一題多解探思路追本溯源挖題根

摘要：本文中對2021年浙江數學高考第17題進行了多角度探索思考，一題多解的過程不僅給出了向量問題的常見方法，還培養了學生的發散思維.在此基礎上追本溯源，揭示題目的背景及本質，挖掘出同類型最值問題的題根，給出一種學生能理解并接受的解題方法，有助于學生提升解題能力，提高解題效率.

關鍵詞：一題多解；題根；偏導

數學解題不能僅滿足于一道題的答案，而應通過探索思考.去追求更優、更快捷的解題方法.“一題多解”就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道題的解答.

但同時，著名數學家陳景潤先生在談起數學解題時，曾說過“題有千變，貴在有根”［1］.以題根方式展開教學，抓住解題思維入口，才能幫助學生理解問題本質，總結歸納解題過程，以不變應萬變.筆者以2021年浙江數學高考17題為例，在一題多解的基礎上，追本溯源，挖掘此類考題的題根，給出解決問題的捷徑，以期對學生快速解題有所幫助.

1 一題多解，探析思路

（2021浙江高考，題17）已知平面向量a，b，c（c≠0），滿足a=1，b=2，a·b=0，（a-b）·c=0.記向量d在a，b方向上的投影分別為x，y，d－a在c方向上的投影為z，則x2+y2+z2的最小值為.

思路1：如圖1所示，設∠DOC=θ，｜OD｜=r，則OD2=x2+y2=r2，OF=rcos θ.由|OE|=255，得|EF|=rcos θ-255.所以

x2+y2+z2=r2+rcos θ－2552 =（1+cos2θ）r2－455rcos" θ+45≥165（1+cos2θ）-165cos2θ4（1+cos2θ）=45（1+cos2θ）≥25.

當cos θ=1，r=55時，上式等號成立.

故x2+y2+z2的最小值為25.

點評：平面向量作為代數和幾何的紐帶，由于其問題背景的深刻性以及解題思路的靈活性，已成為近幾年浙江高考填空選擇壓軸題的常青樹.平面向量解決的基本方法是在挖掘問題幾何意義的基礎上，結合數量積等基本運算，運用函數、不等式等其他知識突破難點.本題挖掘d－a在c方向上的投影為EF以及將目標變形看成r的二次函數是難點.

思路2：令a=（1，0），b=（0，2），c=（m，n），由（a-b）·c=0，得m-2n=0，即c=（2n，n）.因為d在a，b方向上的投影分別為x，y，故d=（x，y）.又d－a在c方向上的投影為z，則z=（d－a）·cc→=2x+y－25，化簡得2x+y－5z=2.所以

x2+y2+z2=x2+y2+（2x+y－2）52

=156y2-（4-4x）y+9x2-8x+4

≥15×24（9x2-8x+4）－（4-4x）224

=5x2-4x+23≥25，

當x=25，y=1-x3=15，z=2x+y－25=－55時，上式等號成立.

故x2+y2+z2的最小值為25.

點評：平面向量坐標化（正交分解）是解決此類問題的常見方法，如果說思路1側重關注向量的幾何特征，那么思路2就是側重向量的代數特性.正如利用空間直角坐標系解決立體幾何解答題一樣，坐標法解決平面向量壓軸題能大大降低思維難度.本題中將條件轉化為2x+y－5z=2非常關鍵.

思路3：同思路2，得2x+y－5z=2.令m=（2，1，-5），n=（x，y，z），利用向量的數量積不等式mn≥m·n，代入即得22+12+（-5）2）·（x2+y2+z2）≥（2x+y-5z）2=4.當x2=y1=z－5，即x=25，y=15，z=－55時，x2+y2+z2取最小值25.

點評：根據思路2，已將問題轉化為在條件2x+y－5z=2下探求x2+y2+z2的最小值問題，但后續設置不同的主元兩次求解二次函數的最值［2］，不僅運算顯得繁瑣，而且思維上也不是特別自然.思路3利用向量的數量積不等式mn≥m·n，其本質就是高等數學的柯西不等式，運算變得非常簡潔，但對學生的知識儲備和思維要求比較高，常見于各級各類高中數學競賽題.

思路4：同思路2，得2x+y－5z=2.如圖2所示，在空間直角坐標系中，由幾何意義知x2+y2+z2的最小值即為原點O到平面ABC距離的平方.利用體積法，得13×1×2×255=13×SΔABC×hO－ABC=13×22×hO-ABC.

所以hO-ABC=105.

故x2+y2+z2的最小值為25.

點評：思路4揭示了轉換后問題的幾何意義，將代數下的條件和目標轉化為平面方程和空間距離，使得問題更直觀［3］.最后類比初中三角形中用面積法求高的方法，利用體積相等求得結果，也不難被一般的高中生接受.

思路5：同思路2，得2x+y－5z=2.令f（x，y，λ）=（x2+y2+z2）+λ（2x+y－5z－2），利用偏導求極值，即分別關于x，y，z求偏導，得到方程組

f′x=2x+2λ=0，

f′y=2y+λ=0，

f′z=2z－5λ=0，

2x+y－5z=2.

消元化簡，得x=2y=－255z，

2x+y－5z=2.

當x=25，y=15，z=－55時，x2+y2+z2取最小值25.

