立體幾何中二面角問題的解法例析

摘要：立體幾何是高中數學學習的重難點，對學生的抽象思維有一定的要求，綜合性較強，其中求解二面角的問題是最常考查的問題之一.此類型問題主要考查學生對二面角定義的掌握程度和二面角大小的計算.求解二面角問題的方法主要有向量法、定義法、垂面法等，本文中結合例題介紹了三種求解二面角問題的常規方法，為提高學生解題能力提供助力.

關鍵詞：立體幾何；二面角；平面角；解法

1 向量法

向量法，是指將待求的兩個平面放入直角坐標系中，通過向量的知識（例如向量的夾角公式等）進行求解的方法，是求解二面角問題最有效的方法之一.利用向量法求解，避免了添加輔助線作二面角的平面角的麻煩，有效降低題目難度.利用向量法解題的主要步驟：①根據題設找出三條相互垂直的直線建立空間直角坐標系，這是正確求解的關鍵之一；②將待求的兩個平面上的點的坐標及每個面的法向量表示出來；③計算向量的坐標，并利用向量的夾角公式計算，最后還需注意判斷二面角的平面角和兩個法向量的夾角之間的關系，結合實際圖形判斷所求角是鈍角還是銳角［1］.

例1直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，已知AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，BC，BB1，A1D的中點分別是E，M，N，求二面角A-MA1-N的正弦值.

分析：本題的直四棱柱中只能找到兩條相互垂直的直線，所以連接DE，此時DE⊥AD，DE⊥DD1，建系，如圖1，然后分別找出平面AMA1的法向量n=3，1，0和平面DMA1的法向量m=2，0，－1，最后利用sin2α+cos2α=1計算即可.

解析：以點D為原點，以DA，DE，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖1所示的空間直角坐標系，故D0，0，0，A2，0，0，A12，0，4，M（1，3，2）.則A1A=0，0，－4，A1M=－1，3，－2，A1D=（－2，0，－4）.

設平面AMA1的法向量為n=x1，y1，z1.

由n5A1A=0，

n5A1M=0，得－4z1=0，

－x1+3y1－2z1=0.

令x1=3，解得n=（3，1，0）.

設平面DMA1的法向量為m=（x2，y2，z2）.

由m5A1D=0，

m5A1M=0，得－2x2－4z2=0，

－x2+3y2－2z2=0.

令x2=2，解得m=2，0，－1.

因此，cos〈n，m〉=n5mn5m=155.

綜上所述，二面角A-MA1-N的正弦值為sin〈n，m〉=1－1552=105.

拓展：如圖2所示，△BCD與△MCD都是邊長等于2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=23.

（1）求直線AM與平面BCD所成的角的大小；

（2）求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值.

參考答案：（1）45°；（2）255.

2 定義法

定義法是指利用二面角的定義進行求解的一種方法.從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形就叫做二面角.一般利用二面角的平面角度量二角面，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度（平面角的取值范圍是0°≤θ≤180°）.二面角的定義也是求解二面角問題的有效手段，關鍵在于正確找出二面角的平面角.利用定義法解題的主要步驟：①根據題意作輔助線，準確找出二面角的平面角；②根據題設條件證明上述角是二面角的平面角；③根據題意利用余弦定理等公式計算求解.簡要概括為“一作、二證、三計算”.

例2在四面體ABCD中，AC=AB=1，CD=BD=2，AD=2.5，BC=1.5，求二面角A-BC-D的余弦值.

分析：如圖3所示，設E為BC的中點.選擇輔助線AE，DE，然后利用二面角的定義確定角A-BC-D的平面角為∠AED，再分別計算線段AE，DE的長度，利用余弦定理進行求解.

解析：設線段BC的中點是E，連接AE，DE.

由AC=AB=1，CD=BD=2，可得

AE⊥BC，DE⊥BC.

所以∠AED是二面角A-BC-D的平面角.

由題意可得AE=74，DE=554.

所以，由余弦定理可得cos∠AED=AE2+DE2－AD22AE5DE=742+5542－2.522×74×554=－19385385.

所以，二面角A-BC-D的余弦值為－19385385.

拓展：如圖4，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小.

提示：如圖5所示，作HB⊥PC連HD.可證，△PBC與△PDC全等，則∠BHD為二面角B-PC-D的平面角.（答案為2π3）.

3 垂面法

求解二面角問題的常用方法還包括垂面法.垂面法，就是指作一個與二面角的棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交得到交線所成的角為二面角的平面角.適用于銳二面角或直角二面角問題.利用垂面法解題的主要步驟：①根據題意作出與棱垂直的平面；②結合實際問題找出二面角的平面角；③證明上述平面角為二面角的平面角并求出其大小［2］.

例3在平面角等于60° 的二面角α-l-β中有一點P，點P到α，β的垂線段長分別為PC=3 cm，PD=5 cm，求點P到棱l的距離.

分析：如圖6所示，本題所選擇的垂面為平面PCD，進而確定二面角α-l-β的平面角為∠CED=60°，最后根據l⊥平面PCED，得l⊥PE，PE即為點P到棱l的距離.

解析：設過P，C，D三點的平面分別交平面α，β于CE，DE.易證l⊥平面PCD.

∴l⊥DE，l⊥CE.

∴∠CED即為二面角α-l-β的平面角.

∴∠CED=60°，∠CPD=120°.

由余弦定理，可知CD=7.

∵l⊥平面PCED，

∴l⊥PE.

∴PE即為點P到棱l的距離.

又∵P，C，E，D四點共圓，∠PCE=90°，

∴PE是該圓的直徑.

根據正弦定理，可得PE=CDsin 120°=1433.

拓展：如圖7所示，在四面體P-ABC中，PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10，PC=234，F是線段PC上一點，BF=153417，點E在線段AC上，且EF⊥PC.

（1）求證：PC⊥平面BEF；

（2）求二面角C-BE-F的大小.

提示：（2）如圖7所示，∠FEC是二面角C-BE-F的平面角，tan∠FEC=cot∠PCA=ABAP=106=53.

求解二面角問題是高中數學的重要內容，在全國各地高考數學試卷中也經常出現，求解二面角的方法中，筆者認為最簡單且最普遍適用的方法莫過于向量法，只要合理建系，正確計算求解即可.

參考文獻：

［1］劉傳景.深度學習 探究本質——一道立體幾何二面角求解方法賞析[J].中學數學教學，2021（6）：47-51.

［2］吳志榮.立體幾何中的二面角問題[J].高中數理化，2019（8）：14.