導數在高中數學圓錐曲線參數方程中的應用

吳玉輝

【摘要】在高中數學課本中，導數是核心知識點之一，并在求圓錐曲線參數方程中得到了很好的運用.導數加入高中數學體系后，使高中數學的知識體系得到了極大的延展，也為一些比較難的數學問題提供了一種新的解題思路.基于此，本文將通過具體例題來說明導數在圓錐曲線參數方程問題中的一些應用策略.

【關鍵詞】導數;圓錐曲線;應用

【基金項目】本文系福建省教育科學“十三五”規劃2020年度課題“大數據驅動的高中生數學學習監控與精準干預行動研究”（課題編號：FJJKXB20-790）系列論文之一.

導數是高中數學過渡到高等數學的重要工具，學好導數可以讓學生步入大學時能夠有一個良好的開端.目前，在高中數學的解題中，導數的概念得到了極大的完善和運用.因此，筆者將著重研究如何在解決圓錐曲線參數方程問題的過程中應用導數.

一、導數與圓錐曲線的概念

1.導數定義

導數（Derivative），也稱為導函數值，是微積分中一個重要的基本概念.函數y=f（x）的自變量x在點x0處產生增量Δx，當Δx接近0時，函數輸出值的增量Δy與自變量的增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a若存在，則a是函數y=f（x）在x0處的導數，記作f′（x0）或df（x0）dx.

對于可導的函數f（x），x→f′（x）也是一個函數，稱為f（x）的導數.在某個點上找到已知函數的導數或其導函數的過程稱為求導.實際上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也來自極限的四則運算法則.已知的導數也可以被逆轉，從而找到原始函數，即不定積分.

2.導數性質

單調性：

①若導數大于零，則單調增加;若導數小于零，則單調遞減;若導數等于零，則為函數駐點，但不一定是極值點，需要代入駐點左右兩側的值以找到正負導數才能確定單調性.

②若已知函數是一個遞增函數，則其導數大于或等于零;若已知函數是一個遞減函數，則其導數小于或等于零.

根據導數的基本定理，對于可導函數，有如下定義：

若函數的導數在某個區間中始終大于零（或始終小于零），則函數在該區間中單調遞增（或單調遞減），此區間稱為函數的單調區間.其中，函數的駐點定義為導數等于零的點.在這些點上，函數可能會取得極大值或極小值（即極值可疑點）.進一步判斷則需要知道導數在駐點附近的符號.

x改變時，函數圖象的切線也會發生改變，其中，切線的斜率為對應的導數值.進一步介紹一下函數的凹凸性：若函數的導數在某個區間內單調遞增，則該區間上的函數圖象向下凹，否則上凸.如果函數存在二階導數，也可以通過其正負性來判斷，如果在一區間內始終大于零，則該區間內的函數向下凹，否則上凸.

3.圓錐曲線定義

圓錐曲線是平面截二次錐面獲得的曲線，包括橢圓（圓為橢圓的特例）、拋物線和雙曲線.對圓錐曲線的研究始于2000多年前的古希臘.

4.圓錐曲線定理

圓錐曲線又叫二次曲線，通過直角坐標系可與二次方程相對應，并由此衍生出很多大家熟知的曲面，如圓柱、橢球面、單葉和雙葉曲面等，這些都證明了圓錐曲線最具代表性的特征便是“焦點—準線”.

帕普斯定理的詳細定義如下：圓錐曲線上一點的焦距長度等于從該點到相應方向的距離乘偏心率.

帕斯卡定理的詳細定義如下：圓錐曲線的內接六邊形，如果相對的邊不平行，則該六邊形的對邊的延長線的交點是共線的（這也適用于降級的情況）.

布里昂雄（Brianchon）定理的詳細定義如下：圓錐曲線的外切六邊形在同一點有三條對角線.

當德蘭（Dandelin）得出的冰激凌定理的結論如下：圓錐曲線幾何定義與焦點—準線定義具有等價性.

如圖1，若將圓錐的頂點設為Q，則有一平面π′與其相截可以得到圓錐曲線，作球與平面π′及圓錐體相切，當曲線為橢圓或雙曲線時，平面與球有兩個切點，而拋物線只有一個，也就說明了切點就是焦點.若球與圓錐之交為橢圓，可設此橢圓所在平面π與π′之交為直線d，則d是準線.

雖然該圖僅畫出一個橢圓，但證明方法適用于拋物線和雙曲線.也就是說，任何一個切點都可以是焦點，d為準線.

