對一線串通的初等數學的思考和認識

趙紅霞

摘 要：數學是其它學科的基礎，是人類理解世界，對事物規律進行研究的必要工具。數學本身比較難，如何從改造數學本身入手，讓數學變得更容易一些，一線串通的初等數學中，張景中先生通過對初中數學課程進行結構性改革，從簡單的三角形內角和定理和三角形面積計算公式出發，打破原有的課程結構，引入正弦概念新的定義方式，在此基礎上深入探究知識間的聯系，解決有關幾何問題，它不僅發現了解決初等數學相關問題新的思路和方法，更重要的是在學習的過程中進一步發展了學生的數學核心素養。

關鍵詞：張景中? ?一線串通的初等數學? ?面積? 正弦? 創新

數學是其它學科的基礎，是人類理解世界，對事物規律進行研究的必要工具。它在現實生活中發揮著很大的作用，它不僅能教給我們如何進行精密地計算，同時它還能鍛煉我們的思維，使我們能通過推理論證發現事物之間存在的必然聯系，進而由此及彼發現更多有用的數學，一方面為人類的進步做出巨大的貢獻，另一方面用我們發現的知識去服務生活，特別是在發現知識形成的過程中，我們體會到探索知識的樂趣與獲取知識的成就。在數學知識探究的過程中，我們常常將復雜的問題簡單化，將未知的知識化已知，利用簡單的知識解決復雜的數學問題，這是張景中先生教育數學理論中闡述的教育思想，也是數學教學中一貫有的思想和方法。張景中先生《一線串通的初等數學》中，運用簡單的三角形內角和定理、三角形面積計算公式，通過建構性思考，采用兩種有別于傳統正弦定義方式，引入了正弦的概念，進而得出正弦定理、余弦定理等，從而把幾何、三角、代數知識都通過固有的內在聯系串通起來，以三角輻射帶動幾何并打通代數與其之間的通道，用知識的緊密聯系來撬動學生的深入思考，促其學習興趣的提高與數學素奍的提升，也從另一個層面反映出小知識撬動大思維的數學特質。下面談談個人讀完本書之后的一些認識和思考。

一、一線串通的初等數學創新了方法

長期以來，幾何教學就是數學界非常關注的內容之一，特別是用面積法解決有關問題是一個常說常新的內容，正是基于這樣的思路，一線串通的初等數學中，張景中先生從最簡單的、最具有普遍意義的幾何解題方法------面積法入手，在大家已經熟知的面積公式的基礎上，總結整理出共高定理，進而又研究出共邊定理、共角定理這些看似簡單但非常有用的解題工具。與此同時，張景中先生適時地將原本九年級才能提出來的正弦的概念，運用新的數學思路，采用新的方式，在七年級時，就將較為抽象的“正弦”概念引入進來，從直觀的“面積”與“折扣”兩方面對正弦概念作了詳細的界定，得出正弦的另外的新的定義方式，這樣就把三角、面積和代數聯系起來，從學生學習的層面而言，這種正弦引出的方式 降低了學生學習的臺階，使得學生掌握正弦這個新概念比較順利，而且由于抽象概念的形象描述，解決了以往在正弦定義教學中存在的讓學生難于理解、太過于抽象的現象;從教學思維的視角來看，“面積”法被引進到正弦層面，是從“形的思考”開始，是學生對正弦概念層面的認識，而“折扣”則是一種從“數”的思維上來強調應用的。該定義方法比傳統的直角三角形“對邊比斜邊”的定義更直觀，更易于掌握，更與數形結合的數學思想相對應，這也就是我們之后要學習的函數理念，這樣的新的課程邏輯體系將有助于學生“數形合一”，并將學生的思維空間拓展延伸到后面的學習，使數形結合的思想滲透到學生學習的全過程，為防止數學整體思維的人為割裂起到了很好的鋪墊作用。另一方面正弦概念、正弦定理的引入使用，使得初等數學內容形成以三角為主線，將大量知識串聯起來，在三角知識的基礎上用代數展開幾何的基本思路;第三是有了正弦的概念，一方面可以利用正弦來探索幾何問題，獲取幾何知識;另一方面還可以對正弦的性質做更深入的研究，這兩個方面相輔相成和相互促進。第四是正弦引進之后，它大顯神通，它不但能用來定量地測算未知的距離和角度，還能夠揭示任意三角形的邊角關系，對圖形做定性研究 。這些內容的研究，構成了張先生教育數學的思想：即“為了數學教育的需要，對數學成果進行再創造”。《一線串通的初等數學》一書集成了第一批串通的初等數學，不僅降低了教學難度，而且節約了課堂時間，將人教版初中數學教科書的前前后后內容整合起來，重新構造了新的初中數學教科書系統。最后本書在對圓的性質的探索過程中，給廣大學子提供了復習原有知識的很好的機會，在本書中有關圓的有些命題，就是已知命題的改頭換面的重述，在推導圓的性質過程中，反復用到了等腰三角形的知識，溫故知新，推陳出新，這種學習和思考的方法，在研究圓的過程中，得到了很好地體現。

