素養(yǎng)視域下圓錐曲線的內(nèi)切圓問題探究與反思
——以2021 年全國甲卷理科第20 題圓錐曲線問題為例

梁興為

（福清元洪高級中學(xué)，福建 福清 350300）

2021 年全國甲卷理科第20 題是一道優(yōu)質(zhì)圓錐曲線綜合題，全面深入地考查了解析幾何的知識.既要求學(xué)生有較強(qiáng)的綜合能力和應(yīng)變能力，也很好地體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查［1］.筆者認(rèn)真研讀這道題，嘗試對其進(jìn)行研究、剖析、引申、拓展、應(yīng)用、反思，并給出圓錐曲線教學(xué)建議，以期提升教師、學(xué)生數(shù)學(xué)思維，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)視野，培育學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

（2021 年全國甲卷理科第20 題）拋物線C 頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l:x=1 交C 于P，Q 兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，已知M(2,0)且M與l相切.

（1）求C，M的方程；

（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與M相切.判斷A2A3與M的關(guān)系，并說明理由.

二、試題剖析

（一）素養(yǎng)定位

這是一道以拋物線為基礎(chǔ)，融合直線、三角形、圓、拋物線的圓錐曲線綜合題，題目很好地考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，滲透了數(shù)形結(jié)合和化歸轉(zhuǎn)化思想，主要考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).題目內(nèi)涵豐富，有很好的教育教學(xué)功能.

（二）思路分析

1.第（1）問依托特殊直線x=1 與拋物線C：y2=2px的交點(diǎn)構(gòu)成三角形，特殊的圓與x=1 相切為題目主干.設(shè)出P，Q 坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化垂直條件為方程1 -2p=0，解得p=利用待定系數(shù)法由M與l相切求得半徑為1.故拋物線C：y2=x，M方程為(x-2)2+y2=1.從素養(yǎng)視角看，此問主要考查學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.第（2）問依托第（1）問求出的特殊圓，在拋物線上取三點(diǎn)構(gòu)成三角形，若兩邊與該圓相切，通過代數(shù)法探究另一邊也與該圓相切，實(shí)質(zhì)上是拋物線內(nèi)接三角形與圓相切問題.此問要求學(xué)生具有較強(qiáng)的直觀想素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方能順利解 答.先設(shè)坐標(biāo)Ai(yi2,yi)(i=1,2,3)，寫出直線A1A2,A1A3,A2A3方程，轉(zhuǎn)化M與A1A2，A1A3相切條件可得方程 (y12-1)y22+2y1y2+3 -y12=0，(y12-1)y32+2y1y3+3 -y12=0，觀察方程特點(diǎn)可知y2,y3是關(guān)于y的二次方程(y12-1)y2+2y1y+3 -y12=0的兩不相等的實(shí)數(shù)根，于是根據(jù)韋達(dá)定理可得如下條件：y2+y3=，將其代入點(diǎn)M到直線A2A3的距離公式運(yùn)算化簡得d=r.

三、探究過程

高考題是命題專家依據(jù)國家課程標(biāo)準(zhǔn)，依托現(xiàn)用教材體系，根據(jù)教育部考試中心要求精心打磨而成，它兼具多功能，既有考綜合、考能力、考素養(yǎng)的功能，又有知識生長拓展功能，還有教學(xué)啟示作用.本文嘗試對這道圓錐曲線題目進(jìn)行如下探究.

（一）延伸探究

如果仔細(xì)研究題目，不難發(fā)現(xiàn)本題第（2）問體現(xiàn)了拋物線上運(yùn)動變化中的某種不性.M為拋物線上一內(nèi)接三角形A1A2A3的內(nèi)切圓，發(fā)現(xiàn)當(dāng)A1在拋物線上移動時，A2,A3也隨之在拋物線上變動，但M與此三角形A1A2A3的相切關(guān)系保持不變.將其一般化，并給出證明.性質(zhì)1 過拋物線上任一點(diǎn)引拋物線一內(nèi)接三角形內(nèi)切圓的兩切線，使其交拋物線于另兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線必與此圓相切.

1.寫出符合性質(zhì)的已知求證：已知：P 為拋物線C：y2=2px(p＞0)上動點(diǎn)，過P 作M方程為(x-t)2+y2=r2(r＞0)，（其中t=）的兩切線PA，PB，使兩切線交C 于A，B 兩點(diǎn).求證：AB 與M相切.

2.證明思路：先設(shè)P,A,B的坐標(biāo)，寫出直線PA,PB的方程，轉(zhuǎn)化M與PA,PB相切條件后可知a,b是如下關(guān)于y的一元二次方程兩不等實(shí)根.

