基于創新思維培養的高考數學微專題設計

摘要：本文中微專題的設計，以課本上的習題為素材，以解三角形為載體，旨在給學生提供一般取值范圍及最值問題解決的思路，同時復習鞏固解三角形、三角函數及基本不等式等基礎知識.教學過程以變式的呈現方式、以梯度遞進的問題引導，為綜合性問題的解決創設了條件，符合學生的認知水平，為學生創新思維的培養和深度學習搭建了平臺.

關鍵詞：創新思維；解三角形；取值范圍

1 高考動向分析

解三角形問題可以較好地考查三角函數的誘導公式、三角恒等變換、三角形邊角轉化、正余弦定理等知識點，是三角函數、解析幾何和不等式知識的交匯點，在高考試卷中大題基本上隔年出現，小題則是年年必考.全國卷及新高考卷在2020年、2021年均有考查，處理解三角形中的最值問題主要有兩種方案，一是建立目標函數后利用基本不等式解決，二是建立目標函數后利用三角函數的有界性解決.

2 教學目標設置

（1）在熟悉的情境（素材1、素材2）中，通過問題引入，逐步提煉出從數（構建不等式、函數、方程等模型）和形（尋找特殊位置、臨界位置）兩個角度解決取值范圍問題的一般方法，培養學生的解題能力，發展數學抽象、直觀想象、數學建模等素養；

（2）在較復雜的情境（合作探究）中，通過變式延伸、對比分析，逐步提煉出求最值的一般思路：建立模型→二元函數（基本不等式）→化歸轉化→一元函數（單調性）→問題解決，提升學生的邏輯思維能力，發展邏輯推理素養;

（3）在具體情境中熟練運用正弦定理、余弦定理、面積公式等建立模型，通過三角恒等變換、三角函數的有界性、基本不等式等求解模型，提升學生的運算求解能力，發展數學運算素養.

3 教學重難點

重點：在具體情境中會從數的角度，通過構造不等式、方程、函數解決取值范圍問題；在具體情境中會從形的角度，通過圖象的特殊位置、臨界位置探尋最值問題所表達的圖形語言.

難點：如何更好地從學生角度分析解決問題.

4 教學過程

4.1 自主學習，尋找創新思維素材

素材1（北師大版必修五第52頁A組第5題）已知銳角三角形的邊長分別為1，2，m，則實數m的取值范圍為 .

師：大家對這道課本上的題都很熟悉吧！請同學們分享一下你是如何探尋實數m的取值范圍的.（舉手同學有4人）

生1：由兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可得實數m的取值范圍為1lt;mlt;3.

師：好，該同學很快就找到了限制m的不等式.

生2：不對，他沒考慮銳角，這是銳角三角形！

師：這位同學讀題非常仔細，給你點贊，那你補充一下！

生2：因為是銳角三角形，所以每個角的余弦值都大于零，可由余弦定理得到限制實數m的不等式.不妨設A，B，C的對邊分別為1，2，m，則由余弦定理得

cos A=m2+22－14mgt;0，

cos B=m2+1－222mgt;0，

cos C=22+1－m24gt;0.

生3：還可以改進，只需要最大角是銳角就可以了.由于大邊對大角，因此只需要后面兩個式子，即cos B=m2+1－222mgt;0，cos C=22+1－m24gt;0，從而可得3lt;m2lt;5，即3lt;mlt;5.

師：非常棒！如果我們觀察第一個式子，它是恒成立的！理論實踐相統一，簡潔就是數學美！

師：這三位同學做得非常好！他們從數的角度利用余弦定理構造了關于限制實數m的不等式，還有其他思路嗎？

生4：可以從形的角度考慮，B或C最大是直角，因此當B，C分別為直角時，m的值分別為3，5，所以3lt;mlt;5.

師：厲害！從形的角度考慮問題所表達的特殊圖形，利用數的最值就是形的特殊位置的思想巧妙地化解了問題，四兩撥千金，數形結合真精妙！

設計意圖：用學生熟悉的情境，激發學生創新思維意識，引導學生從“數”和“形”兩個角度思考取值范圍問題，初步感知到從數的角度就是構造不等式，從形的角度就是尋找特殊圖形.同時復習鞏固“已知三角形三邊，首選余弦定理”以及銳角三角形的限制條件，強化雙基.

素材2（北師大版必修五第52頁B組第1題）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有兩個解，則x的取值范圍為 （）.