二、一線串通的初等數學拓寬了思路

張景中先生認為，數學教育面臨著很多的困難，數學內容本身難度高，學習起來比較枯燥，學生的學習興趣不高，特別是學生計算能力低下，無形中影響了其它諸如物理、化學等學科的學習，如何實現將數學變得容易一些，讓學生更樂于接受數學學習，提高學習效率，這就需要我們拓寬思路，創新方法。在數學中，我們常常說到換一種思路解題，其實質是用不同的術語、不同的方法和策略表達相同的事實，尋找達到目的的不同的路徑，這實際上就是從不同的角度來觀察同一件事物，這是重要的數學思想，這種思想常常能夠把復雜的問題變得簡單明白，對似乎難以下手的問題找出意外簡捷的解決方案，它也會使得數學知識變得更加豐富、更活潑、更加立體、更加多元，它會和其他知識聯系起來，變得更有力、更有用。新思路下正弦定義的給出，從概念出現看，出現數學新知識所用的預備知識少，再加之預備知識的起點低，這樣就能使學生更容易接受新知識，思想上不再有害怕的感覺;從內容嚴謹性上看，正弦定義給出之后，直角正弦的面積定義比以往的定義更加嚴謹，從00------1800 角的各個角的正弦都有了定義，就更廣泛了;與此同時，本書也將很多教學內容進行了整合，使得如正弦定理、余弦定理等這些在高中才能接觸的內容也可以根據學生的實際提介入學生的學習，減少了學生學習用時。再從整本書的形成看，一線串通的初等數學也給我們很多啟示，那就是：即使是看起來很簡單的知識，經過一番探索思考，會有不一樣的收獲。數學鍛煉思考，思考提高數學素質，思考能夠使知識增殖。正弦概念之后引入正弦定理，使得我們解決幾何的思路更為廣泛，處理幾何問題就有三套基本工具：一種是共高定理、共角定理、共邊定理綜合運用的面積方法的一種手段;另一種是運用正弦定理、余弦定理、正弦和角公式的三角法工具;還有一種就是用平行線的性質、三角形內角和定理、三角形邊角的關系、勾股定理為輔佐的全等三角形與相似三角形的幾何工具。這樣我們用來解決有關直線構成的圖形的常見問題，工具齊全，方法多樣。

三、一線串通的初等數學注重了推理

數學蘊含著很強的邏輯性思想。數學中的定理與定理之間有著千絲萬縷的聯系，幾何圖形與幾何圖形相互依存但又各有千秋，它們通過合理的推理論證，在數學知識的積累與形成中，由單一到多樣，由簡單到復雜，由表面到實質，有很多意想不到的收獲，也會給人融會貫通的感覺。初中學生數學核心素養中，邏輯推理能力是六大核心素養中非常重要的一項要求，它關注了學生對問題本質間聯系的研究，在學生對數學知識體系的認知與建構方面有重大作用。一線串通的初等數學，從最簡單的內容出發，形成新的數學思想，張景中先生非常重視數學知識的獲得過程，注重邏輯推理過程，每一步、每一項內容的得出，步步為營，層層遞進，有理有據，既交待了問題的來源，又清晰而又具體地交待了如何解決問題，同時在推理的基礎上，張先生又非常注重新知識的建構，適時地提出如正弦的新定義方法及利用正弦知識將三角與代數計算等問題相互銜接，一線串通，打通關節，暢通計算證明等渠道，在有些內容的學習過程中，有很多知識一眼就能看明白，但張景中先生還是很關注推理過程，這就讓讀者明白：在數學里，看出來的事總不放心，能夠證明的才算數，能夠一板一眼推出來的才算數。新的數學知識的得出是依賴于已有的預備知識，新的概念的出現總是在很多預備知識的基礎上得出，在學生運用推理得出新知識的同時，充分關注了數學思想方法，從而得出非常重要的命題、結論、方法，這就是數學思想和數學方法的力量。大量的新知識的涌現，使我們的眼界開闊了，使我們的認識更完善了。

