立德樹人視角下的解題教學探討

摘要：文章從教育部相關文件入手，分析在數學解題教學中落實立德樹人根本任務的必要性與可行性，結合張奠宙先生在《數學學科德育》中指出的數學德育內容分類法，從滲透文化、因材施教等五個方面探討立德樹人視角下的解題教學，最后提出一些個人思考.

關鍵詞：立德樹人；解題教學；滲透文化；因材施教

1 問題提出

教育部于2014年發布了《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，提出“立德樹人”是教育的“根本任務”.高考始終堅持以價值為引領，確保立德樹人在高考中的落實力度和落實效果，確保高考評價的正確方向.可見，“立德樹人”已經從國家人才培養、人才選拔層面進入了高中教育.高中學科教學是實現立德樹人的重要載體，也是立德樹人的重要途徑.因此，數學作為中學階段的重要學科，自然也承載著立德樹人的重任.

解題教學作為高中數學教學的一種常規教學模式，它對鞏固基礎知識、滲透思想方法、發展核心素養等有著不可或缺的作用，更是落實立德樹人根本任務的一個重要契機.事實上，不少教師在解題教學中過分關注學生思維能力的培養以及解題技巧的傳授，淡化了對學生德育方面的思考，這樣的教學觀念無疑有悖于國家立德樹人的教育戰略目標.那么在高中數學解題教學中如何落實立德樹人根本任務呢？張奠宙教授在《數學學科德育》中指出：數學德育內容概括為三大類即理性精神、人文精神、道德品質.鑒于數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展方面有著不可替代的作用，因此，筆者認為在高中數學解題教學中立德樹人的著力點應該放在理性精神與人文精神上.下面結合教學實踐探討在立德樹人視角下的解題教學，以期拋磚引玉.

2 教學探討

2.1 滲透文化，堅定學習信念

在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透到日常教學中[1].事實上，很多數學問題都蘊涵著豐富的數學文化，只要教師平時注意積累相關素材，在合適的時候就會有用武之地.在解題教學中，不應只由枯燥的邏輯證明、成堆的模仿練習充斥著課堂.比如，教師可以結合例題滲透與題目有關聯的數學史料，讓學生了解數學家們的光輝事跡并體驗問題的探究歷程，從而提高學習興趣，端正學習態度，堅定學習信念.

例1已知0lt;xlt;1，0lt;ylt;1.

（1）求證：x2+y2+x2+1－y2+（1－x）2+y2+（1－x）2+（1－y）2≥22，并求使不等式成立的條件.

（2）說明上述不等式的幾何意義.

例1來源于人教版（2019年版）選擇性必修1第80頁第17題.筆者將例1作為向學生滲透數形結合思想的重要案例.經過點撥后，很多學生都找到了解題思路，此時筆者順勢介紹了華羅庚先生寫的一首關于數形結合的詞：數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛……，特別提到華老卓越的成就和自學成才、身殘志堅以及愛國情深等感人故事，讓學生對數學大師產生敬仰之心，更讓學生領悟到人生道路上沒有一帆風順，必須經過千錘百煉，才能成為真正的國家棟梁之才；以后不管走到哪里，都要有胸懷祖國、立志報國的愛國情懷.華老的感人事跡激勵著學生奮進，進一步堅定了他們努力學習的信念.事實證明：數學家們的奮斗經歷對學生的成長發揮著巨大的“正能量”作用.

2.2 因材施教，磨煉堅韌意志

新高考甄選人才突出了立德樹人的核心標準，即通過高考的考查，使具備較高政治覺悟、高尚道德情操和優秀意志品質的學生脫穎而出.愛因斯坦說：“優秀的性格和鋼鐵般的意志比智慧和博學更為重要.”具備堅韌的意志更是高中生早日成才的重要條件之一.事實上，受高中數學學科特點以及新高考人才選拔要求的影響，學生在學習數學的過程中更易遭遇困難與挫折.不少學生遇到難度稍大的題目往往感到恐懼，甚至抱著直接放棄的心態.但是困難永遠都是磨煉意志的磨刀石，在解題教學中，教師應參照學生的認知水平以及教學內容的要求，有意識地篩選一些具有挑戰性的題目，為他們創造“跳一跳，摘到果子”的機會并指導學生克服、戰勝它，使他們逐步具備獨立面對困難、征服困難的勇氣，磨煉堅韌意志.

例2（2018·全國卷Ⅲ理21）已知函數f（x）=2+x+ax2ln1+x－2x.

（1）若a=0，證明：當－1lt;xlt;0時，f（x）lt;0；當xgt;0時，f（x）gt;0.

（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

鑒于每年高考導數壓軸題難度較大，運算過程繁雜，為此筆者在高三復習導數時根據教學需要，常常選用難度較大的高考導數真題作為例題，引導學生深入分析并化解難點、攻克難題.

