三類抽象函數(shù)常考題型例析

摘要：抽象函數(shù)由于未給出函數(shù)解析式，其性質(zhì)很難顯現(xiàn)出來，因此很多學生在解答抽象函數(shù)問題時無從下手.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)問題具有題意抽象化和思路特殊化相統(tǒng)一的辯證性特點.本文中結(jié)合具體案例介紹了抽象函數(shù)三類常見問題的一般規(guī)律和解題思路，以啟發(fā)學生思維，幫助學生理解和掌握解答對應問題的方法和技巧.

關鍵詞：抽象函數(shù)；解題技巧；構造法

1 fx+y=f（x）+fy型

求最值問題是有關抽象函數(shù)問題常見的一類題型，需要根據(jù)函數(shù)的自身基本特征求解，例如fx+y=f（x）+fy類型的抽象函數(shù)，可以先構建一次函數(shù)（f（x）=kx）進行轉(zhuǎn)化：①分析函數(shù)f（x）的原型解析式，以及該函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等；②利用fx+y=f（x）+fy等基本特征求解，通過構造不等式判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；③具體問題具體分析，結(jié)合所知條件得到所求最值.

例1對任意的x，y∈R，函數(shù)f（x）均滿足fx+y=f（x）+fy，并且當xlt;0時，有f（x）gt;0，f（1）=－3，求函數(shù)f（x）在區(qū)間－2，3上的最大值和最小值.

分析：本題是很明顯的一次函數(shù)型抽象函數(shù)問題，其中f（x）的原型是y=－3x.猜想該函數(shù)是實數(shù)集R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，要求解在區(qū)間－2，3上的最值，即分析f－2，f（3）的值.

解：根據(jù)題意，得f0=0，f－x=－f（x），f（2）=2f（1）=－6，f（3）=3f（1）=－9.

令任意x1lt;x2，則

fx1－fx2

=fx1－x2+x2－fx2

=fx1－x2+fx2－fx2

=fx1－x2.

依題意，由x1－x2lt;0，得fx1－x2gt;0.

即有fx1gt;fx2.

所以f（x）在區(qū)間－2，3上是減函數(shù).

故它的最大值為f－2=－f（2）=6，最小值為f（3）=－9.

變式1已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x均滿足fx+y=f（x）+fy，當x＞0時，f（x）＜0且f（1）=－2.現(xiàn)有命題：不等式f3x2－2f（x）＜f3x+4的解集為xx＞1，或x＜23，判斷該命題的真假.

分析：由于一次函數(shù)滿足fx+y=f（x）+fy，可假設函數(shù)f（x）=－kx，借助已知條件f（1）=－2求出具體函數(shù)解析式，判斷所得解析式是否滿足“當x＞0時，f（x）＜0”這一條件.最后將所求一次函數(shù)解析式代入命題中的不等式中，求出具體解集，即可判斷命題的真假.

解析：設函數(shù)f（x）=－kx.

由f（1）=－2，可得k=2.

即f（x）=－2x，且滿足x＞0時，f（x）＜0.

代入不等式，可得－6x2+4x＜－6x+4.

整理，得6x2－10x+4＞0.

解得x＞1，或x＜23.

故所給命題為真命題.

2 fxy=f（x）fy型

求自變量的值是抽象函數(shù)問題的另一類常見題型，也需要利用其函數(shù)基本特征求解，例如fxy=f（x）fy特征類抽象函數(shù)，可以構建冪函數(shù)型（f（x）=xn）特征函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，需要遵循以下思路：①猜想具體函數(shù)解析式，根據(jù)題設信息分析函數(shù)的具體形式，例如f（x）=x－1等；②根據(jù)猜想的函數(shù)形式判斷對應函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性解題；③利用函數(shù)基本特征解題，即將fxy=f（x）fy等基本特征與實際問題相結(jié)合進行求解.

例2已知f（x）是定義在區(qū)間0，+∞上的函數(shù)，且對任意x，ygt;0，都滿足fxy=f（x）fy，當xgt;1時，有f（x）lt;1，f（3）=19，則當fm=9時，m的值為.

分析：由題意分析得到y(tǒng)=1x2xgt;0是函數(shù)f（x）的原型函數(shù)，根據(jù)這個原型函數(shù)猜測f（x）在區(qū)間0，+∞是減函數(shù)，利用f（x）gt;0解得m=13.

解： 根據(jù)題意可知

f（x）=fx5x=f2x≥0.

由19=f（3）=f3x5x=f3x5f（x）gt;0，可得f3xgt;0.

任意取xgt;ygt;0，則有xygt;1，0＜fxylt;1.

