電磁與化學突觸作用下ML神經元環狀網絡的分岔同步

張潔　高定強

關鍵詞：網絡;電磁;分岔;同步

中圖分類號：TP183;O441.4 文獻標志碼：A

0引言

神經元是神經系統的基本單位，神經元的基本結構有胞體和突起，其中突起進行信息傳遞，其中化學突觸是一種主要的信息傳遞方式，通過突觸前膜釋放神經遞質，刺激突觸后膜產生動作電位，在神經元之間進行信息傳遞[1]。由于細胞間各帶電離子進行跨膜運動時產生的放電行為，會在細胞周圍產生小范圍的磁場，影響神經元的電位變化。而電位的變化又會引起磁場的改變，導致神經元之間信息傳遞始終處于一個微弱磁場當中，這勢必會對其放電模式及其同步狀態產生影響[2]。Ma等人通過對單個神經元模型在電磁輻射下的多模式放電行為的研究，揭示了電磁對神經元放電的影響[3][4]。文獻[5]分析了Chay神經元在電磁作用下的平衡點、穩定性及分岔，并研究了全局連接神經元網絡的同步問題。文獻[6]基于改進的電磁感應神經元模型，檢測鏈神經元網絡的集體響應。計算了同步的統計因子，得到了模式穩定性與結耦合和場耦合強度的關系。給出了分岔分析和波的傳播。文獻[7]將網絡中的所有神經元都與小世界連接耦合，并將結果與規則網絡中所有神經元完全耦合與最近鄰連接的情況進行比較。定義了一個統計變量來研究由于信道噪聲和網絡拓撲結構引起的螺旋波的集體行為和相變。文獻[8]在HR模型的基礎上建立磁流體作用下的電活動模型，研究了兩個線性和兩個非線性模型，觀察了從振蕩到混沌動力學的各種行為，同步、平衡點、混沌等。文獻[9]利用磁通描述的電磁感應，研究了四變量HR神經元模型的相位同步化方法。發現神經元間的磁通耦合能夠實現完全的相位同步，同時，神經元間的磁通耦合也能夠實現完全的相位同步。

本論述在ML神經元的基礎上，在電磁作用下，建立具有化學突觸的環狀網絡神經元系統，運用四階龍格庫塔法，通過數值模擬分析環狀網絡中神經元系統的分岔行為，并用時間歷程圖與相圖進行驗證。之后引入一個統計量同步因子R，分析環狀網絡神經元系統中的同步行為。

1模型描述

神經元內外磁場變化會引起電磁感應現象，對神經元放電會產生影響，在具有化學突觸的模型中引入電磁變量，在以下環狀網絡中建立ML神經元模型，得到如圖1所示模型。

2分岔分析

在數值計算中，采用四階變步長龍格-庫塔方法對考慮環狀網絡中電磁和化學突觸的耦合神經元系統進行分岔分析。

經多次驗證，選取耦合強度D=0.06，μ=0.003參數vk進行數值仿真，峰峰間期分岔圖如圖2所示。觀察圖2，發現隨參數vk不斷增加，分岔圖首先發生倍周期分岔，當-1.0≤vk≤-0.9755時，神經元系統處于周期1放電，之后發生倍周期分岔，在-0.9755≤vk≤-0.9505，神經元系統處于周期2放電，之后耦合系統繼續發生倍周期分岔，進入短暫的周期4放電與周期8放電，之后進入混沌放電，至vk=-0.933時，耦合系統進入周期3放電，之后耦合系統繼續進入混沌放電，至vk=-0.914時，耦合系統重新進入周期放電，此時處于周期4放電，之后在很小的區間里發生倍周期分岔，進入周期8放電，隨vk繼續變大，耦合系統又進入混沌放電，直至vk=-0.8715時，耦合系統重新進入周期5放電，隨vk繼續變大，耦合系統呈現加周期放電狀態，依次進入周期6放電，周期7放電，周期8放電，并在vk≤-0.7內，維持在周期放電的穩定狀態。為了驗證以上分析的正確性，分別選取vk=-1.0，vk=-0.8，vk=-0.9205下的時間歷程圖與相圖進行驗證，如圖3所示。選取vk=-1.0時，分岔圖顯示為周期1放電，時間歷程圖與相圖均為周期1放電，選取vk=-0.8時，分岔圖顯示為周期5放電，時間歷程圖與相圖均為周期5放電，選取vk=-0.9205時，分岔為混沌放電，時間歷程圖與相圖也為雜亂無章的混沌放電。