證明：假設P是曲線上的一個點，如圖2所示，連接PQ與圓O交于E，設球與平面π′的切點為F，令平面π′和π之間的交角為α，圓錐的母線與平面π的交角為β.設P到平面π的垂足為H，從H到直線d的垂足為R，則PR為從P到d的垂線，又∠PRH=α，其中，由于PE和PF都是球體的切線，所以PE=PF.

因此有PR·sin α=PE·sin β=PF·sin β=PH，

其中PFPR=sin αsin β為常數.

二、用導數方法求圓錐曲線的切線方程的引理論證

目前，大多教師仍然采用傳統的解題思路進行圓錐曲線問題的求解，導致在當前的高中數學教學中，導數并沒有被實際運用到對圓錐曲線問題的求解中.例如在求直線和圓錐曲線結合的題目時，雖然利用導數方法可以更加簡單清晰地進行解題，但是教師普遍會教導學生按照傳統解題思路進行解題.傳統解決方案比較麻煩，尤其是包含參數時.因此，我們可以將圓錐部分劃分為“幾個函數”以進行單獨討論，以便學生使用導數方法找到曲線的切線.本文將使用導數方法來證明圓錐曲線的一些性質.

（一）引理一

過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意一點P（x0，y0）作該橢圓的切線，則切線方程可以表示為x0xa2+y0yb2=1.

證明 先考慮y>0的情形：

當y>0時，y=baa2-x2，y′=-bxaa2-x2，

y′|x=x0=-bx0aa2-x20.

而y0=baa2-x20，∴a2-x20=ay0b，

∴y′|x=x0=-b2x0a2y0，為橢圓過P（x0，y0）的切線l的斜率，

∴切線l：y-y0=-b2x0a2y0（x-x0），

化簡得b2x0x+a2y0y=b2x20+a2y20，兩邊同時除以a2b2得

x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2，即x0xa2+y0yb2=1.

當y<0時，y=-baa2-x2，同理可得其過P（x0，y0）的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

點P在（a，0）或（-a，0）處時，其切線方程為x=a或x=-a，以上結論仍然成立，從而引理一得證.

（二）引理二

過雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意一點P（x0，y0）的切線方程可以表示為x0xa2-y0yb2=1.

證明 先考慮y>0的情形，當y>0時，y=bax2-a2，

y′=bxax2-a2，y′|x=x0=bx0ax20-a2.

而y0=bax20-a2，∴x20-a2=ay0b，

∴y′|x=x0=b2x0a2y0，為雙曲線過P（x0，y0）的切線的斜率.

∴切線方程為y-y0=b2x0a2y0（x-x0），

整理得b2x0x-a2y0y=b2x20-a2y20，

進而有x0xa2-y0yb2=x20a2-y20b2，即x0xa2-y0yb2=1.

當y<0時，y=-bax2-a2，其過點P（x0，y0）的切線方程仍為x0xa2-y0yb2=1.

點P在（a，0）或（-a，0）處時，其切線方程為x=a或x=-a，以上結論仍然成立，從而引理二成立.

同理，對于焦點在y軸上的橢圓和雙曲線，可以使用類似的推理方式得到相同的結論.

（三）引理三

過圓x2+y2=r2上的一點P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2.

上述公式在高中課本中已進行推導，因此本文中將不進行具體闡述，而且本公式也可以通過導數進行推導.

定理：對于二次方程：αx2+βy2=γ（αβγ≠0，γ與α，β中至少一個同號）所表示的曲線，設曲線上任意一點為P（x0，y0），那么過點P且與已知曲線相切的直線方程為αx0x+βy0y=γ.

由圖象平移法則，很容易得到一個更一般的結論.

推論：對于二次方程α（x-h）2+β（y-k）2=γ（αβγ≠0，γ與α，β中至少一個同號）所表示的曲線，設其上任意一點為P（x0，y0），那么過點P且與已知曲線相切的直線方程為α（x0-h）（x-h）+β（y0-k）（y-k）=γ.

解決切線方程問題是導數的重要應用.圓錐截面通常不是功能性圖形，因此教師通常不使用導數解決圓錐截面的切線問題，而使用傳統的方法來查找由直線和圓錐截面方程組成的方程組的解，但是這種方法比較麻煩，尤其對于參數而言，計算量很大.因此 ，應將圓錐部分劃分為“幾個函數”以單獨討論.

三、導數在圓錐曲線方程中的實際應用

（一）利用導數求圓錐曲線的切線方程

例1 求過拋物線y=x2上的點P（x0，y0）的切線方程.

