具有彈性約束和初撓度的彈性壓桿力與位移關系分析

翟傳鵬，何芝仙

(安徽工程大學 力學重點實驗室，安徽 蕪湖 241000)

桁架的優點是桿件主要承受拉力或壓力，可以充分發揮材料的作用，節約材料，減輕結構重量。另外，桁架結構布置靈活，應用范圍非常廣，常用于大跨度的廠房、展覽館、體育館和橋梁等公共建筑中。但是，由于桁架結構中受壓桿件往往更容易發生失穩，所以，受壓桁桿對桁架結構的承載能力起決定性的作用。實際工況中，桁架大多是通過直桿與連接板焊接或螺栓連接而成的，連接板對受壓桿件具有一定的約束作用；另外，由于制造誤差以及運輸、安裝過程中操作不規范，可能會導致實際使用的壓桿存在一定的初撓度。因此，研究彈性壓桿力與位移的關系，可為準確預測桁架結構的承載能力，特別是為破壞過程的力學行為分析提供前提條件。

1 力學模型和數學模型

實際工況中，桁架是由桁桿在兩端與連接板焊接或螺栓連接而成的。因此，實際桁架中受壓的桁桿可以視為受軸向荷載作用的具有彈性約束和初撓度的彈性壓桿，其力學模型如圖1所示。其中，彈性壓桿兩端彈性約束的支承剛度分別為K1和K2。由于制造誤差以及運輸、安裝過程中操作不規范，可能會導致實際使用的壓桿存在一定的初撓度。一般而言，初撓度是一個連續函數，為簡化起見，假設初撓度為一個半波正弦函數[16]，其中心位置撓度最大，即

圖1 力學模型圖

(1)

式中,ye為任意位置的初撓度值；e為最大初撓度；L為彈性壓桿桿長；x為壓桿截面位置。

對彈性壓桿的整體平衡和局部平衡分別進行分析，其受力簡圖如圖2、3所示。整體平衡：

圖2 整體平衡受力簡圖圖3 局部平衡受力簡圖

(2)

局部平衡：

∑M=0,M(x)=-FAxy+FAyx+K1θA,

(3)

式中，y為任意位置x截面的撓度值，y=y1+ye,其中y1為軸向荷載引起的撓度值；FAx、FAy為支座A處x、y方向的約束反力；FBx、FBy為支座B處x、y方向的約束反力；K1、K2為支座A、B處的支承剛度，定義為使支座產生單位轉角需要施加的力矩；θA、θB為支座A、B處的轉角；M(x)為任意位置x截面的彎矩。

(4)

(5)

因鉸支座的約束作用，在軸向荷載作用下，彈性壓桿撓曲變形時壓桿兩端節點始終位于X軸線上，因此，兩端節點的撓度值始終為0(即y=0)。所以，該方程應滿足的邊界條件為

近年來，微藻基因工程育種也取得了許多進展。微擬球藻（Nannochloropsis sp.）進化歷史復雜，基因序列可用于多個物種，已經產生了許多轉錄數據集，常作為基因組學的研究模型[10]。研究表明，蘋果酸酶是丙酮酸代謝和固碳的關鍵酶。三角褐指藻中蘋果酸酶的過度表達可以在不影響生物量的同時顯著提高油脂積累量[11]。雖然基因工程技術已逐漸成熟，但在微藻中的應用還較少。未來還應多從微藻代謝途徑等角度出發，加深對微藻微觀水平的認識，以便將基因工程技術更好地運用于微藻育種。

s=0,y=0;s=L,y=0。

(6)

2 求解過程

數值分析中，Range-Kutta法是一種高精度單步算法，是用于求解非線性常微分方程數值解的一類重要隱式或顯式迭代法算法，用于數值求解微分方程。由于此算法精度高，采取措施減少了誤差，因此，該算法在工程領域中的應用十分廣泛。利用該算法需要已知微分方程的一階導數和初值信息，然后利用計算機仿真技術，節省了求解微分方程的復雜過程。其計算過程如下：

令其初值為

y′=f(x,y),y(x0)=y0,

(7)

由Range-Kutta法：

(8)

其中，

(9)

運用數學方法求解式(5)所示的微分方程的解析解，需要聯立式(2)～(4)，求解該微分方程組難以實現。所以，本文運用Range-Kutta法采用數值解的方法進行求解。

(10)

采用Range-Kutta法求解微分方程組式(10)的一個前提條件是需要已知一個初始位置的撓度y和轉角(一階導數值y′)。但是，對照問題的邊界條件，只有s=0,y=0，而s=0的轉角值未知。因此，采用迭代法計算求解。其算法流程圖如圖4所示。

圖4 算法流程圖

步驟1 初始化結構幾何、物理參數，令初始撓度y=0，初始轉角θ=0和迭代誤差為ε。

步驟2 設定初始軸向壓力F，使用Range-Kutta法求解微分方程組式(10)，獲得撓曲線數值和彈性壓桿端點B的軸向位移xB和撓度yB。

步驟3 若|yB-0|≤ε，輸出撓曲線方程數值解以及軸向壓力F和軸向位移，轉步驟4；否則，根據撓度yB與邊界值(yB=0)的偏離程度調整軸向壓力值。即當yB>0時，適當地增加軸向壓力值，當yB<0時，適當減小軸向壓力值，然后轉步驟2重新計算。

