高中數(shù)學(xué)直觀想象能力的培養(yǎng)

摘要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，棱錐的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題又是立體幾何的難點(diǎn)之一，掌握有關(guān)內(nèi)切球和外接球問(wèn)題的基本求解策略是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞：直觀想象；內(nèi)切球；外接球；核心素養(yǎng)

1 問(wèn)題的提出

幾何與代數(shù)本是數(shù)學(xué)中最古老的內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中除原有的雙基要求外，思維能力的培養(yǎng)細(xì)分到了空間想象、直覺(jué)猜想、歸納抽象、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、演繹證明、體系構(gòu)建等［1］.其中以直觀想象替代原有的空間想象，涉及范圍更加廣泛，需要對(duì)圖形進(jìn)行描述、分析、理解，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.立體幾何中棱錐的切接球（如果一個(gè)棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么這個(gè)球叫做棱錐的外接球，球體與棱錐的每個(gè)面都相切的球是棱錐的內(nèi)切球）問(wèn)題，能夠發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力，但是在學(xué)習(xí)中，因知識(shí)點(diǎn)比較抽象，學(xué)生把握不住問(wèn)題的本質(zhì)，難以解決.因此在教學(xué)中要給學(xué)生介紹一些基礎(chǔ)的模型知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比思想和空間圖形平面化的能力來(lái)突破立體幾何中的這個(gè)難點(diǎn).

2 正三棱錐的內(nèi)切球與外接球半徑

設(shè)正三棱錐P-ABC，側(cè)棱長(zhǎng)為a，底面邊長(zhǎng)為b，則外接球的半徑R=a22a2－13b2，內(nèi)切球半徑為r=b3a2－b234a2－b2+3b.

（1）求正三棱錐的外接球半徑

已知正三棱錐P-ABC，底面三角形ABC的邊長(zhǎng)為b，側(cè)棱長(zhǎng)為a，PF⊥面ABC，F(xiàn)為垂足，求其外接球半徑R.

第一步：先求出底面外接圓的半徑.F為三角形ABC外接圓圓心，BF=23×32b=33b.

第二步：利用勾股定理求出棱錐的高.如圖1，PF=PB2－BF2=a2－13b2，OF=PF－PO=a2－13b2－R.

第三步：利用Rt△BOF的勾股定理求出球的半徑.由OB2=OF2+BF2，得R=a22a2－13b2.

（2）求正三棱錐的內(nèi)切球半徑

已知三棱錐P-ABC為正三棱錐，底面三角形ABC的邊長(zhǎng)為b，側(cè)棱長(zhǎng)為a，求其內(nèi)切球半徑r.

第一步：如圖2，取AB中點(diǎn)D，連接PD，CD.設(shè)點(diǎn)E，H分別為球與平面APD和平面ACD的切點(diǎn)，圓O為截面圓.

第二步：DH=13×32b=36b，PD=a2－b24，三棱錐的高PH=PD2－DH2=a2－13b2，PO=PH－r.

第三步：由△OPE和△DPH相似，得OEDH=POPD，解出r=b3a2－b234a2－b2+3b.

3 培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想

在研究正三棱錐內(nèi)切球的半徑時(shí)，可類(lèi)比三角形內(nèi)切圓半徑的求解思路：面積分割，三角形的內(nèi)切圓圓心到三條邊的距離相等，所以三角形的面積等于以三條邊長(zhǎng)為底，高為內(nèi)切圓的半徑的三個(gè)三角形面積之和.因此，三棱錐的內(nèi)切球半徑（內(nèi)切球的球心到三棱錐四個(gè)面的距離都相等）的求解思路：體積分割，三棱錐的體積等于以三棱錐的四個(gè)面為底面，內(nèi)切球的半徑為高的四個(gè)小三棱錐的體積之和.教學(xué)時(shí)可利用GeoGebra軟件給學(xué)生展示（如圖3）分割法求內(nèi)切球半徑的動(dòng)態(tài)過(guò)程［2］.

推廣到一般：如果多面體有一個(gè)內(nèi)切球，假設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，多面體n個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，……，Sn，連接球心與各個(gè)頂點(diǎn)，把多面體分割成n個(gè)棱錐，這n個(gè)棱錐的高都是r，那么多面體的體積V=13S1+S2+S3+……+Sn5r.

同樣地，研究三棱錐外接球半徑時(shí)，也可以聯(lián)想三角形外接圓半徑的求法.在初中我們先是研究直角三角形外接圓的半徑，然后研究鈍角三角形、銳角三角形的外接圓半徑，都可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)解決.類(lèi)比這一解題思路，我們研究三棱錐外接球的半徑時(shí)，也可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)解決［3］.

如圖4，底面三角形ABC為直角三角形，球心為O，OH⊥平面ABC，H為垂足，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則（2R）2=AC2+PA2，或R2=h2+r2，OH=h.

例1已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥平面ABC，求球O的表面積.

解析：如圖5，由余弦定理得到BC=7，由正弦定理得到△ABC外接圓半徑r=12×7sin120°=213.則由（2R）2=PA2+（2r）2，得R=303.

所以球O的表面積為S=4πR2=40π3.

這類(lèi)問(wèn)題主要是構(gòu)造直角三角形，由球心向三棱錐某個(gè)面作垂線(xiàn)，垂足為相應(yīng)三角形外接圓的圓心.外接圓半徑可以通過(guò)正弦定理2r=asin A=bsin B=csin C得到，然后利用勾股定理求解.

4 用模型解決立體幾何問(wèn)題

利用長(zhǎng)方體或者正方體模型來(lái)解題，學(xué)生的直觀感受更加強(qiáng)烈，能夠很快分析出球的球心.長(zhǎng)方體、正方體模型也是學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ).

如圖6-1與圖6-3都是由三個(gè)直角三角形和一個(gè)等邊三角形構(gòu)成的三棱錐模型，圖6-2是由四個(gè)直角三角形構(gòu)成的三棱錐模型，圖6-4是正四面體.長(zhǎng)方體模型中最常見(jiàn)的是對(duì)棱相等的三棱錐模型，長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體的外接球半徑為R=a2+b2+c22.

例2已知四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，AB=CD=x，AD=BC=y，AC=BD=z，求該四面體的外接球半徑R.

解析：構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖7.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是a，b，c，則有

a2+b2=x2，

b2+c2=y2，

a2+c2=z2.

所以R=a2+b2+c22=24x2+y2+z2.

5 結(jié)論

總之，立體幾何的學(xué)習(xí)是由淺入深、循序漸進(jìn)的過(guò)程.在這一過(guò)程中，要結(jié)合概念和定義進(jìn)行解題訓(xùn)練，體會(huì)從感知到操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算的過(guò)程，提高學(xué)生的直觀想象能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中的關(guān)鍵問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018（1）：8-10.

[2]任自朝，趙軒.基于高考評(píng)價(jià)體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實(shí)施路徑[J].中國(guó)考試，2019（12）：27-31.

[3]楊春元.多面體外接球問(wèn)題的“模式化”解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（19）：80-81.