四、一線串通的初等數學關注了運用

“學有用的數學”是張景中先生的教育思想，也是數學這門學科的價值所在。“有應用意識，就是樂于用學過的數學知識解決實際問題或設想的問題，善于從實際問題的設想的情景中提出數學問題”。荷蘭數學家佛萊登塔爾說過：“學習數學的唯一正確的方法是實行再創造”。一線串通的初等數學是充分發揮三角形的面積公式的作用，從最簡單的內角和定理和三角形的面積公式出發，在深入思考探究的基礎上提出共邊定理、共角定理，從而為解決三角形等圖形相關問題找到新的數學思路。同時，正弦定理、余弦定理、任意三角形面積計算公式相互配合，使正弦在解決三角形問題時大放異彩，大顯身手。后面本書又通過幾何圖形之間聯系的多樣性，讓我們在探究三角的基礎上，發掘問題并擴大戰果，進一步學習了四邊形，如果說前面三角部分主要關注幾何圖形間的數量關系，而在四邊形中，本書更多關注了與幾何性質有關的知識的邏輯結構，把知識由少到多，把事物由表及里細細展開，形成了平行四邊形的系列性質，總結出了平行四邊形的性質定理和判定定理，隨后又將內容提煉和歸攏，得到了平行四邊形的特征屬性，并由此構成了一個條理清晰、思路清晰、方法簡單、過程嚴密的菱形、矩形、正方形的特征屬性的總結和推理過程及結論。最后本書在探究四邊形和多邊形的基礎上，進一步探究有關圓的性質，從這思路新穎、方法多樣、設計合理的數學知識的獲取過程中，我們在步步推進中享受由于思維變換而帶來的對數學知識的探究和運用不一樣的感受和奇妙，我們心曠神怡，從而體會到“學數學，其樂無窮;用數學，無處不在;愛數學，受益終生”。

總之，通過本書的學習，拓寬了我們沿著現有的數學思想深入探究運用新知識去解決有關圖形內容的思路和策略，這種學科魅力作為一名數學人難以抗拒，它可以讓我們在進一步體驗數學作用和價值、感受數學魅力的同時，培養我們孜孜不倦的探索精神，提高我們數學運用和實踐能力的意識和興趣，激發我們更進一步去探究用數學知識解決實際問題的策略和方法。創新是一個民族進步的基石，本書對原有數學知識的創新，也從另一個方面告誡我們全體教師一定要樹立創新意識，要在已有知識的基礎上，去深入思考，不能墨守成規，要去合理創新，帶領學生去探究知識海洋的寶藏，拓寬思路和眼界，領略不一樣的風景，收獲不一樣的珍寶。

《從數學教育到教育數學》 張景中 [M]中國少年兒童教育出版社

《一線串通的初等數學》? ?張景中 [M]四川教育出版社

《幾何的新方法新體系》? ?張景中 [M]科學出版社

《新概念幾何》? ? ? ? ? ?張景中? [M]四川教育出版社

《重建三角，全盤皆活------初中數學課程結構性改革的一個建議 》張景中? ? [J]數學教學? 2016（10）;

《讓我們來重新認識三角------兼談數學教育要在數學上下功夫》

張奠宙? ?[J]數學教學? ?2006（10）;

《從數學難學談起》 張景中 [J]世界科技研究與發展，1996（4）：

[本文系2021年度甘肅省“十四五”規劃課題“張景中教育數學思想教學實驗”教改實驗專項課題《張景中院士教育數學思想中的“重建三角”與現有人教版初中數學教材內容融合的課例研究》（課題立項號：GS[2021]GHBZJZ003）研究成果）