(c2-r2)y2+4pcry+(r4+4pr3-c2r2)=0，于是由韋達(dá)定理有a+b=，將韋達(dá)條件代入圓心M到直線A2A3的距離公式中化簡得d=r，所以M與AB相切.

［說明］聞杰在《神奇的圓錐曲線與解題秘訣》［2］中也給出類似結(jié)論.

（二）類比探究

橢圓、雙曲線、拋物線三圓錐曲線聯(lián)系緊密，很多性質(zhì)具有共性［3］.它們在定義、方程、幾何性質(zhì)具有很多相似性，啟示可以進(jìn)行類比遷移、猜想論證，借助超級幾何畫板動態(tài)功能輔助探究，可將上述拋物線中性質(zhì)拓展推廣到橢圓雙曲線中，即橢圓雙曲線也有相應(yīng)的內(nèi)切圓性質(zhì).性質(zhì)2 過橢圓上任一點(diǎn)引橢圓一內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的兩切線，使其交橢圓于另兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線必與此圓相切.性質(zhì)3 過雙曲線上任一點(diǎn)引雙曲線一內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的兩切線，使其交雙曲線于另兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線必與此圓相切.性質(zhì)2 和性質(zhì)3 可類似性質(zhì)1 證明.

（三）應(yīng)用示例

筆者將上面探究結(jié)果特殊化并修改調(diào)整數(shù)據(jù)，如下所示：

1.若P 為拋物線C：y2=x上動點(diǎn)，過P 作M方程為(x-t)2+y2=1 的兩切線PA，PB，使兩切線交C 于A，B 兩點(diǎn).問是否存在t，使對任意的動點(diǎn)P，直線AB與M相切？

解析：設(shè)出P,A,B坐標(biāo)，先考慮特殊情況P(0,0)，轉(zhuǎn)化M與A1A2相切得方程=1，又y12=|t+1 |，解之得t=2 再通過代數(shù)運(yùn)算證對任意的點(diǎn)P，直線AB 與M:(x-2)2+y2=1 相切.事實(shí)上，可求得圓心M到直線AB的距離d=

故M與AB相切時t=2.

［說明］本題是性質(zhì)1 的應(yīng)用，由2021 年全國甲卷理科第20 題的改編而得，將證明題改為探究題，先探求圓心坐標(biāo)再證明相切.

［說明］本題是性質(zhì)2 橢圓中相切圓性質(zhì)的應(yīng)用，是性質(zhì)2 的一特例.

3.已知A，B，C 是雙曲線C：x2-7y2=1 上三點(diǎn)，M(x-2)2+y2=是三角形ABC 的內(nèi)切圓，過P(-1,0)引M兩切線交C 于E，F(xiàn) 兩點(diǎn).證明直線EF 與M相切.

［說明］本題是性質(zhì)3 雙曲線中相切圓性質(zhì)的應(yīng)用，是性質(zhì)3 的一特例.

四、反思建議

（一）探后反思

1.探究圓錐試題背景，感悟數(shù)學(xué)文化價值.高考數(shù)學(xué)試題源于教材，承載著教材中的定義、定理、公式、性質(zhì)、示例、習(xí)題、閱讀等知識內(nèi)容.由教材衍生出的圓錐曲線高考試題常結(jié)合圓綜合命制，如滲透圓的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容阿波羅尼斯圓、蒙日圓等.研究高考真題，探究圓錐背景，感悟數(shù)學(xué)文化價值，借助數(shù)學(xué)文化，鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)思辨能力，欣賞圓錐之美.

2.探究圓錐試題根源，品味數(shù)學(xué)思想本質(zhì).高考數(shù)學(xué)試題表征綜合，反映知識主干，多點(diǎn)知識融合一題，多數(shù)學(xué)思想方法匯聚一題.探究圓錐高考試題，不僅要探究圓錐背景、思路方法、優(yōu)化解法，更要關(guān)注圓錐問題本質(zhì)，探討蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).比如圓錐綜合題中，答案結(jié)論對特殊圖形特殊直線特殊角特殊點(diǎn)成立，對一般的仍成立嗎？題目中參數(shù)變化對結(jié)論影響如何？把紛繁復(fù)雜的問題簡單化，將特殊情景一般化，借助圖形分析思考，利用代數(shù)演算推證，依據(jù)參數(shù)變化分類討論，利用極端情況處理問題等，在這些探究過程中，品味數(shù)形結(jié)合、一般特殊、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論、有限無限等數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮高考試題的教育教學(xué)作用.

