強化解題研究 提升思維能力

摘要：解題研究至關重要，分析題目條件，挖掘題目內涵，夯實基本功，培養探究欲，結合高考真題實例，從思維視角切入進行破解，總結規律，提升思維能力，摒棄題海戰術，全面提升學生的解題能力與教師的教學水平，引領并指導教學學習與解題研究．

關鍵詞：三角函數；基本不等式；特殊值；反證法；基本功

數學解題及其研究一直是教師教學與學生學習中的一個重要過程．歷年的典型高考真題，都是數學解題研究的一大活字典，利用高考真題的典型性、基礎性、綜合性、應用性和創新性，強化解題研究，探究教學藝術，挖掘問題本質，拓展規律結論，摒棄題海戰術，全面提升學生的解題能力、創新能力、綜合能力以及思維能力等，以及教師的教學水平與研究能力．下面結合一道2021年高考真題的解題研究加以剖析、展開、應用．

1 巧展高考題

高考真題（2021年高考數學浙江卷第8題）已知α，β，r是互不相同的銳角，則在sin αcos β，sin β＼5cos γ，sin γcos α三個值中，大于12的個數的最大值是（）.

A．0B．1C．2D．3

該題是2021年高考數學浙江卷的一大熱點問題，創新新穎，極具亮點，其以三角函數為問題背景，結合變角所對應的三角函數關系式的組合，通過兩兩正弦值與余弦值的乘積關系式，進而確定其中大于12的個數的最大值．“動”與“靜”結合，“變量”與“常量”交匯，破解時要從兩個角度來分析與突破．

2 夯實基本功

常規解法最能體現學生的數學基本功，是學生審題后第一時間內自然而然想到的、常見的破解方法之一，也是學生解題經驗的積累與應用的充分體現．夯實基本功，是教師教學與學生學習中最基本的要求之一.因此，要不斷強化基礎訓練，全面提升學生的“四基”水平，提升解題能力．

解法1：基本不等式+特殊值法.

利用基本不等式，可得

sin αcos β≤12（sin2α+cos2β），

sin βcos γ≤12（sin2β+cos2γ），

sin γcos α≤12（sin2γ+cos2α）.

以上三式同向相加，整理可得

sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤32.

很顯然sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三者不可能均大于12.

取特殊角α=30°，β=60°，γ=45°，可得sin αcos β=14lt;12，sin βcos γ=64gt;12，sin γcos α=64gt;12.

所以在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三個值中，大于12的個數的最大值為2.

綜上分析，可知滿足條件的個數的最大值是2.故選擇答案：C．

點評：解法1是比較容易想到的破解方法之一.首先利用基本不等式確定三個值之和sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α 的取值范圍，確定所求個數的上限；然后利用特殊角的選取，通過求值直接確定滿足題意的個數情況；最后綜合判斷滿足條件的個數的最大值．基本不等式與特殊值的結合，方法基本，雙管齊下，一張一弛，巧妙判斷．

3 培養探究欲

解法1中利用特殊值法，借助特殊角的選取，判斷相應的三個三角函數值中大于12的個數情況（最小值），除了可以利用基本不等式來處理外，還可以根據題目中三角關系式的特征，進一步挖掘探究，深化與拓展，開拓解題思維，提升解題能力．

解法2：二倍角公式法.

由于sin αcos β·sin βcos γ·sin γcos α=（sin αcos α）·（sin βcos β）·（sin γcos γ）=18sin 2αsin 2βsin 2γ≤18，因此很顯然得知sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三者不可能均大于12.

以下部分同解法1.

點評：利用三個三角代數式相乘處理，結合三角恒等變換中的二倍角公式加以變形，借助三角函數的有界性確定其積式的最大值，結合不等式的性質確定三者不可能同時滿足條件，得以合理推理與論證．

解法3：主元法.

利用輔助角公式，可得

sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α

=cos2γ+sin2αsin（β+φ）+sin γcos α

≤cos2γ+sin2α+sin γcos α

≤cos2γ+sin2α+12（sin2γ+cos2α）

=cos2γ+sin2α+12（2－cos2γ－sin2α）

（令u=cos2γ+sin2α）

=u+12（2－u）

=－12（u－1）2+32≤32.

很顯然sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三者不可能均大于12.

以下部分同解法1．

點評：利用三個三角代數式相加處理，結合輔助角公式對其中兩個和式進行變形與轉化；利用三角函數的圖象與性質、基本不等式加以轉化，引入參數，把對應的三角關系式轉化為涉及參數的二次函數問題；通過配方處理，結合二次函數的圖象與性質確定其和式的最大值，結合不等式的性質確定三者不可能同時滿足條件，得以合理推理與論證．

解法4：反證法.

假設sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三者均大于12.

由sin αcos βgt;12，結合基本不等式，可得sin2α+cos2β≥2sin αcos βgt;1=sin2α+cos2α，則有cos2βgt;cos2α.因為α，β均為銳角，所以αgt;β.

同理，由sin βcos γgt;12，可得βgt;γ；由sin γcos αgt;12，可得γgt;α.

則αgt;β，βgt;γ與γgt;α矛盾，故假設不成立.

所以sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三者不可能均大于12.

以下部分同解法1．

點評：假設三個三角代數式均大于12，通過基本不等式與三角函數的平方關系加以轉化，進而確定對應的三角函數值之間的關系，結合條件中角為銳角確定對應角的大小關系；同理推導其他兩組角之間的大小關系，結合題目條件產生矛盾，進而確定三者不可能同時滿足條件，得以合理推理與論證．

解法5：排序不等式法.

不失一般性，不妨設π2gt;αgt;βgt;γgt;0，則有sin αgt;sin βgt;sin γgt;0，0lt;cos αlt;cos βlt;cos γ.

利用排序不等式，可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤sin αcos γ+sin βcos β+sin γcos α=sin（α+γ）+12sin 2β≤1+12=32.

很顯然sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三者不可能均大于12.

以下部分同解法1．

點評：利用三個不相等銳角的一般處理方法，確定對應的大小關系，進而得到對應的正弦值與余弦值的大小關系；利用排序不等式中“亂序和小于等于同序和”建立不等關系式，結合三角恒等變換公式加以變形與轉化；再利用三角函數的圖象與性質確定其和式的最大值，結合不等式的性質確定三者不可能同時滿足條件，得以合理推理與論證．

以上五種不同解法中，為了確定sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三者不可能均大于12，可以借助三角恒等變換公式、輔助角公式、三角函數的平方關系等，結合三角函數的圖象與性質、二次函數的圖象與性質、反證法思維以及特殊不等式思維等，合理推理論證，巧妙分析判斷．

事實上，在數學解題過程中，強化解題研究，充分審題析題，不應停留在問題的表面以及問題成功破解的第一步，而是不斷進行認真研究，解后思考、探究、拓展、變式、總結等，深入進行“一題多解”“一題多思”“一題多探”“一題多變”“多題一解”等創新應用，歸納總結題目類型與破解規律，不斷發展學生的機智和創造力，全面提升綜合能力、創新能力與應用能力等．