A.2，+∞" B.（0，2）

C.（2，22）D.（2，2）

師：此題我們又該如何從“數”和“形”兩個角度分析呢？請同學們先認真思考，同桌之間可以交流，3分鐘后分享.

生5：我們兩個（同桌交流）的思路是利用正弦定理，通過建立函數來解決.

學生投影：由正弦定理，得xsin A=2sin45°，即 x=22sin A，此時由于0lt;Alt;135°，故0lt;sin Alt;1，所以 0lt;xlt;22.沒有選項，不知道錯在哪里！

生6：A的取值范圍錯了.因為△ABC有兩個解，所以A必須大于45°；否則由小邊對小角可知A只有一個值，那么△ABC有且只有一個解.因此22lt;sin Alt;1.所以選C.

師：同學們今天表現都非常棒，相互幫助共同進步.誰還有其他想法？

生7：還可以用余弦定理，通過建立方程，差不多也能解決，但是答案好像不對.

師：差不多！不確定！好像還是蠻有思路的，展示給大家，我們一起分析，共同解決.

生7投影了解答過程：由余弦定理，得4=x2+c2－2cx，整理得c2－2x·c+x2－4=0.這個式子可以看成是關于邊c的一元二次方程.

由Δ=2x2－4x2+16gt;0，得 x2lt;8，從而可得－22lt;xlt;22.

師：同桌能分析一下這樣解的原因嗎？（大多數同學很懵）

生8：因為三角形有兩個解，所以關于邊c的方程c2－2x·c+x2－4=0一定有兩個解.就是此答案在選項里沒有.（此時全班掌聲響起，兩位同學很自豪，但掌聲之后非常“靜”.）

生9：我明白了，只要再加一個限制條件就可以了.因為關于邊c的方程c2－2x·c+x2－4=0更準確的描述是“一定有兩個正解”，所以c1＼5c2=x2－4gt;0，即4lt;x2lt;8.故選C. （教室里再次響起了掌聲）

師：至此，我們看到了這個取值范圍問題可以直接建立不等式來解決，也可以通過構建函數模型，轉化為求函數值域的問題，還可以通過建立方程模型，轉化為研究方程解的問題.

生10：數形結合法也能解決.構造兩個等腰直角三角形.一個是以a為直角邊的等腰直角三角形，由b=2，得a=2；另一個是以a為斜邊的等腰直角三角形，因為b=2.所以a=22.所以2lt;alt;22.

師：非常棒！從圖形的角度解讀取值范圍問題，形象直觀.

設計意圖：本素材的探究，詮釋了從“數”的角度解決取值范圍問題時可以直接建立不等式來解決，也可以通過構建函數模，轉化為求值域問題，還可以通過建立方程模型轉化為研究方程解的問題；從“形”的角度通過特殊圖形、特殊位置解決取值范圍（最值）問題.如果上升到解決取值范圍問題的方法論角度，本素材只不過是以解三角形為背景，如果換作其他知識模塊，解決取值范圍問題的思路、思想方法都是不變的.

4.2 合作探究，培養創新思維品質

延伸已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=π3，a=3 ，試求三角形△ABC面積的最大值.

師：請同學們分小組研究討論，注意提煉解決二元變量取值范圍問題的常規思路.抽小組進行展示，講解.

展示1：由三角形的面積公式S=12bcsin A，得

S=12bcsinπ3=34bc.

由正弦定理，得

asin A=3sinπ3=bsin B=csin C.

所以b=2sin B，c=2sin C， 且C=2π3－B.

所以 S=34bc

=3sin Bsin2π3－B

=32sin2B-π6+34.

又由0lt;Blt;2π3，得

－12lt;sin（2B－π6）≤1.

所以0lt;S≤334.

展示2：利用余弦定理 a2=b2+c2－2bccos A，得

3=b2+c2－bc.

由基本不等式bc≤b+c2，得3≥2bc－bc=bc ，即bc≤3，當且僅當b=c時，等號成立.

所以S=12bcsinπ3=34bc≤334.

另一方面，由三角形的面積恒大于零，得

0lt;S≤334.

設計意圖：通過延伸讓學生再次體會“邊化角”“角化邊”解三角形問題的常規思路，化成邊可以利用基本不等式解決最值，如果化成角可以利用三角函數的圖象、性質解決最值問題，拓展學生思維，鞏固基本不等式、三角恒等變換、三角函數等相關知識.

變式1條件不變，試求三角形△ABC周長的取值范圍.

分析：本題由基本不等式只能求出一邊范圍，容易忽略構成三角形的條件，即兩邊之和大于第三邊.

