運用函數思想證明不等式

摘要：函數思想是解決數學問題最重要、最基本的思想方法之一.運用函數思想證明不等式，關鍵是轉化和合理引進函數，靈活運用函數的性質和特點.

關鍵詞：函數的單調性；函數的奇偶性；函數的有界性；函數的性質；二項式定理

函數是高中數學的重要內容之一，函數的思想和應用是貫穿整個高中數學的一條主線.運用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題，這種思路就是函數思想.不等式也是高中數學的主要內容，它幾乎涵蓋了高中數學的各個領域，中學數學的各部分內容都與不等式有著千絲萬縷的聯系；由于不等式的證明類問題，對邏輯推理能力的要求較高，加之題型廣泛，方法靈活，考查面廣，深受命題者的青睞，既是近年來高考的熱點問題，也是高中數學的重點和難點.人教版選修4-5的第二講“證明不等式的基本方法”中，集中介紹和講解了“比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法”等常見的幾種證明方法，在第四講中還補充了“用數學歸納法證明不等式”等內容.看起來證明不等式的方法學得很多了，但是當我們用這些方法去證明一些非常規類不等式時，常常會感到力不從心，這也是許多考生對不等式證明題懷有畏難情緒的主要原因之一.看來我們還有必要學習和掌握一些應對非常規類不等式證明的方法與技巧.

運用函數思想證明不等式，就是應對那些非常規類不等式證明的一種策略，就是對那些本身沒有明顯函數關系的不等式，通過類比、聯想、轉化等方法，合理地引進函數[1]，并通過對所引進函數的定義域、值域、奇偶性、連續性、有界性等性質的研究，使不等式最終得證.

1 利用函數的單調性

函數的單調性，在具體的函數中不難判別；對有些涉及到數列以及以自然數n為變量的證明題時，如果能與函數的單調性聯系起來，往往能夠找到更簡捷的證明方法.

例1證明：對于一切大于1的自然數n，恒有（1+13）（1+15）……（1+12n－1）gt;1+2n2.

證明：當n＞1，n∈N時，不妨令

f（n）=1+131+15……1+12n－11+2n，

f（n+1）

=1+131+15……1+12n－11+12n+11+2（n+1）.

所以f（n+1）f（n）=1+12n+11+2n2n+3

=2n+2（2n+1）（2n+3）

=2（n+1）4（n+1）2－1gt;1（n=2，3，……）.

故f（n+1）gt;f（n）.

即f（n）是單調增函數（n=2，3，……）.

又因為f（2）=1+135=1645gt;1664=12，所以當n＞1，n∈N時，恒有f（n）gt;12.

故1+131+15……1+12n－1gt;1+2n2（n=2，3，……）得證.

方法與技巧：本題的證明方法是用比值法判定其單調性，就是把不等式對應的數列看成是自變量為自然數n依次取值的函數，然后同f（x）一樣判定函數f（n）的單調性.變形的依據是原不等式等價于1+131+15……1+12n－11+2ngt;12，這是證明的切入點.

2 利用函數的奇偶性

利用偶函數的軸對稱性和奇函數的中心對稱性，常能使不等式的證明過程變得簡捷，還能避免復雜的討論.

例2證明不等式x1－2xlt;x2（x≠0）.

證明： 令 f（x）=x1－2x－x2（x≠0）.

則 f（－x）=－x1－2－x+x2=－x52x2x－1+x2=x+x（2x－1）1－2x+x2=x1－2x－x2=f（x）.

故f（x）為偶函數.

當xgt;0時，2xgt;1，即1－2xlt;0，則f（x）lt;0.

由偶函數的性質可知，當xlt;0時，亦有f（x）lt;0.

故x≠0時，恒有f（x）lt;0，即x1－2xlt;x2（x≠0）.

方法與技巧：本題先把不等式轉化為函數，然后利用偶函數的對稱性進行證明，收到了化繁為簡的奇效.

3 利用三角函數的有界性

如果x∈R，那么sin x≤1，cosx≤1，這就是三角函數的有界性.對于一些與三角函數有關的不等式，如果能很好地利用其有界性，往往能夠幫助我們快速找到解題的突破口，從而使問題順利解決.

