運(yùn)用化歸思想求函數(shù)最值的策略

摘要：新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡教學(xué)應(yīng)該回歸到教材，這就使得我們要追根溯源，回歸本真.本真課堂以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)，通過真實(shí)情境下的課堂教學(xué)互動，并以豐富的變式訓(xùn)練和真實(shí)的課堂活動開展教學(xué)，是一種過程性和生成性學(xué)習(xí).函數(shù)的最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一項重要內(nèi)容，無論是教學(xué)還是研究，都應(yīng)該關(guān)注對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.本文中主要結(jié)合函數(shù)最值問題，對運(yùn)用化歸思想求解函數(shù)最值的策略進(jìn)行了探究，為學(xué)生在本真課堂中獲得學(xué)科知識技能和關(guān)鍵能力提供助力.

關(guān)鍵詞：化歸思想；函數(shù)最值

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)尊重教育規(guī)律，努力把學(xué)生培養(yǎng)為學(xué)習(xí)的主人，使學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生.但是教師要問自己：教室里大多數(shù)的學(xué)生，學(xué)習(xí)真的發(fā)生了嗎？有的教師無視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)動機(jī)，剝奪學(xué)生做事情的權(quán)利，省略與學(xué)生的有效對話，抑制學(xué)生探索的欲望.為了學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展，教師應(yīng)該把課堂學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，課堂應(yīng)該充滿更真實(shí)的對話、認(rèn)真的意見和真正的引導(dǎo)，展示“真正的學(xué)習(xí)”是什么樣子的.

1 運(yùn)用化歸思想解決問題的一般模式及基本觀點(diǎn)在問題解決的過程中，將待解問題不斷變形、轉(zhuǎn)化，直至把它歸結(jié)為已經(jīng)解決的或容易解決的問題，最終得到原問題的解答.這就是化歸思想[1].

1.1 運(yùn)用化歸思想實(shí)現(xiàn)問題解決的一般模式

化歸思想一般模式如圖1所示.

1.2 基本觀點(diǎn)

（1）運(yùn)動與變化的觀點(diǎn)

事物不是靜止的，它是在不斷地變化著的．解決數(shù)學(xué)問題時，把靜止變成運(yùn)動，把常量變成變量，利用運(yùn)動與變化的方法解決問題．

（2）聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)

事物不是獨(dú)立存在的，是相互聯(lián)系并能夠轉(zhuǎn)化的．在解決數(shù)學(xué)問題時，要不斷地找出問題之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的方法，來解決數(shù)學(xué)中的問題.

（3）優(yōu)選化歸的觀點(diǎn)

一般的數(shù)學(xué)問題可以分為兩種，一種是創(chuàng)造新方法解決問題，一種是與以前所學(xué)的知識相結(jié)合共同來解決問題.同時，后一種方法在實(shí)際中最常用，并且在解決問題中常常利用化歸的方法.所以，在面對數(shù)學(xué)問題時，我們通常優(yōu)先考慮化歸方法[2].

2 運(yùn)用化歸思想求解函數(shù)最值的策略

2.1 等價轉(zhuǎn)化法求最值

兩個命題A和B，若AB，則稱A與B邏輯等價.等價轉(zhuǎn)化法是把待解命題A通過某種方法轉(zhuǎn)化與其同真同假的等價命題B，通過轉(zhuǎn)換的方法解決命題B得出結(jié)果，就意味著解決了命題A的問題.

例1已知拋物線y2=4（x－1），試在這個拋物線上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到焦點(diǎn)與到點(diǎn)（4，1）的距離之和最小.

解：拋物線y2=4（x－1）的準(zhǔn)線是x=0，拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離相等.待解命題等價于命題“已知拋物線y2=4（x－1），試在這個拋物線上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=0的距離與到點(diǎn)（4，1）的距離之和為最小”.如圖2所示，過點(diǎn)（4，1）作準(zhǔn)線x=0的垂線，該垂線交拋物線與一點(diǎn)，據(jù)平面幾何有關(guān)知識易知，該交點(diǎn)即為所求之點(diǎn)P，其坐標(biāo)為54，1.

2.2 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化求最值

通過數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，不僅可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)變成圖形分析的問題，還可以利用圖形關(guān)系的分析，在圖中直接看出變量之間的關(guān)系，從而解決問題，節(jié)省時間，開發(fā)思維能力.

數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，通常有以下幾種情形：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.

（1）用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化解平面幾何的最值問題

平面幾何中與三角形、圓等有關(guān)的問題，可以利用建立坐標(biāo)系的方法，把圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的運(yùn)算問題來解決.

例2已知△ABC中，AB=2，AC=2BC，則△ABC面積的最大值是．

解：由于AB為定長，因此△ABC的面積由AB邊上的高決定.而動點(diǎn)C滿足AC=2BC，所以可以建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足的方程.如圖3所示，以線段AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（－1，0），B（1，0）.