經多次驗證，選取耦合強度D=0.02，觀察化學突觸參數V在不同參數g下峰峰間期分岔圖，分析g的變化對V分岔圖的影響，如圖4所示。觀察圖4，發現耦合系統隨參數Vsyn增加首先呈倍周期分岔，之后通過混沌放電呈加周期放電狀態。通過對比圖4（a）（b）（c）三張圖，發現當g=1.8，放電現象最為豐富，從周期1放電到周期2，周期4放電，以及多次混沌放電。當g=1.6時，對比g=1.8時，耦合系統從周期2放電開始，同樣經歷倍周期分岔，達到周期4放電及多次混沌放電與加周期放電，且混沌放電區間較g=1.8時分散。當g=2.0，耦合系統呈現倍周期放電，從周期1放電到周期2，周期4放電及混沌放電，但與前兩者對比，耦合系統的混沌放電明顯減少，周期放電明顯增加。

3同步分析

為研究環狀網絡下神經元系統的同步情況，在這里引入一個統計量——同步的統計因子R[6]，并應用四階龍格庫塔法進行數值分析。

其中〈·〉為變量隨時間的平均值，N為神經元數量。網絡在R→1處將獲得完全同步，而R→0決定了有序空間分布和空間格局的出現，得到非完美同步。相關系數R越大說明耦合神經元的相關程度越高，及耦合神經元系統同步化程度越高。

對環狀網絡下的ML神經元模型，引入同步的統計因子R，運用四階龍格庫塔法進行數值模擬，得出系統（1）的統計因子R隨耦合強度的變化圖，如圖5所示。觀察圖5，發現同步統計因子R隨耦合強度增大，首先由大變小，之后在耦合強度D=2.0時，驟然變大達到同步，并逐漸向1靠近。圖6是進一步對相關系數圖的驗證，反映了耦合系統隨時間尺度的增大，耦合系統放電的狀態和同步的情況。取耦合強度D=0.75，R=0.701002，其相圖與時間歷程圖如圖6（a）（d）所示，圖6（d）中黑色表示第一個神經元的放電節律，紅色為第二個神經元的放電節律，圖6（a）在平面內不呈現一條斜率為1的一條直線，表示此時耦合系統達不到同步。圖6（d）兩個神經元的放電節律存在錯位，進一步驗證了兩個神經元之間不同步。取耦合強度D=1.95，R=0.210880，其相圖與時間歷程圖如圖6（b）（e）所示，觀察圖可知，此耦合強度下神經元依然沒有達到同步。取耦合強度D=2.0，R=0.968356，其相圖與時間歷程圖如圖6（c）（f）所示，圖6（c）中的相圖在（V，V）平面內呈現一條斜率為1的一條直線，表示此時耦合系統達到同步，圖6（f）中時間歷程圖呈現為一條水平直線，兩個神經元都處于靜息狀態，為靜息同步。通過以上分析，發現耦合系統隨耦合強度的增大，最后達到靜息電位，處于穩定的靜息同步中。

4結論

本論述對在電磁作用與化學突觸作用下的ML神經元網絡模型，運用數值分析的方法進行了分岔分析與同步分析，在分岔分析中主要選擇基本參數及化學參數進行分析，并用時間歷程圖和相圖加以驗證，并用離散法對不同參數下的分岔圖進行了分析。在對環狀網絡下的耦合系統進行同步分析時，依據參考文獻[6]選取的統計因子R進行了數值仿真，并選取時間歷程圖與相圖加以驗證。