3.探究圓錐試題變式，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).高考數(shù)學(xué)試題往往是重要知識的生長點(diǎn).探究圓錐高考試題，不僅要關(guān)注問題本質(zhì)，更要探究其蘊(yùn)含知識的橫縱聯(lián)系.如高考圓錐曲線題目雖變化多端，但很多性質(zhì)和結(jié)論有著千絲萬縷的聯(lián)系.對圓錐曲線題目進(jìn)行有意識地探究：類比思考，題目結(jié)論對橢圓成立，對雙曲線拋物線也成立嗎？正向引申，將數(shù)字改為字母，將交點(diǎn)改一般點(diǎn)，情況會改變嗎？逆向拓展，將結(jié)論做條件，條件做結(jié)論還成立嗎？在探究中不斷變換思考的角度，對高考試題進(jìn)行開發(fā)和加工、引申和拓展、類比和推理；通過剖析試題，探討知識聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)探究規(guī)律；通過對高考題的“再加工再創(chuàng)造”，發(fā)現(xiàn)新知識點(diǎn)，收獲探究心得，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，在探究和體驗的過程中培育數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（二）教學(xué)建議

1.圓錐教學(xué)要重視應(yīng)用文化背景.高考圓錐試題中滲透數(shù)學(xué)文化背景，2019 人教A 版教材中有很多圓錐文化示例，如2019 人教A 版選擇性必修一中：第97 頁例6 探求的軌跡就是阿波羅尼斯圓，第115 頁習(xí)題7 所求天體軌道方程就是橢圓天文背景的應(yīng)用，第120 頁例2 炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡蘊(yùn)含著GPS 信號定位原理，第124 頁例4 雙曲線冷卻塔，第140 頁圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用等.

據(jù)此，無論是從知識教學(xué)角度還是從提高成績角度來說，重視教材中圓錐曲線文化和應(yīng)用實(shí)例都有重要的現(xiàn)實(shí)意義.新版教材在知識引入、探究思考、典例示范、習(xí)題練習(xí)、閱讀材料中都不惜篇幅，引入大量詳實(shí)生動的圓錐文化和實(shí)際應(yīng)用，要重視并用好這些內(nèi)容為教學(xué)服務(wù).

2.圓錐教學(xué)要重視滲透數(shù)學(xué)思想.高考圓錐試題多數(shù)學(xué)思想方法匯聚啟示我們在課堂教學(xué)中要重視滲透數(shù)學(xué)思想.圓錐教學(xué)，坐標(biāo)解析法是最核心的方法，通過坐標(biāo)，利用代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)，借助幾何特征幫助分析問題，形數(shù)緊密聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合的思想滲透圓錐教學(xué)的方方面面.新版教材隨時隨地強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法的基本思想：依圖建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)，列方程化簡得圓錐方程，再從圓錐標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，用坐標(biāo)法研究圓錐曲線性質(zhì)和解決延伸的各類問題.除了數(shù)形結(jié)合思想，一般特殊、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論、有限無限等數(shù)學(xué)思想也在教材和高考真題中處處可見，教學(xué)中要重視并時時滲透.

3.圓錐教學(xué)要重視培育數(shù)學(xué)素養(yǎng).新高考要求試卷不僅兼具為高校選拔人才的功能，還兼具考查學(xué)生綜合能力、應(yīng)用創(chuàng)新和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用.圓錐曲線是理想的考查知識模塊，高考綜合試題也很好體現(xiàn)這點(diǎn).圓錐曲線綜合題常幾何關(guān)系復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算繁難，教學(xué)時要重視培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).圓錐教學(xué)中，借助現(xiàn)代媒體技術(shù)和現(xiàn)實(shí)教具直觀感知圓錐曲線背景，經(jīng)歷探究圓錐曲線的形成過程，比如探究圓錐曲線中動態(tài)軌跡問題，分析轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解最值問題，分類討論參數(shù)定值定點(diǎn)問題等，在推導(dǎo)運(yùn)算過程中，分析算法優(yōu)化算法，在觀察、分析、運(yùn)算、推導(dǎo)、歸納、概括的過程中，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

莫讓題海遮望眼，揭開霧紗顯真顏.對圓錐高考真題多維度探究，剖析圓錐問題本質(zhì)，探尋圓錐知識聯(lián)系，欣賞圓錐結(jié)構(gòu)之美，既提升數(shù)學(xué)思維，又啟迪教育教學(xué)，還培育數(shù)學(xué)素養(yǎng).