解 （1）當y≥0時，y=x，y′=12x，故切線的斜率為12x0，∴所求的切線方程為y-y0=12x0（x-x0）.

∵y0=x0，∴切線方程為2yy0-x-x0=0.

（2）當y≤0時，y=-x，y′=-12x，故切線的斜率為-12x0，∴所求的切線方程為y-y0=-12x0（x-x0）.

∵y0=-x0，∴切線方程為2yy0-x-x0=0.

綜上可得所求的切線方程為2yy0-x-x0=0.

（二）利用導數求含參數的圓錐曲線的切線方程

例2 設P（x0，y0）是橢圓x2a2+y2b2=1上的點，求過該點的切線方程.

解 對x求導，得2xa2+2yy′b2=0，得y′|x=x0=-b2x0a2y0，

由點斜式得切線方程為y-y0=-b2x0a2y0（x-x0），

即x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2=1，即x0xa2+y0yb2=1.

例3 設P（x0，y0）是雙曲線x2a2-y2b2=1上的點，求過該點的切線方程.

解 對x求導，得y′=bxax2-a2，

得y′x=x0=b2x0a2y0，

由點斜式得切線方程為y-y0=b2x0a2y0（x-x0），

化簡得x0xa2-y0yb2=x20a2-y20b2=1，

即x0xa2-y0yb2=1.

四、利用導數求解圓錐曲線問題的方法與注意事項

（一）利用導數求解圓錐曲線問題的方法

學生在求解圓錐曲線問題時，需要有一定的創新思維能力.在傳統的教學模式中，學生一般都先自學，然后對同一類型的多類題進行大量訓練，從而提高成績.但是考慮到學生的學習狀況，教師應該兼顧學生的學習特點和學習效率，通過加強典型案例的培訓方式，培養學生的創新思維能力，加強學生運用數字和組合圖形的能力，提高他們對數學知識的掌握水平與對數學題型的理解能力.傳統的教學方式過于單調乏味，無法因材施教.教師的教學方法應注重人性化，在教學過程中，教師的教學進度要以學生為中心，避免使用題海戰術.

在數學解題過程中，不僅要有創新思維，還要有與之相伴的探索性思維.這對學生來說有一定的難度，對學生的綜合學習能力提出了更高的要求.高中生如果能夠在實際解決問題的過程中進行探索性思考，那么就能不斷提高自身解決問題的能力.

在高中階段的數學科目中，對圓錐曲線參數方程問題的求解，單一理論求解的形式較少，大多都復雜而廣泛，也就導致需要使用的知識更加廣泛和復雜.學生如果不能充分利用探索性思維，解決問題的難度就會逐漸增加.這里存在的問題是：學生應該如何使用探索性思維？這就要求教師在教學過程中擺脫形式主義，加強學生對基礎知識的理解，運用廣泛的知識，深入介紹圓錐曲線的本質.

（二）利用導數求解圓錐曲線問題的注意事項

高中階段的每個科目都是相互關聯的.每個知識都不應該是一個獨立的個體.因此，學生在求解圓錐曲線參數方程的問題時，也需要具備一定的知識基礎和思維能力.所以從知識庫儲備的角度來看，學生在學習之前需要了解參數方程的含義.參數方程是充分利用數形結合知識的一個方面，它用函數方程來表示圓錐截面上的一個點，并用中間變量的表達式來表示點的坐標位置.從一般意義來說，就是方程組中的x，y可以代表曲線上所有點的橫坐標和縱坐標.

目前，在高中數學中，運用導數的概念和方法進行題目解答已經逐漸普及，讓高中生在面對數學難題時，多出一種解答手段.如果學生不能完全理解導數與參數方程的含義，他們就不會理解數和形的結合是什么.學生需要明白，數學思維的層次不是單一的，而是多方面的.學生解決圓錐曲線問題時，觀察問題的能力是非常重要的，只有充分理解問題中條件給出的方程的表達意義，將圖中提供的條件和圓錐截面知識完全整合，才能將問題和圖形結合起來，從而找到解決問題的方法和思路.

高中數學教學中涉及的知識點較多，教師在教學利用導數解決圓錐曲線問題時需要根據題目的實際情況進行分析，發揮理論聯系實際的具體作用，改變以往的教學方式，運用導數概念來處理圓錐曲線問題，從而減輕學生的運算負擔.本文主要介紹了導數與圓錐曲線的相關概念及理論論證，并通過舉例論證了導數在求解圓錐曲線的切線等問題中的優勢，可以使學生的解題思路更加清晰，從而讓數學問題變得更加簡單.

【參考文獻】

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