點評：利用偏導求極值（最值）的方法，有較深的高等數學背景，大學教材中稱之為“拉格朗日乘數法”.此方法在解決條件極值時，在本質上觀點“高屋建瓴”，在范圍上“普遍適用”，在過程上計算“可程序化”.面對技巧性較高的題，讀者不妨用此法一試，往往會有“柳暗花明又一村”之感.

2 追本溯源，挖掘題根

綜上解法，對于學生而言，利用坐標化的思想，得出2x+y－5z=2問題不大，關鍵是在此條件下如何求x2+y2+z2的最小值.為此，思路2到思路5各顯神通，但聚焦問題的本質，本題的題根就是多元變量在壓縮條件下，求相關多變量函數的最值問題.追本溯源，發現思路5利用偏導求極值才是解決此類問題的根本方法，學有余力的學生可以在導數學習的基礎上掌握并用此方法解決問題，以不變應萬變.

為便于理解，以二元變量為例，具體介紹拉格朗日乘數法涵義的初等理解和解題過程.

問題在約束條件h（x，y）=0下，求z=g（x，y）的最值.

（1）函數f（x，y，λ）=g（x，y）+λh（x，y）的涵義解釋.由約束條件h（x，y）=0，可知f（x，y，λ）=g（x，y）+λh（x，y）=g（x，y）與線性規劃類似，不妨稱之為目標函數，其中λ可以理解為目標z=g（x，y）在約束條件h（x，y）=0下可自由伸縮的空間，不妨稱之為調節系數.問題就轉化為：通過不斷調節λ，使得f（x，y，λ）=g（x，y）=z取到極（最）值.

（2）關于“偏導”，可以這么理解：對于目標函數f（x，y，λ）=g（x，y）+λh（x，y），問題在幾何上就是求空間坐標系中曲面的最高（低）點相應的函數值，如圖3所示.求目標函數關于x，y的最值，可以分步實施，先將y看成常數，求關于x的極值，再將x看成常數，求關于y的極值.某種意義上，可以理解為將曲面分別向xOz，yOz坐標平面作正投影，曲面最高（低）點對應投影曲線上的最高（低）點，此處取得極值，因而兩個偏導都應該等于零.

（3）解題過程：在關于x的求導過程中，需要將y，λ看成常數；同樣，在關于y求導時，將x，λ看成常數，從而得到方程組f′x=0，

f′y=0，

h（x，y）=0，進而求得最優解和相應最值.拉格朗日乘數法的最大優點是具有“普遍適用性”，它不僅操作可程序化，而且還可以推廣到多元、多個約束條件下的最值問題，但其最大困難在于求解方程組，有時消元求解過程比較復雜.

3 舉一反三，速解考題

例1（2019上海高考，題7）若x，y＞0，且1x+2y=3，則yx的最大值為.

解析：令f（x，y，λ）=yx+λ1x+2y－3，分別關于x，y求偏導得到方程組

f′x=－yx2+λ-1x2=0，

f′y=1x+2λ=0，

1x+2y=3.

消元，可得x=23，

y=34，經檢驗，此時yx取最大值98.

例2（2020天津高考，題14）已知設agt;0，bgt;0，ab=1，則12a+12b+8a+b的最小值為.

解析：令f（a，b，λ）=12a+12b+8a+b+λ（ab-1），分別關于a，b求偏導得到方程組

f′a=－12a2－8（a+b）2+λb=0，

f′b=－12b2－8（a+b）2+λa=0，

ab=1.

當a=2-3，

b=2+3或a=2+3，

b=2-3 時，12a+12b+8a+b取最小值4.

例3（2020江蘇高考，題12）已知x，y∈R，5x2y2+y4=1，則x2+y2的最小值是.

解析：令f（x，y，λ）=x2+y2+λ（5x2y2+y4－1），分別關于x，y求偏導得到方程組

f′x=2x+10λy2x=0，

f′y=2y+10λx2y+4λy3=0

5x2y2+y4=1.，

消元解得x=0，

y=±1或x2=310，

y2=12.

經檢驗，當x2=310，

y2=12時，x2+y2取最小值45.

例4（2021浙江五校聯考）已知實數x，y，z滿足xy+2z=2，

4x2+y2+z2=8，則xyz的最小值為.

解析：令f（x，y，z，λ，μ）=xyz+λ（xy+2z－2）+μ（4x2+y2+z2－8），分別關于x，y，z求偏導得到方程組

f′x=yz+λy+8μx=0，

f′y=xz+λx+2μy=0，

f′z=xy+2λ+2μz=0，

xy+2z=2，

4x2+y2+z2=8.

經消元檢驗，可知

當xy=10-82，

z=4（2-1）時，xyz取最小值722－104.

例5 （2021鎮海中學模擬）若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab，則a2＋b2的最小值為.

解析：令f（a，b，λ）=a2+b2+λ（1a+1b－ab），分別關于a，b求偏導得到方程組

f′a=2a+λ－1a2－b2a=0，

f′b=2b+λ－1b2－a2b=0，

1a+1b=ab.

經消元檢驗，當a=2，

b=2時，a2＋b2取最小值4.

參考文獻：

[1]張于波.雙變量換元求最值問題例解[J].中學數學雜志，2018（5）：48-49.

[2]顧向忠.消盡鉛華見真顏——多變量最值問題[J].上海中學數學，2019（12）：17-19.

[3]洪兵.芻議二元變量最值問題的求解策略[J].中學數學月刊，2019（12）：59-60.