四類求極值應(yīng)用題的解題思路與方法

摘要：許多求極值類應(yīng)用題與我們的日常生活密切相關(guān)，雖然題型眾多，但是“一把鑰匙開一把鎖”，每類特征明顯的題型都能夠找到一種或幾種解題方法.要順利地解決極值類應(yīng)用題，就要求我們具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，具有嚴(yán)謹(jǐn)、全面分析問題的頭腦，還要學(xué)會(huì)一些靈活、巧妙解題的思路與方法.

關(guān)鍵詞：利息問題；產(chǎn)品設(shè)計(jì)；整點(diǎn)問題；動(dòng)態(tài)求證

求極值類數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、人們?nèi)粘Ｉ钣兄芮械穆?lián)系，它要求學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的理論、思想、方法建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，來(lái)解決實(shí)際問題.這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力有很大的幫助.求極值類數(shù)學(xué)應(yīng)用題由于涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，考查的范圍廣，分值較高，已成為近年來(lái)高考的必考考點(diǎn).因此學(xué)會(huì)和掌握這類應(yīng)用題的解題方法與技巧，就能夠?yàn)榭忌诟呖贾袏Z取高分奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1 根據(jù)數(shù)列性質(zhì)解決利息類問題

利息類問題雖然也屬于增長(zhǎng)率問題，但它具有自身的特點(diǎn)，同時(shí)由于高中生平時(shí)對(duì)銀行這類儲(chǔ)蓄問題比較陌生，很容易出錯(cuò).所以，解決這類問題首先要搞清利率的兩種計(jì)算方法.①單利計(jì)算：假設(shè)A元本金的年利息為Ar元，n年的利息為nAr元，那么n年后的本利之和為A+nAr=A（1+nr）元；②復(fù)利計(jì)算：第1年后的本利之和為A（1+r）元，第2年后的本利之和為A（1+r）2元（前一年的本利之和為后一年的本金），這樣n年后的本利之和為A（1+r）n.然后把它化歸為等比（差）數(shù)列問題處理.

例1一對(duì)農(nóng)村中年夫妻為了給他們的獨(dú)生女兒積攢將來(lái)上大學(xué)的學(xué)費(fèi)，從孩子一出生就在她每年生日那天到銀行存上一筆錢.設(shè)某大學(xué)每年的學(xué)費(fèi)為2 500元，上完四年本科共需1萬(wàn)元.考慮到通貨膨脹因素，學(xué)費(fèi)將以每年5%的速度遞增.假設(shè)女兒出生那年銀行存款年利率為7.5%，假定存款利息18年內(nèi)不變.按復(fù)利計(jì)算，試問，當(dāng)女兒到18歲上大學(xué)時(shí)，他們已經(jīng)存足了四年的學(xué)費(fèi)，那么每年生日那天應(yīng)存入多少錢？

解：1萬(wàn)元學(xué)費(fèi)，按5%的上漲率，18年后為10 000×（1+5%）18≈10 000×2.406 6=24 066（元）.

設(shè)每年存入x元，18年后的本利之和為∑18k=1［x（1+7.5%）k］=1.075x51.07518－11.075－1.

所以1.075x51.07518－10.075=24 066.

解得x≈627.5（元）.

答：他們每年生日那天應(yīng)存入627.5元.

思路與方法：本題的計(jì)算要從孩子0歲時(shí)存款算起，1～18歲每年的利息與本金之和組成的數(shù)列為x（1+0.75），x（1+0.75）17，……，x（1+0.75）18，根據(jù)等比數(shù)列的規(guī)律，按照復(fù)利息計(jì)算公式計(jì)算.

2 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決產(chǎn)品設(shè)計(jì)類問題

工廠和車間經(jīng)常要加工或生產(chǎn)某種規(guī)格的機(jī)械零件，要在用料最少（最省）的前提下，使零部件的面積或長(zhǎng)、寬符合某種要求.這實(shí)際上就是在限制條件下求最值類問題，可以運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想通過建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決.

例2如圖1，有一種變壓器，鐵芯的截面呈正十字形.為了保證所需的磁通量，要求正十字形的面積為45 cm2，為了使用來(lái)繞鐵芯的銅線最省，即正十字形的外外接圓周長(zhǎng)最短，應(yīng)如何設(shè)計(jì)正十字形的長(zhǎng)和寬？

解：如圖1，設(shè)正十字形的長(zhǎng)DG為y，寬AB為x，其外接圓直徑DH=d，正十字形的面積為S，外接圓周長(zhǎng)為C.

由正十字形的對(duì)稱性，可知

S=xy+x（y－x）=2xy－x2①

d2=x2+y2②

C=πd③

由①得y=S+x22x=S2x+x2，代入②得d2=x2+S2x+x22=x2+14x2+S2+S24x2，即

d2=54x2+S24x2+S2④

由③可知，要使C最小，只須d達(dá)到最小.因?yàn)閤gt;0，S=45，由④可得d2=54x2+S24x2+S2≥25x245S24x2+S2=S2（5+1）=10+25，其中等號(hào)成立的條件是5x24=S24x2=（45）24x2，即x4=16，亦即x=2.此時(shí)y=45+42×2=5+1，dmin=10+25， Cmin=π10+25.