展示3：由正弦定理，得

asin A=3sinπ3=bsin B=csin C.

所以b=2sin B，c=2sin C，且C=2π3－B.

故b+c=2sin B+2sin C=23sinB+π6.

由0＜B＜2π3易得3lt;b+c≤23.

展示4：利用余弦定理，得3=b2+c2－bc.

整理，得3=（b+c）2－3bc.

由基本不等式，得3≥14（b+c）2.

所以b+c≤23.

另一方面，由三角形的兩邊之和大于第三邊，得

b+cgt;3.

綜上，3lt;b+c≤23.

設計意圖：通過變式讓學生繼續感受當問題變為“邊”的問題時如何解決，引導學生利用化歸思想轉化為角的問題；另一方面，引導學生結合題目特點，利用余弦定理、重要不等式求解，同時也可以“邊化角”直接利用延伸題的思路解決.

變式2條件不變，試求sin B+sin C的取值范圍.

展示5：由C=2π3－B，得

sin B+sin C=sin B+sin2π3－B

=3sinB+π6.

由0lt;Blt;2π3，得12lt;sin（B+π6）≤1.

故32lt;sin B+sin C≤3.

展示6：由正弦定理，得

asin A=3sinπ3=bsin B=csin C.

于是sin B=b2，sin C=c2.

所以sin B+sin C=12（b+c）.

由變式1，得3lt;b+c≤23.

所以32lt;sin B+sin C≤3.

設計意圖：在具體情境中，培養學生的創新思維、發散思維，提升學生對問題的轉化能力.

4.3 反思悟道，固化創新思維元素

（1）范圍問題解答思路

思路1：數的角度——構造不等式、函數、方程.

思路2：形的角度——尋找特殊位置、特殊圖形.

（2）最值問題求解策略

思路1：建立函數——利用單調性、有界性.

思路2：基本不等式——尋找等量關系.

（3）解三角形知識體系

基本理論——內角和、三角形分類、面積公式等.

定理——正弦定理、余弦定理.

設計意圖：通過歸納總結，提煉思想方法，明晰知識技能，構建知識思維導圖，為學生后續的深度學習提供可能素材.

4.4 目標檢測，發展創新思維元素

（1）（基礎過關）在△ABC中，AC=2，BC=22，則B的取值范圍是．

（2）（基礎過關）（2020年浙江卷）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2bsin A－3a=0.（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）求cos A+cos B+cos C的取值范圍．

設計意圖：立足課堂教學，鞏固“四基”“四能”，讓所有學生都能體會到課堂上所學知識對自己做題有很大幫助；同時也看到了新高考在解三角形這一模塊的命題思路，為其他模塊的學習提供思路和方法.

（3）（考能提升）（2019年高考全國卷Ⅲ理18題）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asinA+C2=bsin A．

①求B；②若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．

設計意圖：為學有余力的學生搭建再發展的平臺，進一步理解取值范圍問題解答的通性通法，為廣義取值范圍問題的解答提供思考空間，真正落實高考復習備考的主導思想.基礎知識是明線——通過復習檢驗知識點有沒有完全掌握；思想方法是主線——能不能站在思想方法的高度認識問題；核心素養是暗線——問自己核心素養有沒有得到質的提升.

參考答案：（1）0lt;B≤π6.

（2）π3;3+12，32.

（3）B=π3;38，32.

5 教學評價

5.1 設計注重思維培養，促進學生深度學習

本節課設計立足學生實際，取材課本、真題，依據課標、高考評價體系，注重學生創新思維的培養，滲透了學科核心素養.在整節課的設計中，運用了自主學習、合作探究、反思悟道、目標檢測四個學習環節，引導學主動參與學習，幫助學生在掌握四基、提升四能的基礎上，學會學習數學.

5.2 數學情境設置成功，創新思維培養到位

通過學生熟悉的情境，立足基礎，從引例出發，通過一個個變式，為后面的合作探究提供了活動經驗，激發了學生的學習興趣，讓學生看到高三復習就要立足基礎，注重思維，注重思想方法.

5.3 知識之間跨度較大，思維容量要求較高

本節課所涉及的知識內容較多，從解三角形、三角函數再到基本不等式，有計算，有畫圖等，再加之是公開示范課，課堂節奏較快，基礎薄弱的學生某些環節做得不到位.因此，教學中容量要適當小一點，思維深處要放慢一點，讓更多的學生體會數學的產生、發展、變化過程.