應用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理

曾嬌 唐金芳 肖剛

摘?要：?在平面幾何中，常會出現線段比或者線段積的證明問題，這些線段的處理，往往需要通過轉化的數學方法.我們通常處理的手段就是作平行線，產生“A”字型與“X”模型這兩種常見平行線分線段成比例模型?[1-2?].本文就以梅涅勞斯定理、塞瓦定理?[3-5?]為例，來闡述平行線在線段成比例的線段轉化中所起到的重要作用.

關鍵詞：?幾何模型;著名定理;輔助線

中圖分類號：?G?632?文獻標識碼：?A?文章編號：?1008-0333（2022）12-0020-03

收稿日期：?2022-01-25

作者簡介：?曾嬌（1991.5-），四川省隆昌人，碩士，講師，從事中學數學教學研究.

1 基本模型

1.1 “A”型

如圖1，在△ABC中，DE∥BC

結論：?AD?DB?=?AE?EC?，?AD?AB?=?AE?AC?=?DE?BC?，?DB?AB?=?EC?AC

注：代數中合比定理可由此模型理解.

1.2 “X”型

如圖2，DE∥BC，DC與BE交于點A

結論：?DA?AC?=?AE?AB?=?DE?BC?，?DA?DC?=?AE?BE?，?AB?BE?=?AC?DC

2 平行線法在著名平面幾何定理中的應用

2.1 梅涅勞斯定理

設A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點（即三點中或一點或三點在邊的延長線上），則A′、B′、C′共線的充要條件是（?）.

BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1

證明

必要性：如圖3，過A作直線AD//C′A′交BC的延長線于D，則：?CB′?B′A?=?CA′?A′D?，?AC′?C′B?=?DA′?A′B

故?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=?BA′?A′C?·?CA′?A′D?·?DA′?A′B?=1

充分性：設直線A′B′交AB于C?1，則由必要性，得到?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC?1?C?1B?=1，又由題設有?BA′?A′C?·?CB′?B′C?·?AC′?C′B?=1，于是?AC 1?C?1B?=?AC′?C′B?，由合比定理得?AC?1?AB?=?AC′?AB?，即AC?1=AC′，從而C?1與C′重合，故A′、B′、C′共線.

關于梅涅勞斯定理教學分析：

在△ABC中的“A′B′C′”稱為“梅氏線”，對于梅涅勞斯定理結論而言，是一個關于線段比乘積的等式，右邊的結果是1，如何才能讓右側的結果為1，左邊是六條不同的線段，必須經過線段的轉化后約分，怎樣有效的變形？這個問題至關重要，也是本題解決問題的關鍵.我們通過觀察，不難發現，六條線段分別分布在三角形不同的邊或者延長線上，如果能將所有的線段轉換到同一條直線上，本題就取得了實質性的突破.本題解法過A點作與“梅氏線”A′C′平行的輔助線“AD”，利用“A”型，將線段比?CB′?B′A?與?AC′?C′B?轉化到BD上，得到?CB′?B′A?=?CA′?A′D?，?AC′?C′B?=?DA′?A′B?，從而左側線段比乘積得到變形，必要性得證.

在上述的證明過程中，我們的方法是作輔助線過點“A”作與“梅氏線”平行的輔助線

同理我們也作輔助線過點“B”或“C”作與“梅氏線”平行的輔助線，可以將六條線段轉化在直線AB或者AC上，可得到不同的作輔助線方法，但原理一致.

如圖4，作輔助線過點“B”作與“梅氏線”A′C′平行的輔助線“AE”，利用“A”型將所有線段比轉化到AC上.

BA′?A′C?=?B′E?B′C?，?AC′?C′B?=?AB′?B′E?，

即?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=?B′E?B′C?·?CB′?B′A?·?AB′?B′E?=1

證畢.

2.2 塞瓦定理

設A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點（即三點中或一點或三點在邊的延長線上），則三直線AA′、BB′、CC′共點或平行的充要條件是

BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1

證明

必要性：如圖5，若AA′、BB′、CC′交于一點P，則過A作BC的平行線，分別交BB′，CC′的延長線于D，E，得：?圖5

CB′?B′A?=?BC?AD?，?AC′?C′B?=?EA?BC

又由?BA′?AD?=?A′P?PA?=?A′C?EA?，

有?BA′?A′C?=?AD?EA

從而?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=?AD?EA?·?BC?AD?·?EA?BC?=1.