例3已知α，β為銳角，且sin2α+sin2β=sin（α+β），求證：α+β=π2.

證明：因α，β為銳角，可把α，β，π-（α+β）看作三角形的三個內角，且其對邊分別為a，b，c.

因為sin（α+β）≤1，所以sin2α+sin2β=sin（α+β）≥sin2（α+β）=sin2［π－（α+β）］.

根據正弦定理，得 a2+b2≥c2，從而可得

cos［π－（α+β）］=a2+b2－c22ab≥0.

故α+β≥π2.

假若α+βgt;π2，則π2gt;αgt;π2－βgt;0.

根據y=sin x在0，π2上單調遞增，可知sin αgt;sinπ2－β=cos βgt;0，所以sin2αgt;cos2β.

所以sin（α+β）=sin2α+sin2βgt;cos2β+sin2β=1，這與sin（α+β）≤1矛盾.

故α+β=π2.

方法與技巧：從本題的證明過程可以看出，三角函數的有界性在證明不等式的過程中起到了關鍵的橋梁作用.所以說，運用正、余弦定理將邊角關系進行巧妙轉化，是函數思想的運用之妙.

4 利用二次函數的性質

根據二次函數f（x）=ax2+bx+c（agt;0），若Δ≤0，則恒有f（x）≥0；反之，若恒有f（x）≥0，則Δ≤0.依此來構造二次函數解題是常用的方法.

例4α，β，γ為任意三角形的三個內角，求證：x2+y2+z2≥2xycos α+2yzcos β+2zxcos γ對于任意實數x，y，z總成立.

證明：令f（x）=x2－2x（ycos α+zcos γ）+y2+z2－2yzcos β，則

Δ=4（ycos α+zcos γ）2－4（y2+z2－2yzcos β）

=4y2（cos2α－1）+8yz（cos αcos γ+cos β）+4z2（cos2γ－1）

=－4y2sin2α+8yz［cos αcos γ－cos（α+γ）］－4z2sin2γ

=－4y2sin2α+8yzsin αsin γ－4z2sin2γ=－4（ysin α－zsin γ）2≤0.

所以f（x）≥0.

故x2+y2+z2≥2xycos α+2yzcos β+2zxcos γ.

方法與技巧：首先將待證的不等式整理變形為x的二次函數式f（x）=x2－2x（ycos α+zcos γ）+y2+z2－2yzcos β≥0，只要能證明f（x）的圖象不在x軸的下方即可.

5 利用二項式定理

除了直接使用二項式定理和適當變形后再運用二項式定理證明不等式的方法外，我們還可以通過利用二項式定理構造函數f（x）=（a+x）n（n∈N）的方法進行證明，這種方法在證明不等式、組合數恒等式、組合數求和等題型中得到廣泛應用[2].

例5證明：當n≥3，n∈N時，2n≥2（n+1）.

證明：令f（x）=（1+x）n=C°n+C1nx+C2nx2+……+Cn－1nxn－1+Cnnxn.

則f（1）=C°n+C1n+C2n+……+Cn－1n+Cnn

=1+n+C2n+……+Cn－2n+n+1

=2（1+n）+（C2n+……+Cn－2n）

=2n.

當n=3時，2n=2（1+n）；

當ngt;3時，2n=2（1+n）+C2n+……＞2（n+1）.

綜上可知，當n≥3時，2n≥2（n+1）.

方法與技巧：本題就是靈活運用二項式定理把不等式轉化為函數，然后采用分步討論證明方法的典型實例.

綜上所述，證明非常規類不等式就要采用非常規的方法，運用函數思想證明非常規類不等式具有極大的便捷性與實用性，“運用之妙存乎一心”，在具體的解題過程中，我們要根據題目提供的信息靈活選擇合適的方法與技巧進行證明，解題時既要充分利用已知條件和函數的性質，又要時刻牢記解題目標.

參考文獻：

[1]孫其天.構造法在不等式中的應用[J].數學學習與研究，2012（15）：77.

[2]喬保偉.淺談構造函數證明不等式[J].中學生數理化（學研版），2012（1）：15.