期和E(地球)的運(yùn)行周期相同，五個(gè)位置即為拉格朗日點(diǎn)。其中L1～L3與太陽和地球每一時(shí)刻都在同一條線上，由數(shù)學(xué)家歐拉推導(dǎo)得出，L4、L5與太陽和地球在每一時(shí)刻都構(gòu)成等邊三角形，由數(shù)學(xué)家拉格朗日推導(dǎo)得出，后來人們習(xí)慣上將這五個(gè)點(diǎn)統(tǒng)稱為拉格朗日點(diǎn)。人們?cè)谔煳挠^測(cè)中還發(fā)現(xiàn)，在拉格朗日點(diǎn)L4、L5位置往往聚集大量小型天體，在該位置的天體的運(yùn)行軌道具有很好的穩(wěn)定性。

圖1

五個(gè)拉格朗日點(diǎn)的推導(dǎo)是建立在以太陽為中心的基礎(chǔ)上，由太陽和地球的萬有引力提供向心力，在5個(gè)位置天體的運(yùn)行周期和地球運(yùn)行周期相同。本文不再具體介紹關(guān)于拉格朗日點(diǎn)的推導(dǎo)，在高考中以拉格朗日點(diǎn)作為背景考查多星問題就再適合不過了。

3 雙星模型的特征和等效質(zhì)量

宇宙中有超過一半的恒星是以雙子星形式存在的，雙子星相互繞行最典型的特點(diǎn)是兩顆星球具有相同的角速度和周期。筆者先以雙星體系為例，如圖2所示，雙子星A、B質(zhì)量分別為2m和m，相距L，互相繞行做圓周運(yùn)動(dòng)，求解A、B星的質(zhì)心位置和繞行周期。

圖2

4 拉格朗日點(diǎn)和三星模型的關(guān)聯(lián)

在拉格朗日點(diǎn)上繞行的天體與地球具有相同的運(yùn)行周期，這是在以太陽為中心、其他天體繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的條件下證明的結(jié)論。

借助雙星模型中質(zhì)心的概念有助于我們理解三星問題，針對(duì)不易理解的拉格朗日點(diǎn)L4、L5，課堂討論的問題如下：如圖3所示，雙子星A、B質(zhì)量分別為2m、m，在萬有引力作用下互相繞行做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，距離為a。在拉格朗日點(diǎn)C處有一個(gè)質(zhì)量為m′的探測(cè)器，m′相對(duì)于m可以忽略，三者具有相同的運(yùn)行周期，求解C處探測(cè)器的運(yùn)行周期T。

圖3

由以上結(jié)論可以看出：探測(cè)器運(yùn)行周期和雙星運(yùn)行周期相同。在教學(xué)中借助雙星體系來講解拉格朗日點(diǎn)L4、L5的位置在等邊三角形頂點(diǎn)的原因，學(xué)生對(duì)此更易接受。類比A星相當(dāng)于太陽，B星相當(dāng)于地球，由于太陽質(zhì)量遠(yuǎn)大于地球質(zhì)量，則等效質(zhì)點(diǎn)O的位置非常靠近太陽，地太系統(tǒng)從嚴(yán)格意義上來也是雙星系統(tǒng)。在等邊三角形頂點(diǎn)的拉格朗日點(diǎn)L4、L5上運(yùn)行的天體同時(shí)受A、B天體的萬有引力作用，繞三者質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，學(xué)生對(duì)L4、L5處天體運(yùn)行的穩(wěn)定性也較易理解。

5 三星模型特征與等效質(zhì)量的拓展

繼續(xù)討論三星模型下拉格朗日點(diǎn)L4、L5處天體質(zhì)量是否會(huì)影響整個(gè)三星體系的繞行。如圖4所示，假設(shè)在探測(cè)器C(L4處)的位置，我們遷入一顆質(zhì)量同為m的天體D，構(gòu)成三星體系相互繞行，求解天體D的運(yùn)行周期。

圖4

由以上結(jié)果可見：加入天體D質(zhì)量足夠大，新構(gòu)成的三星體系則會(huì)影響原先雙星系統(tǒng)的質(zhì)心位置和運(yùn)行周期，加入的天體質(zhì)量越大，新組成的三星系統(tǒng)的運(yùn)行周期則越小。

6 結(jié)語

拉格朗日點(diǎn)和多星模型對(duì)高中生而言都是較為抽象和生疏的，但歷年高考題型常會(huì)推陳出新。筆者利用等效質(zhì)心的概念將多星系統(tǒng)簡(jiǎn)化為學(xué)生熟練的雙星問題，結(jié)合拉格朗日點(diǎn)為學(xué)生梳理脈絡(luò)、化繁為簡(jiǎn)，快速尋找解題的切入點(diǎn)，提高解題效率。