跳-擴(kuò)散市場環(huán)境下基于股票誤定價的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略

殷艷紅，夏登峰，郭宇超

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

養(yǎng)老金管理關(guān)乎國家安全穩(wěn)定與民生福祉,最優(yōu)資產(chǎn)配置將有效提升養(yǎng)老金賬戶收益。養(yǎng)老金分為確定收益型(Defined Benefit，DB)和確定繳費型(Defined Contribution，DC)。本文討論DC型養(yǎng)老金以其效用最大化為目標(biāo)，從而找到一種最優(yōu)投資策略以獲取最大收益。

養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)投資策略問題近年來引起了人們的廣泛關(guān)注，研究工作較多。因養(yǎng)老金投資時間長、跨度大，管理者需要充分考慮市場風(fēng)險帶來的影響，比如利率風(fēng)險、波動風(fēng)險以及通脹風(fēng)險。Deelstra等[1]在保證終端財富最大值的情況下研究養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略問題時假設(shè)利率是隨機(jī)的。Chen等[2]研究了通脹環(huán)境下具有損失厭惡并提供最低保障的保險公司的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題。Wang等[3]研究了DC型養(yǎng)老金計劃成員的魯棒最優(yōu)投資組合選擇問題。乾丞健等[4]在Heston模型下研究了具有違約風(fēng)險的DC型養(yǎng)老金計劃的均衡投資策略。Tang等[5]在研究養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)配置時綜合考慮了隨機(jī)利率、通脹和最低保障。

以上研究中風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程是連續(xù)情形，但在實際金融市場中，風(fēng)險資產(chǎn)的價格可能會出現(xiàn)跳躍情況。付渴等[6]假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)價格滿足跳-擴(kuò)散模型，在均值-方差下研究了養(yǎng)老金時間一致最優(yōu)投資策略的問題。費為銀等[7]在跳-擴(kuò)散環(huán)境下研究了帶通脹的最優(yōu)動態(tài)資產(chǎn)配置問題。龔曉琴等[8]在隨機(jī)利率和隨機(jī)波動率下假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)滿足跳-擴(kuò)散模型，研究了保險和再保險公司的穩(wěn)健投資策略。Li等[9]在均值-方差框架下考慮了具有跳-擴(kuò)散風(fēng)險不確定性的DC型養(yǎng)老金計劃的α穩(wěn)健最優(yōu)投資問題。還有文獻(xiàn)[10-11]均假設(shè)盈余過程滿足跳-擴(kuò)散模型，研究了保險公司的最優(yōu)超額再保險和投資策略問題。

股票誤定價是指股票估計價值與真實價值之間存在的差值或同一只股票在不同市場上的價值差值，包括股票價格被低估和被高估的偏差。Wang等[12]在研究政府和保險公司的穩(wěn)健最優(yōu)保險和投資策略中假設(shè)保險公司可投資于帶有誤定價的股票。Winston等[13]研究了信息不對稱下股票的誤定價模型。Ma等[14]在Heston模型下研究了帶有誤定價的DC型養(yǎng)老金計劃的最優(yōu)投資策略問題。

本文假設(shè)養(yǎng)老金管理者將保費分別投資于無風(fēng)險資產(chǎn)和帶有誤定價的風(fēng)險資產(chǎn)股票，并假設(shè)其中一個的價格過程是跳-擴(kuò)散的，研究了管理者的終端財富效應(yīng)最大化問題。通過求解關(guān)于養(yǎng)老金管理者值函數(shù)滿足的HJB方程，得到其最優(yōu)投資策略，并通過數(shù)值模擬，從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度分析了各參數(shù)對養(yǎng)老金管理者最優(yōu)投資策略的影響；推廣了已有結(jié)果，對養(yǎng)老保險市場具有一定的指導(dǎo)意義。

1 模型設(shè)定

W(t)=(Wp(t),Z(t),Z1(t),Z2(t))是定義在完備帶流概率空間(Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。信息流Ft=σ{W(s);0

假設(shè)無風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程S0(t)：

(1)

式中，r>0為無風(fēng)險利率。

類似文獻(xiàn)[14]中，S1(t)、S2(t)表示同一種股票在兩個不同市場中的價格過程，且S1(t)滿足跳-擴(kuò)散模型，滿足

(2)

且α1、α2是正常數(shù)，l1、l2、a、b是常數(shù)，l1、l2是控制均值回歸率的參數(shù)，Wp(t)、Z(t)、Z1(t)、Z2(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，且相互獨立。adZ(t)表示股票相同風(fēng)險，bdZi(t)表示股票個體風(fēng)險。

類似文獻(xiàn)[8]中：

此時，S1(t)股票價格過程則可以表示為

(3)

