核心素養(yǎng)在作業(yè)設(shè)計“解三角形最值”中的培養(yǎng)

摘" 要：2008年《普通高中數(shù)學課程標準》明確提出培養(yǎng)學生的六個數(shù)學核心素養(yǎng)，鑒于此，文章結(jié)合近幾年兩個高考題的多種解法，剖析六大核心素養(yǎng)是如何在解題的過程中培養(yǎng)出來的，并提供作業(yè)設(shè)計的策略。

關(guān)鍵詞：校本作業(yè)設(shè)計;高中數(shù)學素養(yǎng);選題依據(jù);一題多解

一、高中數(shù)學核心素養(yǎng)

高中數(shù)學核心素養(yǎng)主要有數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等內(nèi)容。數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程。主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術(shù)語予以表征。

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是得到數(shù)學結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學體系的重要方式，是數(shù)學嚴謹性的基本保證，是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質(zhì)。

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題—分析問題、構(gòu)建模型—求解結(jié)論—驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題。在數(shù)學建模核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學解決實際問題的經(jīng)驗。學生能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題;能夠針對問題建立數(shù)學模型;能夠運用數(shù)學知識求解模型并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型;能夠提升應(yīng)用能力，增強創(chuàng)新意識。

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程。主要包括借助空間認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程。主要包括理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等。數(shù)學運算是數(shù)學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學結(jié)果的重要手段。數(shù)學運算是計算機解決問題的基礎(chǔ)。

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。主要包括收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進行分析、推斷，獲得結(jié)論。數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會生活和科學研究的各個方面。

在平時的作業(yè)設(shè)計當中應(yīng)當如何選題才能更好地培養(yǎng)這六大要素。本文以解三角形為例，通過兩道高考題來感受核心素養(yǎng)培養(yǎng)的路徑。

二、解三角形有六個要素

解三角形有六個要素，三條邊和三個角，通過正余弦定理可以“知三求三”（即知道三個要素，其中至少有一條邊就可以求另外三個要素），如果缺少一個條件就是最值范圍問題，即“知二求最值”，“知二”不能是知道兩個角，同樣要求至少有一條邊，可以是知道兩邊，也可以是知道一邊和一角，知兩邊只需要他們互相垂直的時候可以得到面積的最大值，平行的時候可以得到面積最小的下界，取不到最小值，而知道一邊和一角，又分為兩種情況，它可以是一角和對邊，也可以是一角及鄰邊，文章就后兩種情況展開討論核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

例1：（2019全國Ⅲ卷理數(shù)18題）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知asin■=bsinA。（1）求角B;（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍。

分析：第一問考查了三角的運算能力，第二問相當于給出三角形的一個角和另一角所對的邊，求三角形面積的取值范圍，看似熟悉，但又不完全一樣，它與平時練習的告知一角及對邊求面積、周長的最值問題有差異，基礎(chǔ)不扎實的同學在高考時就不能很好地做出來，進而影響后面的發(fā)揮。求最值最常見的就三種方法：函數(shù)法、均值不等式法、幾何法，當然根據(jù)具體的情況還有一些其他的特殊的方法，下面就常見的幾種方法結(jié)合核心素養(yǎng)進行探討。

解：（1）B=■（略）

法一：正弦定理函數(shù)法

由題意得：S△ABC=■acsinB=■a，又由正弦定理得：■=■=■，得a=■·sinA=c·■=c·■+■。又因為△ABC為銳角三角形，所以A，C均為銳角，即0lt;A=■-Clt;■0lt;Clt;■？圯■lt;Clt;■，所以■lt;tanC，即0lt;■lt;■，所以■lt;alt;2即■lt; S△ABClt;■。

此方法通過正弦定理把面積最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，正弦定理由于有三個等式，如何選擇構(gòu)建式子是難點，不同的選擇難度不一樣，甚至會進入死胡同，明確目標，求什么？有什么？如何構(gòu)建條件到結(jié)論的橋梁，明確解決問題的一般方法，就可以快速找到條件和結(jié)論之間的聯(lián)系。它考查了邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的能力，很多同學很容易忽略角C的取值范圍而導致錯誤，求角C的范圍又是一個難點，這里考查了數(shù)學數(shù)據(jù)的分析能力及三角運算能力。

法二：余弦定理不等式法

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得b2=a2-a+1①

因為△ABC為銳角三角形，所以A、C均為銳角

即b2+c2gt;a2a2+b2gt;c2即b2+1gt;a2a2+b2gt;1②

由①②聯(lián)立得■lt;alt;2，又由法一有S△ABC=■a，所以■lt;S△ABClt;■。

此方法也是很容易想到的一個方法，但是對于銳角三角形這個條件的應(yīng)用就比較難，很多同學不能把它轉(zhuǎn)化成余弦定理的分子，或者是把不等號方向記反了，此處考查了直觀想象能力，把幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的不等式的能力，對運算能力也有一定的要求，更是對通性通法的延續(xù)。