于是f（x）=fxy5y=fxyfylt;fy.

所以f（x）在區(qū)間0，+∞是減函數(shù).

又因為f（1）=f2（1），f（x）gt;0，所以f（1）=1.

又由f（3）=19，得9f（3）=1，則fmf（3）=1.

又fmf（3）=f3m，所以f3m=1=f（1）.

因此，由f（x）在區(qū)間0，+∞是減函數(shù)，得3m=1.解得m=13.

變式2已知f（x）在0，+∞上都有f（x）＞0，且滿足fxy=f（x）fy，f（3）=27，若f－a2=－64，則求a的值.

分析：猜測滿足條件fxy=f（x）fy的函數(shù)f（x）為冪函數(shù)型，則假設f（x）=xn，利用該條件與f（3）=27推斷函數(shù)f（x）的解析式，并判斷函數(shù)的奇偶性，然后由f－a2=－64，即可得到a的值.

解析：假設函數(shù)f（x）=xn.

由f（3）=27，可得f（x）=x3.

則有f－x=－f（x）.

所以f－a2=－fafa=－64.

因此f（a）=8，故a=2.

3 fx+y=f（x）fy型

抽象函數(shù)問題常見的還包括證明不等式成立問題，利用其函數(shù)基本特征是求解的常規(guī)手段，例如形如fx+y=f（x）fy的抽象函數(shù)，可以構建指數(shù)函數(shù)型［y=axagt;0，a≠1］特征函數(shù)進行轉(zhuǎn)化：①確定函數(shù)的解析式，即由題設信息分析得到函數(shù)的具體形式，例如y=a2等；②判斷函數(shù)的單調(diào)性，即根據(jù)函數(shù)解析式和題設條件，猜測函數(shù)在對應定義域內(nèi)的單調(diào)性；③利用函數(shù)基本特征分析求解，即結(jié)合已知條件和函數(shù)的基本特征如fx+y=f（x）fy，解得所求值.

例3已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，都滿足fx+y=f（x）fy，且當xgt;0時，有0lt;f（x）lt;1.證明：當xlt;0時，f（x）gt;1.

分析：首先結(jié)合題意得到y(tǒng)=e－x是函數(shù)f（x）的原型，從而猜測f（x）是減函數(shù)，再利用指數(shù)函數(shù)的基本特征fx+y=f（x）fy分析，得到0lt;f－xlt;1，進而證明當xlt;0時，f（x）gt;1成立.

證明 ： 依題意，得f（1）=f1+0=f（1）f0.

又f（1）＞0，所以f0=1.

所以f0=fx+－x=f（x）f－x=1.

于是f（x）=1f－x.

當x＜0時，則-x＞0，0lt;f－xlt;1.

故f（x）gt;1.

綜上所述，當xlt;0時，f（x）gt;1.

變式3已知定義在R上的函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，f（x）滿足對任意實數(shù)m，n，都有fm+n=fmf（n），且當xgt;0時，0＜f（x）＜1.設A=（x，y）fx2fy2＞f（1），B=｛（x，y）｜f（ax－y+2）=1｝，若A∩B=，求證－1≤a≤1.

分析：根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性以及fm+n=fmf（n）和當xgt;0時，0＜f（x）＜1的已知條件，可以得出集合A對應的范圍；再根據(jù)條件fm+n=fmf（n）推斷f0=1，即集合B中的元素滿足ax－y+2=0；最后根據(jù)A∩B=，求出a的取值范圍，即可證明－1≤a≤1.

證明：因為當xgt;0時，0＜f（x）＜1，所以由題意得

fx2fy2=fx2+y2＞f（1）.

因為函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，所以

x2+y2＜1.

故集合A代表圓面x2+y2＜1內(nèi)點的集合.

因為f（1）=f0+1=f0f（1），且f（1）＞0，所以

f0=1.

由fax－y+2=1可得ax－y+2=0.

所以集合B代表直線ax－y+2=0上的點的集合.

因為A∩B=，所以直線ax－y+2=0與圓面x2+y2＜1無公共點.

因此，由2a2+1≥1，可證得－1≤a≤1成立.

由上述三個案例及其解題思路可以發(fā)現(xiàn)，對于有關抽象函數(shù)問題，首先需要根據(jù)題意構建對應函數(shù)類型，然后分析函數(shù)單調(diào)性，再利用對應的基本特征求解.因此一定要仔細分析題意，并熟悉各類函數(shù)的形式和性質(zhì)，確保求解方向正確.

參考文獻：

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［3］劉傳星.淺談抽象函數(shù)問題的解決策略［J］.科學咨詢（教育科研），2018（7）：63.