復合函數巧求導 精設結構妙成章

摘要：高中數學中，對二次曲線切線方程的考查熱度有所提升，經常遇到求切線的問題，一般采用解方程組法，運算量大，過程繁瑣，為了解決這個問題，特此找到了與求圓的切線方程的統一方法.本文中通過梳理解決求二次曲線切線及切點弦方程的問題，由淺入深，通過原創性方法引導學生經歷問題的發現、證明和應用過程，以期能夠進一步提高學生的解題能力以及培養學生的數學學科核心素養.

關鍵詞：切線；切點弦；原創性

1 預備知識

設點Px0，y0在直線Ax+By+C=0上，則有Ax0+By0+C=0.將C=－Ax0－By0代入直線方程，得Ax+By－Ax0－By0=0，即Ax－x0+By－y0=0.這個式子的幾何意義為n→·m→=0，其中n→=A，B，m→為直線l的一個方向向量x－x0，y－y0.

如圖1，m→=PM，n→=A，B，n→為直線l的法向量.

2 關于圓的切線方程

（1）過圓上一點的切線方程

已知圓C方程為x－a2+y－b2=r2，若Px0，y0在圓上，則過點P的切線方程為x0－ax－a+y0－by－b=r2；若Px0，y0在圓外，過P作圓的兩條切線PA，PB，則切點弦AB所在直線的方程為x0－ax－a+y0－by－b=r2.

如圖2，Px0，y0為圓C上一點，過點P的切線為l，則CP⊥l.

故CP=x0－a，y0－b為直線l的法向量.

設直線l：x0－ax－a+y0－by－b+c=0，又l過點Px0，y0，且點Px0，y0在圓C上，則x0－a2+y0－b2+c=0，所以c=－r2.

故過圓上一點P（x0，y0）的切線l的方程為x0－ax－a+y0－by－b=r2.

（2）過圓外一點的切點弦方程

如圖3，Px0，y0為圓C外一點，過點P作圓C的兩條切線PA，PB，其中Ax1，y1，Bx2，y2，可知直線PA，PB的方程分別為

x1－ax－a+（y1－b）（y－b）=r2；

（x2－a）（x－a）+y2－by－b=r2.

又因為點Px0，y0在直線PA，PB上，所以，

x1－ax－a+y1－by－b=r2，

x2－ax－a+y2－by－b=r2.

由此可知點A，B均在直線x－ax0－a+y－by0－b=r2上.

所以切點弦AB所在直線的方程為

x－ax0－a+y－by0－b=r2.

特別地，當圓心在原點，圓C的方程為x2+y2=r2時，有以下兩個結論：

①若點Px0，y0在圓C上時，則過Px0，y0的切線方程為xx0+yy0=r2；

②若點Px0，y0在圓C外時，過P可作兩條切線PA，PB，則切點弦AB所在直線的方程為xx0+yy0=r2.

3 關于橢圓的切線及切點弦所在直線方程

（1）過橢圓上一點的切線方程

受過圓上一點切線方程推導的啟發，可以先通過求導求切線的斜率，進而得到切線的法向量，切線方程設出精巧結構，便于后面代點.

設P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上不在坐標軸上的任意一點，由已知得y2b2=1－x2a2，兩邊求導得2yb2·y′=－2xa2.

所以y′x=x0=－b2x0a2y0.

故直線的法向量可取為（x0a2，y0b2），可設切線方程為xx0a2+yy0b2=m，其中m待定.

由點（x0，y0）在切線上，可得m=1.

因此，過橢圓上一點P（x0，y0）的切線方程為

xx0a2+yy0b2=1 .

如果點P（x0，y0）在坐標軸上，很容易檢驗符合上式.

（2）過橢圓外一點的切點弦方程

設P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）外一點，則與點P相應的切點弦所在直線方程仿圓的切點弦方程一樣可以證得為xx0a2+yy0b2=1 .

4 關于雙曲線的切線及切點弦所在直線方程

已知P（x0，y0） 為雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）上（外）一點，同理可得過P點的切線（或相應的切點弦所在直線）方程為xx0a2－yy0b2=1.

5 關于拋物線的切線及切點弦所在直線方程

設P（x0，y0）為拋物線y2=2px（pgt;0）上異于頂點的任一點，兩邊求導得2y·y′=2p，則y′|x=x0=py0.

所以可取切線的法向量為（p，－y0），切線方程可設為px－y0y+c=0.

又P（x0，y0）既在拋物線上又在切線上，所以有y20=2px0，

px0－y20+c=0，故c=px0.

所以，過拋物線上一點P（x0，y0）的切線方程為

y0y=p（x+x0）.

若P為頂點（0，0），切線符合上式.同理可以推證拋物線切點弦所在直線方程為y0y=p（x+x0） .

從上面的推導過程可得，若點在二次曲線上只要將x2，y2，x，y，（x－a）2，（y－b）2換成相應的xx0，yy0，x+x02，y+y02，（x－a）（x0－a），（y－b）（y0－b），即可得到相應的切線或切點弦所在直線方程.

例1過點P（1，-2）作圓C：x2+y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（）.

A．x+2y-1＝0B．y=－12

C．y=－32D．x-2y-1＝0

解析：切點弦AB所在直線的方程為 x·1+y·（－2）=1，即x-2y-1=0.故選：D.

變式（2021秋5開福區校級月考）已知圓x2+y2＝25，則過圓上一點A（3，4）的切線方程為（）.

A．3x+4y-25＝0B．4x+3y-24＝0

C．3x-4y+7＝0D．4x-3y＝0

解析： 切線方程為x·3+y·4=25，即3x+4y-25=0.故選：A.

例2（2019年全國卷Ⅲ）已知曲線C：y=x22，D為直線y=－12上的動點， 過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點；

（2）若以E0，52為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.

解：（1）設Dt，－12，則切點弦AB所在直線的方程為y－122=xt2，即2tx-2y+1=0.

所以直線AB過定點0，12.

第（2）問略.

以二次曲線為背景，通過深入研究切線及切點弦問題[1]，培養學生發現問題、提出問題、解決問題的能力.根據上述幾點結論，讓學生感受切線及切點弦問題[2]的豐富內涵以及突破高中數學中切線及切點弦問題的多種途徑.

參考文獻：

[1]劉佐． 二次曲線的切點弦的性質［J］．考試周刊，2013（25）：58-59.

[2]張潤澤． 橢圓、雙曲線切點弦的幾個性質及其應用［J］． 福建中學數學，2019（10）：4-6.