設(shè)C（x，y）.由|AC|=2|BC|可得（x+1）2+y2=2·（x－1）2+y2.

化簡，得

（x－3）2+y2=8（y≠0）.

所以，點(diǎn)C在以（3，0）為圓心，半徑為22的圓（點(diǎn)（3±22，0）除外）上運(yùn)動.

因此S△ABC=12·AB·yc=yc≤22.

故△ABC面積的最大值為22.

（2）用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化解圓錐曲線問題

解析幾何中求代數(shù)式的最值問題常常可以聯(lián)系代數(shù)式中各量的的幾何意義，轉(zhuǎn)化為斜率、截距、距離等模型去解決.與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，合理應(yīng)用圓錐曲線的定義是解決此類問題的有效途徑.

例3已知A（1，1）為橢圓x29+y25=1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)，求PF1+PA的最大值和最小值.

解：由x29+y25=1，可知a=3，b=5，c=2，左焦點(diǎn)F1（-2，0），右焦點(diǎn)F2（2，0）.

由橢圓定義，可知PF1=2a-PF2=6-PF2.

所以PF1+PA

=6-PF2+PA

=6+PA-PF2.

由PA-PF2≤AF2=（2-1）2+（0-1）2=2，得

-2≤PA-PF2≤2.

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在AF2的延長線上的點(diǎn)P2處時，｜PA｜-｜PF2｜=2;

當(dāng)點(diǎn)P在AF2的反向延長線上的點(diǎn)P1處時，｜PA｜-|PF2|=-2;

所以PA-PF2的最大值、最小值分別為2，－2.

故PF1+PA的最大值為6+2，最小值為6-2.

2.3 利用基本不等式化歸轉(zhuǎn)化求最值

利用不等式求最值主要是指運(yùn)用基本不等式或它的一些變形式求代數(shù)式的最值.這種方法主要適用于和為定值或積為定值（或可轉(zhuǎn)化為和或積為定值）時的最值求解問題.

（1）直接應(yīng)用基本不等式化歸轉(zhuǎn)化求最值

若待求式的和或積為定值，則可以直接應(yīng)用基本不等式求解.使用公式時應(yīng)注意基本不等式成立的條件.

例4已知xgt;0，ygt;0，且滿足3x+2y=12，求lg x+lg y的最大值.

解：因為xgt;0，ygt;0，所以lg x+lg y=lg3x52y6≤lg163x+2y22=lg16×1222=lg 6，當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y，且3x+2y=12，即x=2，y=3時，等號成立.

所以lg x+lg y的最大值是lg 6.

（2）應(yīng)用不等式化歸轉(zhuǎn)化的技巧

基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變量和與積的最值，即所謂“和定積最大，積定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形求最值，有的需要對待求式作適當(dāng)變形后才可求最值.

（ⅰ）加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和或積為定值.

例5函數(shù)f（x）=3x-4+x（xlt;3）的最大值是（）.

A.-4B．1C．5D．-1

解：由xlt;3，得3-xgt;0，所以

f（x）=-43-x+（3-x）+3≤-24+3=-1，當(dāng)且僅當(dāng)43-x=3-x，即x=1時，等號成立.

所以f（x）的最大值-1．故選：D.

（ⅱ）平方后再使用基本不等式.

例6若xgt;0，ygt;0，且2x2+y23=8，求x6+2y2的最大值.

解：（x6+2y2）2=x2（6+2y2）=3×2x21+y23≤32x2+1+13y222=3×814=2434.

當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1+y23，且2x2+y23=8，即x=32，y=422時，等號成立．故x6+2y2的最大值為923.

（ⅲ）用“１”的代換法化歸轉(zhuǎn)化求最值.

例7 已知1x+2y=1，且xgt;0，ygt;0，求x+y的最小值.

解：因為xgt;0，ygt;0，所以

x+y=（x+y）·1=（x+y）·1x+2y=3+yx+2xy≥3+22.

當(dāng)且僅當(dāng)yx=2xy，且1x+2y=1，即x=2+1，y=2+2時，上式等號成立.

故x+y的的最小值是3+22.

3 結(jié)語

本文中基于本真課堂系統(tǒng)研究了如何運(yùn)用化歸思想方法求解最值問題，同時將最值問題通過相互轉(zhuǎn)化的方法使解題思路變得簡單易懂.通過研究可以得出，最值問題解題思想方法的學(xué)習(xí)，不僅可以積累解題經(jīng)驗，還可以鍛煉思考能力和開拓創(chuàng)新能力.因此，最值問題是極其具有研究意義的，也是非常重要的.

參考文獻(xiàn)：

[1]俆漢文.中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材分析［M］.北京：科學(xué)出版社，2014：31.

[2]陳慶洪.淺析高考數(shù)學(xué)中的最值問題［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（1）：44-46.