如圖6，若AA′、BB′、CC′三線平行，可類似證明.?圖6

充分性：若AA′與BB′交于點P，設CP與AB的交點為C?1，則由必要性知?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC?1?C?1B?=1，而題設有?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1，由此?AC?1?C?1B?=?AC′?C′B?，

即?AC?1?AB?=?AC′?AB?，由此知C?1與C′重合，從而AA′、BB′、CC′三線共點.

若AA′∥BB′，則?CB′?B′A?=?CB?BA′?.

代入已知條件有?AC′?C′B?=?A′C?CB?，由此知CC′∥AA′.

故AA′∥BB′∥CC′.

關于塞瓦定理教學分析：

對于塞瓦定理結論而言，依然是關于線段比乘積的等式，右邊的結果仍然是1，所以問題轉化為對左側線段的轉化變形，作平行輔助線構“X”型，?CB′?B′A?=?BC?AD?，?AC′?C′B?=?EA?BC

將六條線段轉化在一組平行線“ED”“BC”上.同理我們也可以將六條線段轉化在另外兩組平行線上，可得到不同的作輔助線方法，但原理一致.

2.3 梅涅勞斯定理與塞瓦定理

如圖7，利用梅涅勞斯定理證明塞瓦定理：

設A′、B′、C′分別是△ABC的邊BC、CA、AB所在直線上的點（即三點中或一點或三點在邊的延長線上），則三直線AA′、BB′、CC′共點或平行的充要條件是

BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1

以共點為例：

在△ABC中：

△ABA′被直線CPC′所截：

AC′?C′B?·?BC?CA′?·?A′P?PA?=1 ①

△ACA′被直線BPB′所截：

AB′?B′C?·?CB?BA′?·?A′P?PA?=1 ②

由①②：?BA′?A′C?·?CB′?B′A?·?AC′?C′B?=1

反之：由塞瓦定理可以推導梅涅勞斯定理.

對于平面幾何題，我們經常思考“一題多解”、“多題一解”等問題，有助于我們發散思維.解同一幾何題，有不同的輔助線添加方法，則解題方法不一樣.掌握基本幾何模型以及作輔助線的技巧，一題就可能實現多解.著名平面幾何定理的欣賞，有利于我們提升自己的幾何素養.本文我們總結了兩類模型以及在著名平面定理里的應用，兩類模型的結論，均是與線段比例有關，所以，有關線段比例問題，可考慮這兩類模型結論.轉化線段的方法，在三角形的相似、線段積與線段比的數量關系、面積問題等方面有著廣泛的應用.

梅涅勞斯定理、塞瓦定理、西姆松等著名平面幾何定理的學習與研究，不僅可以培養學生的邏輯推理能力，增強學生的解題能力，而且可以向學生展現出平面幾何的美，提高學生的學習興趣.應用“A”與“X”模型證明著名平面幾何定理，重點闡述作輔助線的技巧與依據，讓學生迅速舉一反三，類比遷移，有利于提高解題效率.

參考文獻：

[1]張艷嬌，李海東.“平行線分線段成比例定理”證法探析?[J?].中國數學教育，2018（3）：4-5.

[2?] 林運來，陳毅貞.平行線分線段成比例定理的應?用6例?[J?].數理天地（初中版），2021（5）：1-2.

[3?] 張奠宙，沈文選.中學幾何研究?[M?].北京：高等教育出版社，2006.

[4?] 沈文選.梅涅勞斯定理及其應用?[J?].中學數學教學參考，2003（7）：52-55.

[5?] 周春荔.塞瓦定理及其應用（一）?[J?].中學生數學，2020（3）：30-33.

[6?] 于新華.梅涅勞斯定理與塞瓦定理的綜合推廣?[J?].中學數學，2005（10）：43-44.

[7?] 夏順友，陳治友，劉益波.“平面幾何名題欣賞”的教學實踐?[J?].貴州學院學報（自然科學版），2014，9（2）：34-36.

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