步驟4 改變初始轉角θ=θ+Δθ，然后重復步驟1～3的計算過程；循環往復，從而獲得彈性壓桿軸向壓力與位移的關系數據曲線。

3 計算結果與討論

3.1 初撓度的影響

由圖5可知，彈性壓桿失穩后軸向壓力與位移之間呈非線性關系，并且，初撓度對彈性壓桿力與位移關系影響顯著。由圖6可知，在軸向壓力F一定的情況下，彈性壓桿的桿端位移量隨最大初撓度值e的增大而增大，并且彈性壓桿的初始位移量在軸向壓力F較小時(F>Fcr)影響較為顯著。與初撓度值等于0(e=0 mm)時的情況相比：當最大初撓度e=20 mm且軸向力F=1 644 N時，彈性壓桿桿端位移△由1.46 mm增加到207.75 mm；同樣，當最大初撓度e=20 mm且軸向力F=4 177N時，彈性壓桿桿端位移△由1 107.49 mm增加到1 127.90 mm。

圖5 不同初撓度時壓桿軸向壓力與位移關系曲線圖6 軸向壓力F相同時初撓度與位移關系曲線

3.2 支承剛度的影響

從圖7可以看出，支承剛度對彈性壓桿的力與位移關系的影響也十分顯著。支承剛度的增加提高了壓桿的臨界壓力；支承剛度越大，彈性壓桿的臨界壓力也就越大。由圖8可以看出，軸向位移相同時，支座的支承剛度越大，所需的軸向壓力也就越大。與支承剛度K1=K2=0i時的工況相比，當支承剛度為K1=K2=2i，且彈性壓桿的桿端位移△=3 mm時，所需的軸向壓力由1 643.85 N增加至2 712.03 N，增幅64.98%；同樣，當支承剛度為K1=K2=2i，且壓桿的桿端位移△=538 mm時，軸向壓力由2 275.57 N增加至4 311.07 N，增幅89.45%。

圖7 不同支承剛度條件下壓桿軸向壓力與位移關系曲線圖8 軸向壓力相同時支承剛度與位移關系曲線

3.3 具有初撓度和彈性支座約束的情形

為了研究彈性壓桿在彈性約束和初撓度兩種因素共同作用時對彈性壓桿力與位移的影響，最大初撓度取值為e=0～20 mm，并令支座約束剛度K1=K2=0i、K1=K2=0.5i、K1=K2=1.0i、K1=K2=1.5i、K1=K2=2i5組組合工況，反復計算得到具有彈性約束和初撓度的彈性壓桿軸向壓力與位移關系如圖9所示。由圖9可以看出，不同支承剛度條件下，以壓桿最大初撓度和軸向位移為自變量，以彈性壓桿軸向壓力為因變量的曲面圖，該圖定量地反應了具有彈性約束和初撓度時彈性壓桿的力與位移的關系，其中支承剛度對力與位移關系的影響較為顯著。當支承剛度越大且初撓度越小時，彈性壓桿臨界壓力就越大，失穩后產生同樣位移需要的軸壓力就越大。反之，支承剛度越小且初撓度越大，彈性壓桿臨界壓力就越小，失穩后產生同樣位移需要的軸壓力也就越小。當彈性壓桿的桿端位移達到最大值時，上述5種工況中彈性壓桿的軸向壓力數據如表1所示。

圖9 具有彈性約束和初撓度時壓桿軸向壓力與位移關系圖

表1 最大位移時各工況軸向壓力數據表

4 結論

根據桁架結構中壓桿的工作特點，采用大撓度理論建立了求解具有彈性約束和初撓度的彈性壓桿軸向壓力與位移關系的力學模型和數學模型，并對微分方程采用Range-Kutta法進行求解，確定了具有初撓度和彈性約束的彈性壓桿力與位移關系的數值解，為研究桁架結構失穩后的力學行為提供了前提條件。得到的結論如下：

(1)初撓度對彈性壓桿軸向壓力與位移關系影響顯著，初撓度的存在降低了壓桿的臨界壓力；初撓度越大，壓桿的臨界壓力越小；軸向壓力一定的情況下，初撓度越大彈性壓桿桿端位移也就越大；另外，當軸向壓力F較小時(F>Fcr)，彈性壓桿的初撓度越大其初始位移量就越顯著。

(2)支座約束提高了彈性壓桿的臨界壓力，約束剛度越大臨界壓力也就越大，壓桿也就越穩定。與支承剛度K1=K2=0i時相比，當彈性壓桿的桿端位移(△=538 mm)一定時，支承剛度為K1=K2=2i時的軸向壓力(F=4 311.07 N)比失穩時臨界壓力(Fcr=1 643.26 N)最大增加了162.23%。

(3)支承剛度和初撓度共同作用時，支承剛度可以在一定程度上抵消初撓度對彈性壓桿力與位移關系的影響；初撓度相同時，增加支承剛度可以降低初撓度對彈性壓桿力與位移的影響。同樣，支承剛度相同時，初撓度越大產生相同位移時需要的軸向壓力就越小；當初撓度e=0～20 mm,支承剛度由0～2i時，彈性壓桿桿端軸向壓力由1 643.26 N增加至7 208.94 N，軸向壓力的增量達338.69%。