高考數學對球體考查的新動向

摘要：高考數學學科中以球體為背景的試題常涉及錐體、柱體、臺體的內切、外接問題，關于球體體積和表面積的考查常以選擇、填空題的形式出現.本文中結合2022年高考試題，例析并歸納與球體有關的交匯知識，呈現高考命題的新特點與新方向.

關鍵詞：高考；球體；知識交匯

2022年高考數學學科的命題在踐行立德樹人為根本教育任務的同時，新情境、數學文化、知識交匯等成為一道亮麗的風景線.高考試題情境緊密聯系生活實際，突出數學文化的引領作用，不同模塊的知識交匯成為新的命題動向.

以往高考中與球體有關的考查，主要以確定球心位置和球半徑為背景，以球體的體積和表面積計算為主要考查內容，涉及柱體、椎體的切、接問題，考查方式以選擇、填空題為主.隨著新高考的改革，球體與臺體的切、接問題已成為基礎考點，在考查球體基礎知識的基礎上，又出現了結合學科內在聯系和知識的綜合性，側重于知識交匯的命題設計[1].既對球體基礎知識的考查達到必要的深度，又把不同模塊的數學知識交匯融合，通過數學知識的類比、聯想、遷移和應用，體現對數學知識整體性的綜合理解與靈活應用.

1 球體與集合的交匯

例1（2022·北京卷·9）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內部的點構成的集合.設集合T=Q∈SPQ≤5，則T表示的區域的面積為（）.

A.3π4B.πC.2πD.3π

分析：本題考查以P為球心，5為半徑的球被底面ABC所截，求得截面圓的半徑后再求區域的面積.

解：如圖1，設頂點P在底面上的投影為點O.連接BO，則O為三角形ABC的中心，BO=23×6×32=23，故PO=36－12=26.因為PQ=5，所以OQ=1.故Q的軌跡為以O為圓心，1為半徑的圓面.而△ABC的內切圓圓心為O，半徑為2×34×363×6=3gt;1，故Q的軌跡圓面在三角形ABC內部，故其面積為π.

故選：B.

2 球體與不等式的交匯

例2（2022·全國乙卷·文12理9）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當四棱錐的體積最大時，其高為（）.

A.13B.12C.33D.22

分析：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為2r2，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理求四棱錐體積的最大值.“若a1，a2，……，an均為正數，則a1+a2+……+ann≥na1a2……an，當且僅當a1=a2=……=an（n≥2，n∈N）時等號成立.”求“積”的最值，湊“和”為定值，因此首先配變量的次數相同，把變量放到根號內使次數升高，再配“和”為定值，且取到等號，從而得到該四棱錐的體積最大時高的值.

解：設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，且四邊形ABCD的對角線夾角為α，則四邊形ABCD的面積SABCD=12AC·BDsin α≤12AC·BD=2r2，當α=π2時SABCD=2r2，即當四棱錐的頂點O到底面所在圓的距離一定時，亦即底面四邊形ABCD為正方形時有最大面積（SABCD）max=2r2.又球的半徑、正方形ABCD所在圓的半徑r與四棱錐的高h滿足r2+h2=1，由此可得VO-ABCD=13Sh=13×2r2h=23r2·r2·2h2≤23r2+r2+2h233=4327，當且僅當r2=2h2，即h=33時，等號成立.

故選：C.

3 球體與旋轉體的結合

例3（2020·新課標Ⅲ·文16理15）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為.

分析：將原問題轉化為求圓錐內切球體積的問題，結合軸截面為三角形，利用解三角形知識確定球的半徑即可.設圓錐的底面圓半徑為R，軸截面等腰三角形的周長為C，高為h，則內切球半徑r滿足Rh=12rC，即r=2RhC.

解：易知半徑最大的球為圓錐的內切球，球與圓錐內切時的軸截面如圖2所示，其中BC=2，AB=AC=3，且M為BC邊上的中點.設內切圓的圓心為O，半徑為r.由于AM=22，則S△ABC=12×2×22=22.由S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12（AB+BC+AC）r=22，可得r=22.

所以，內切球的體積V=43πr3=23π.

故答案為：23π.

4 球體與多面體的結合

例4（2022·新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱臺的高為1，上下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）.

A.100πB.128π

C.144πD.192π

分析：本題考查球的表面積計算公式.根據題意可以利用正三角形性質求出正三棱臺上下底面外接圓的的半徑，根據球心距、底面外接圓的半徑以及球的半徑之間的關系建立等式，可以求出正三棱臺外接球的半徑，從而求得球的表面積.

解：設正三棱臺外接球的半徑為R，上下底面所在圓的的半徑分別為r1，r2.根據正三角形外接圓半徑計算公式，可得r1=23×32×33=3，r2=23×32×43=4.設球心到棱臺上下底面的距離分別為d1，d2，則d1=R2－9，d2=R2－16.因為球心位置不確定，所以有兩種情況.①球心在上下圓心連線內部，則d1+d2=1；②球心在上下圓心連線延長線上，則d1－d2=1.由此解得R=5，所以球的表面積為S=4πR2=100π.

故選：A.

高中數學課程知識以單元或模塊的形式呈現，兩個（或多個）知識為什么會產生交匯，關鍵是要理解數學的本質，突破知識界限，活躍思維方式，感受數學是一個整體.

那么引起知識交匯的原因又有哪些呢？筆者從以下幾個方面進行分析.

①數學文化的滲透，可以從不同的角度拓展學生對數學知識的認識，開闊學生思維，促使學生去創新，去思考，弘揚數學人文精神，繼承傳統.因此，數學文化成為多個數學知識交匯融合的一種載體.

②核心知識如集合、函數、不等式等在各自的發展過程中相互聯系，始終是貫穿高中數學知識的主線，揭示了知識與知識之間的內在聯系，這種聯系能使我們運用不同的數學知識解決同一個問題.因此，核心知識的應用是眾多知識交匯的焦點.

③思維導圖，可讓各模塊之間的聯系更加緊密，焦點集中，層次分明，節點相連，把零散的知識有機整合，形成系統.因此，思維導圖為眾多知識交匯牽線搭橋.

④思維方式的不同，解題時捕捉到的題目信息與大腦中原有的信息有效結合方式不同，所產生的的解題思想就不同.把握數學解題中的通性通法，科學有效地構建解題思維鏈，數學思維方法的應用是眾多知識交匯的核心.

總之，2022年高考數學對球體知識的考查多以球體為背景，創設命題情境，突破知識界限，更巧妙、更新穎地交匯命題，是2022年高考數學命題的一個新動向.一線數學教師在教學中應予以重視.

參考文獻：

[1]虞關壽.引起數學知識交匯的幾個“關鍵詞”[J].中學數學，2007（2）：16-18.