分析：（1）略.對于（2），易知當a≥0，由（1）知，當xgt;0時，f（x）≥2+xln1+x－2xgt;0=f0，這與0是f（x）的極大值點矛盾.因此，只需討論alt;0即可.若直接以f（x）為求導對象，則f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2+x+ax2x+1－2，可以看出要求f′（x）的零點依然困難重重，要使對數結構消失，至少要對f′（x）求二階導數，這使得問題的求解仍然非常棘手.此時，考慮到要使對數結構在求導中盡快消失，可以采取對數“單身狗”策略，于是可以構造構造函數h（x）=f（x）2+x+ax2，設函數h（x）=ln1+x－2x2+x+ax2，當xlt;min1，1a時，2+x+ax2gt;0，故h（x）與f（x）符號相同.又h0=f0=0，故0是f（x）的極大值點，則0是h（x）的極大值點，從而求得a的值.

高考壓軸題雖難，但也不是高不可攀.在解題教學中，教師應做到因材施教并為學生搭建合理、不斷向上攀爬的“腳手架”，適時地喚醒學生頭腦中儲備的知識和經驗，讓這些知識和經驗與題目取得聯系并恰當化歸，以便尋找到解題突破口.此外，當學生在學習上遇到困難時我們要多鼓勵多引導，促使他們形成不畏辛苦、堅持不懈的良好品質，讓他們做一個永不言敗的堅守者.學生具備了這些特質，方可從容應對生活中可能出現的困難與挫折.

2.3 聯系實際，增強責任意識

高考評價體系“四層”考查內容中，道德品質和綜合素質是核心價值的重要內涵之一.它涵蓋著責任擔當等五大指標，要求學生立志肩負起實現中華民族偉大復興中國夢的時代重任.因此，增強責任意識是落實立德樹人任務的重要抓手之一.數學來源于生活，又高于生活，在解題教學中，教師應緊密聯系生活實際，有意識地選取具有濃厚時代氣息和鮮明中國特色的問題情境作為題材，將德育內容和題目內容有機融合，為樹立責任意識營造氛圍.

例3（2021·北京卷18）在核酸檢測中， “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測，如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束；如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對這k個人中的每個人再進行1次檢測，得到每人的檢測結果，檢測結束.

現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.

（Ⅰ）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;

（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為111.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E（X）.

（Ⅱ）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E（Y）與（I）中E（X）的大小.（結論不要求證明.）

面對當前愈加嚴峻的疫情防控形勢，我們要積極配合國家打贏這場防疫“攻堅戰”.為此，筆者在隨機變量綜合應用中選取了與抗擊新冠疫情密切相關的題材作為例題，讓學生通過這些題目的解答，強化他們學以致用的意識，全面綜合發展學生核心素養水平，借此讓他們了解醫務工作者進行核酸檢測的流程，引導學生關注國家當今形勢并積極執行國家防疫政策，以此增強學生的責任意識.

2.4 剖析錯解，弘揚求真精神

愛因斯坦說：“對真理與知識的追求并為之奮斗，是人類最高品質之一.”求真精神是一種不懈地追求真理的精神，它是數學精神乃至科學精神的核心與精髓，并教育人們客觀公正地看待問題，不迷信權威，不迷信書本，具備批判性思維、創新思維.英國著名哲學家維特根斯坦說：“要讓人相信真理，僅僅說出真理是不夠的，人們還須找到錯誤到真理的道路.”因此，在解題教學中，教師要重視學生的錯解，嘗試引導學生深入剖析并弄清錯因，讓他們在“做中學”“錯中學”“挫中學”，借此給予啟迪與熏陶，使他們自身的內涵和素養得到提升的同時，達到弘揚求真精神之目的.

例4在△ABC中，sin A=513，cos B=35，求cos C的值.

這是人教版普通高中教科書（2019年版）數學必修第一冊第229頁第4題.在教學中，筆者發現不少學生有如下的做法：

錯解：因為sin A=513，cos B=35，且A，B為△ABC的內角，所以cos A=1213，sin B=45.

所以cos C=－cos（A+B）=－（cos Acos B－sin Asin B）" =－1213×35－513×45=－1665.

這種做法看似比較簡潔易懂，結果也正確，但是筆者發現不少學生看到結果正確之后，不再研究解答過程是否有不嚴謹之處，這是欠缺反思意識與求真精神的表現.事實上，上述解答過程存在明顯漏洞.筆者借機引導學生反思錯解中的不妥之處，下面是一段教學實錄：

師：這位同學做法簡潔易懂，但解答過程嚴密嗎？請同學們發表一下看法.

生1：以上解法由sin A=513求出cos A=1213欠妥.