所以當(dāng)正十字形鐵芯長(zhǎng)為（5+1）cm，寬為2 cm時(shí)，其外接圓周長(zhǎng)最短，所用繞線（銅線）最省.

思路與方法：本題將正十字形繞線最省轉(zhuǎn)化為其外接圓周長(zhǎng)最短，又轉(zhuǎn)化為直徑最短，繼而抓住引入的變量x，y的限制條件（S=45）來(lái)求解，這是解最值數(shù)學(xué)模型的常用思想方法.

3 通過解不等式組解決整點(diǎn)問題

對(duì)于點(diǎn)P（x，y），當(dāng)其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)時(shí)，我們稱點(diǎn)P為整點(diǎn).在實(shí)際問題中，這里的x，y通常都為自然數(shù)，即x，y∈N.像諸如藥劑最佳配料類整點(diǎn)問題，就可以通過解不等式組來(lái)解決.

例3配制A，B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料.已知配A種藥需要甲料3 mg，乙料5 mg；配B種藥需要甲料5 mg，乙料4 mg.現(xiàn)有甲料20 mg，乙料25 mg.若A，B兩種藥至少各配一劑，問最多一共能配幾劑？

解：設(shè)A，B兩種藥分別能配x劑和y劑，x，y∈N*，則有不等式組

x≥1，

y≥1，

3x+5y≤20，

5x+4y≤25，即x≥1，

y≥1，

y≤－3x5+4，

y≤－54x+254.

其解集為以直線x=1，y=1，y=－35x+4，y=－54x+254為邊界所圍成的區(qū)域（即圖2中陰影部分）.這個(gè)區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有（1，1），（1，2），（1，3）；（2，1），（2，2）；（3，1），（3，2）；（4，1）.

所以，在至少各配一劑的條件下，A，B兩種藥最多一共能配5劑.

思路與方法：本題是把最多配劑（求極大值）問題轉(zhuǎn)化為解不等式組的問題，由于所圍成的區(qū)域受不等號(hào)方向的影響，所以解題時(shí)要防止區(qū)域出錯(cuò)；另外還要注意尋求符號(hào)要求的整點(diǎn)，比較后再?zèng)Q定取舍.

4 用逆反建模法解決動(dòng)態(tài)類求證問題

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們有時(shí)會(huì)遇到一些隨著時(shí)間、地點(diǎn)、空間等不斷變化的動(dòng)態(tài)類問題[1]，從正面思考時(shí)往往感到難以入手，這時(shí)我們不妨從逆反思維的角度嘗試去解決.

例4有若干個(gè)距離彼此不等的機(jī)場(chǎng)，每一機(jī)場(chǎng)都有一架飛機(jī)起飛，飛到離它最近的機(jī)場(chǎng)降落.試證明：任一機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)不能超過5架.

證明：如圖3，假設(shè)有一機(jī)場(chǎng)O降落的飛機(jī)超過5架，不妨設(shè)為6架，它們分別來(lái)自A，B，C，D，E，F(xiàn)這6個(gè)機(jī)場(chǎng).

∵A到O的距離與A到B的距離不等，

∴OAlt;AB.

同理，OBlt;AB.

∴在△OAB中，AB為最大邊.

∴∠AOBgt;π3.

同理，∠BOC，∠COD，∠DOE，∠EOF，∠FOA均大于π3.

∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOAgt;6×π3=2π.

這與6個(gè)角之和為2π矛盾，故假設(shè)不成立.

因此，任一機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)不能超過5架.

思路與方法：本題的證明如果從正面入手顯然有困難，所以我們不妨從反面思考，假設(shè)有某一機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)超過5架，看能否通過幾何模型來(lái)導(dǎo)出矛盾.本題的證明過程并不復(fù)雜，關(guān)鍵是要通過觀察、分析、類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等方法[2]，將實(shí)際問題巧妙地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.

求極值類應(yīng)用題涉及代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何等眾多知識(shí)領(lǐng)域，且題型多樣，有一定的難度.當(dāng)然，針對(duì)不同的類型，解題的思路與方法也不同，例如本文中介紹的“運(yùn)用數(shù)列性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、解不等式組、逆反建模”等，其中最重要的是要學(xué)會(huì)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的解題思想；要了解和熟練掌握常見類型題的解法，特別是數(shù)學(xué)建模的方法.在此基礎(chǔ)上，仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，合理聯(lián)想，勤加練習(xí)，長(zhǎng)此以往，就能夠逐步接近“舉一反三”高效解題的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

[1]楊金英.求極值方法在立體幾何中的多種運(yùn)用[J].晉東南師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002（2）：81-82.

[2]杜明明.形成模式 觸類旁通——以求最值過程中極值點(diǎn)難求問題的探究課為例[J].試題與研究：教學(xué)論壇，2021（28）：91-93.