法三：幾何法

由題意，因為△ABC為銳角三角形，如圖1，固定角B和邊c，取臨界狀態(tài)，當定點取C1處時，邊c為直角三角形ABC1的斜邊，此時有面積的最小值下界，但取不到最小;當定點取C2處時，邊c為直角三角形ABC2的直角邊，此時有面積的最大值上界，但取不到最大;所以■lt;S△ABClt;■。

此法通過直觀的幾何模型，更深刻的體會最值的本質(zhì)，讓同學們感受幾何的形象，但缺乏嚴謹性，不適用于大題的解法，但也可以培養(yǎng)學生直觀形象能力。

法四：作高函數(shù)法

如圖2，過C作CD垂直AB于D，記CD=h，則 S△ABC=■·AB·CD=■h。由題意在直角三角形BCD中，BC=■·h，又在三角形ABC中，由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB，所以b2=■h2-■h+1。又三角形ABC為銳角三角形，所以角B，C為銳角，即b2+c2gt;a2a2+b2gt;c2？圯hlt;■hgt;■，所以■lt;hlt;■，即■lt;S△ABClt;■。

此方法本質(zhì)上還是函數(shù)法，構(gòu)建關(guān)于高的一個函數(shù)，如何選擇自變量，構(gòu)建自變量和因變量的關(guān)系，還能簡潔地求出最值是難點。既考查數(shù)學建模素養(yǎng)，也考查直觀想象的素養(yǎng)，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，同時也考查了運算的能力。

法五：坐標法

如圖3，以B為原點，BC邊為x軸建立平面直角坐標系，則A■，-■，C（c，0），所以■=-■，■，■=c-■，-■，■=（-c，0）。又因為角A，C為銳角，所以■·■gt;0■·■gt;0，即c-■·-■+-■·-■gt;0■-c·（-c）+■·0gt;0，所以■lt;clt;2。又S△ABC=■c，所以■lt;S△ABClt;■。

？搖？搖此方法通建系，設(shè)其中一個頂點為原點，把其中一條邊c放到x軸上，長度就為另一個點C（c，0）的非零坐標，另一個頂點A就可以用邊c表示，進而面積就表示成邊c的函數(shù)，再有幾何的銳角，轉(zhuǎn)換為向量的夾角得到邊c的取值范圍。培養(yǎng)了學生數(shù)學建模和直觀想象的素養(yǎng)，特別是銳角轉(zhuǎn)化為向量的不等式非常巧妙，還考查了邏輯推理的劃歸思想。

例2：（2014年全國一卷理16）已知l分別為l三個內(nèi)角A的對邊，PA，且△ADE，則agt;0，bgt;0面積的最大值為____________。

分析：因為a=2，所以（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC得（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，故（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC。又根據(jù)正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，化簡得b2+c2-a2=bc，故cosA=■=■，所以A=60°。

問題可歸結(jié)為知二（一邊及對角）求面積的最值問題，常見以下解法：

法一：正弦定理函數(shù)法

由正弦定理■=■=■=■，得b=■·sinB，c=■sinC。又因為S△ABC=■bcsinA=■·sinBsinC=■sinBsin■π+B=■sin2B-■+■，所以當2B-■=■即B=■時有面積的最大值■。

此法和例1的基本一樣，通過正弦定理把面積問題轉(zhuǎn)換為三角的最值問題，把主要考查了數(shù)學運算，邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)，但實際操作過程中，同學們更容易想到第二種不等式法。

法二：余弦定理不等式法

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以4≥bc，所以S△ABC=■bcsinA=■bc≤■，當b=c的時候取到等號。

此法是最容易想到的，聯(lián)系邊和角的定理要么正弦，要么余弦定理，通過余弦定理得到兩邊的一個方程，可以選擇消元后函數(shù)法，也可以用不等式法直接求兩變量的最值。培養(yǎng)了邏輯推理，數(shù)學運算的素養(yǎng)。

通過兩個例題對比，這兩個題有異曲同工之妙，所考察的素養(yǎng)基本一樣，只是載體不一樣。所以平時的校本作業(yè)的設(shè)計不應(yīng)追求量的多，而要注重選題的精，能用多種方法解答，既可以一題多解，也可以多題一解，可以展示學生不同的核心素養(yǎng)，這才是高考命題的方向，更是一線教師追求的目標。

參考文獻：

[1] 王思思. 巧思維，妙方法——一道解三角形最值題的精彩解法[J]. 中學數(shù)學，2021（23）：50-51.

[2] 孫玉朋. 怎樣解答解三角形中的最值問題[J]. 語數(shù)外學習（高中版中旬），2021（05）：36.

[3] 玉素貞. 解三角形最值問題的兩種轉(zhuǎn)化策略分析[J]. 考試周刊，2021（49）：85-86.

（責任編輯：向志莉）