師：你可以幫他分析不妥的原因嗎？

生2：可以！因為A的范圍未能確定，所以cos A的正負還不能確定，

師：那如何分析呢？

生3：要對A的范圍進行討論.

當A為鈍角時，因為sin A=513lt;12=sin5π6且y=sin x在π2，π是單調遞減，所以Agt;5π6.

因為cos B=35lt;22=cosπ4且y=cos x在0，π2是單調遞減，所以Bgt;π4.

此時A+Bgt;π，這與A+Blt;π相矛盾.所以A為銳角，故cos A=1213.

師：生3做得很好，思維也很嚴密.我們在利用同角三角函數的關系式求解時，三角函數值的正負由角的范圍確定.

在解題教學中，我們要有容許學生犯錯的胸懷，重視對錯解的剖析，讓學生吸取深刻教訓，實現“吃一塹，長一智”.這樣的教學對培養學生嚴謹的科學態度與求真精神的作用無疑是巨大的.

2.5 寓美于教，提高審美情操

羅素曾說過：“數學，如果正確看待它，不但擁有真理，而且也具有至高無上的美.”數學美包含對稱美、簡潔美、奇異美、統一美等.數學教學的審美教育目的在于培養、發展學生的數學美感，提高學生的審美情操[2].解題教學是教師滲透美育的絕佳時機，在審美視角下追求條件的轉化、式子的恒等變形與解題路徑的探尋等，這種寓美于教的方式有助于啟迪學生的思維，從而快速找到解題突破口，彰顯了美的魅力.此外教師應引導學生感受、領悟數學美，培養學生對數學美的鑒賞能力.

例5（2020·安徽淮南一模文）已知函數f（x）=lnexe－x，滿足fe2 019+f2e2 019+……+f2 018e2 019=1 0092a+b（a，b均為正實數），則ab的最大值為.

分析：由條件fe2 019+f2e2 019+……+f2 018e2 019=1 0092a+b可知，等式左邊的規律明顯，即首尾對稱的自變量的和均為常數e，于是考慮計算f（x）+fe－x的值.

解：f（x）+fe－x=lnexe－x+lne（e－x）e－（e－x）=ln［exe－x·e（e－x）x］=2.

記S=fe2 019+f2e 2019+……+f2 018e2 019，

則S=f2 018e2019+f2 017e2019+……+fe2 019.

所以2S=2×2 018，即S=2 018.

故2 018=1 0092a+b，所以a+b=4，且a，b均為正實數.

所以ab≤a+b22=4，當且僅當a=b=2 時等號成立.故填答案：4.

在本例中，數式的“對稱美”在探求解題思路的過程中起到了關鍵作用.

例6已知cosπ4+x=35，17π12lt;xlt;7π4，求sin 2x+2sin2x1－tan x的值.

這是人教版普通高中教科書（2019年版）數學必修第一冊第255頁第18題.

分析：首先關注函數名稱，由于條件與待求式子含有 “切”與“弦”，因此考慮“切化弦”；其次關注角度，題目中含有的角有x，2x與π4+x三種角，而2x與π4+x可分別通過二倍角公式與和角公式化為關于x的三角函數；再次關注結構，由條件可得到cos x－sin x=325，再結合cos x－sin x，cos x+sin x與cos x·sin x三者的關系，從而實現函數名稱、角度與結構的統一.

解：sin 2x+2sin2x1－tan x

=2sin xcos x+2sin2x1－tan x

=2sin xcos x（cos x+sin x）cos x－sin x.

由cosπ4+x=35，得

cos x－sin x=325①

由①式平方，得2sin xcos x=725.

所以cos x+sin x=±425.

由17π12lt;xlt;7π4，得sin xlt;0且cos x＜0，所以

cos x+sin x=－425.

故sin 2x+2sin2x1－tan x=725×－425325=－2875.

從以上分析可見，三角函數化簡中的關于函數名稱、角度與結構的統一，即“統一美”，它在解題思路的探求過程中的作用不容低估.在解題教學中，我們在合適的時機可從審美視角引導學生分析題意，啟發思考.學生則通過認識數學美，領悟美的真諦并形成美的數學思維方法，往往就能打破思維定式，另辟蹊徑，找到最佳解題方案.

3 結束語

任何學科教學都是一種教育，都是有價值的教育，失去了教育、失去了教育的教學都不是真正的教學[2].總之，數學解題教學，從數學教學而言以提升學生核心素養為導向，以培養學生進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法為基本目標已是無可厚非，但是從數學教育而言，還應將立德樹人理念的滲透作為重要的教學內容，進一步明確落實立德樹人根本任務的可行路徑，培養學生的理性精神和人文精神，助推學生形成良好的道德品質，從而加快落實立德樹人的根本任務.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]哈斯朝勒，郝志軍.學科育人價值的特性及其實現[J].教育理論與實踐，2020（7）：14-17.