根據(jù)伊藤引理，價格誤差動態(tài)過程M(t)可表示如下：

本文假設(shè)工資是關(guān)于時間t的確定性函數(shù)P(t)，投保人按工資的固定比例ε繳納保費直至退休。在DC型養(yǎng)老金的積累期[0,T]，管理者可以將保費投資于不同金融市場中的風(fēng)險資產(chǎn)，假設(shè)在t時刻投資于風(fēng)險資產(chǎn)S1(t)、S2(t)的比例分別為π1(t)、π2(t)，則投資于無風(fēng)險資產(chǎn)為1-π1(t)-π2(t)。投資者的財富過程為X(t)，滿足如下方程：

(4)

將式(1)～(3)代入式(4)，可得

(5)

2 最優(yōu)投資策略

首先利用隨機(jī)最優(yōu)控制推導(dǎo)優(yōu)化問題的一般框架，然后找出期望效用函數(shù)的最優(yōu)策略。養(yǎng)老金管理者的目標(biāo)是終端財富期望效用最大化，即

maxE[U(X(T))]。

假設(shè)養(yǎng)老金管理者有一個恒定的相對風(fēng)險厭惡(CRRA)，并遵循如下效用函數(shù)：

p是相對風(fēng)險厭惡系數(shù)。采用隨機(jī)最優(yōu)控制方法，定義管理者的值函數(shù)為

∏表示允許的投資策略集。

算子Aπ滿足如下式子：

AπH(t,x,m)=Ht+Hx·x[-m(l1π1(t)-l2π2(t))+((α1+ap)π1(t)+α2π2(t))+r]+

式中，H(t,x,m)∈C1,2,2([0,T]×R×R)，H滿足以下的HJB方程：

(6)

邊界條件H(T,x,m)=U(x)。

由式(6)最優(yōu)性一階條件可得

(7)

其中，

為求解HJB方程，猜測

(8)

綜上可得如下命題。

其中，

當(dāng)u1>0時，

當(dāng)u1<0時，

證明見附錄A。

3 數(shù)值分析

本節(jié)通過數(shù)值模擬說明誤定價系數(shù)和其他參數(shù)對最優(yōu)策略的影響。假設(shè)m>0，l2-l1>0，這意味著股票S1的定價相對于真實價值來說被高估了，S2價值被低估了，且被低估的股票S2回歸均值的速度要快于被高估股票S1回歸均值的速度。

相關(guān)參數(shù)設(shè)定如表1所示。β(t)為時間t的確定性函數(shù)，為了方便分析,以下假設(shè)β(t)和P(t)為常數(shù)，分別設(shè)β(t)=1,P(t)=0.5。

表1 相關(guān)參數(shù)設(shè)定

3.1 誤定價系數(shù)m敏感性分析

誤定價系數(shù)描繪了股票的價差，p=0.1時，m對π1(t)、π2(t)的影響如圖1所示。由圖1可見，隨著m的增大，π1(t)逐漸減小，π2(t)逐漸增大。當(dāng)定價偏離程度增大時，養(yǎng)老金管理者擔(dān)心股票S1價格虛高會驟跌，為了規(guī)避損失減少買進(jìn)被高估的股票S1；同時也減少賣空定價偏低的股票S2，以獲取更大的利潤。

圖1 p=0.1時，m對π1(t)、π2(t)的影響圖2 m=0.1時，p對π1(t)、π2(t)的影響

3.2 風(fēng)險厭惡系數(shù)p敏感性分析

m=0.1時，p對π1(t)、π2(t)的影響如圖2所示。由圖2可見，當(dāng)股票價差一定時，隨著管理者對風(fēng)險的厭惡程度增大，管理者購買更多被高估的股票S1，同時拋售定價偏低的股票S2，以獲得更大的利潤。

3.3 初始財富x敏感性分析

m=0.1,p=0.1時，x對π1(t)、π2(t)的影響如圖3所示。由圖3可見，π1(t)隨著x的增大呈現(xiàn)小幅度的減少，π2(t)隨著x的增大呈現(xiàn)小幅度的增加。因為養(yǎng)老金繳費時間長、跨度大，所以初始財富的多少對投資策略的影響不大。

圖3 m=0.1,p=0.1時，x對π1(t)、π2(t)的影響

4 小結(jié)

本文研究了在跳-擴(kuò)散市場環(huán)境中，帶誤定價的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略問題。首先考慮跳-擴(kuò)散模型下，將保費投資于帶誤定價的風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)，利用最優(yōu)控制理論解相應(yīng)的HJB方程得到養(yǎng)老金管理者的最優(yōu)投資策略。通過數(shù)值分析，模型參數(shù)對投資策略的影響符合市場交際，具有一定的經(jīng)濟(jì)意義。本文假設(shè)無風(fēng)險資產(chǎn)的利率為常數(shù)，接下來將考慮通貨膨脹的影響，假設(shè)利率是隨機(jī)形式，考慮到投保人提前死亡還可以加入保費退還，使模型更貼近實際市場。