圓錐曲線對(duì)稱問(wèn)題“轉(zhuǎn)化法”

摘要：圓錐曲線的對(duì)稱問(wèn)題是高中解析幾何中的重要內(nèi)容，歷年來(lái)一直是高考的常考熱點(diǎn)，同時(shí)也是高考備考的重點(diǎn)與難點(diǎn).本文中通過(guò)對(duì)典型例題的解析，探索了如何運(yùn)用“轉(zhuǎn)化法”解決與圓錐曲線對(duì)稱相關(guān)的問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：方法與規(guī)律；轉(zhuǎn)化中點(diǎn)法；等價(jià)轉(zhuǎn)化法；可行性與實(shí)用性

“圓錐曲線與方程”是湘教版選修（一）第2章的內(nèi)容，雖然是選修內(nèi)容，但其重要性卻不容忽視.近幾年來(lái)，“圓錐曲線對(duì)稱問(wèn)題”已成為高考中頻繁出現(xiàn)的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題.因此，熟悉這類問(wèn)題的常見(jiàn)題型，掌握和運(yùn)用“轉(zhuǎn)化法”解題的方法與技巧也就顯得十分重要[1].

圓錐曲線對(duì)稱問(wèn)題通常包括中心對(duì)稱和軸對(duì)稱兩大類.對(duì)于中心對(duì)稱類問(wèn)題，一般采用“轉(zhuǎn)化中點(diǎn)法”，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；對(duì)于軸對(duì)稱類問(wèn)題，一般采用“等價(jià)轉(zhuǎn)化法”，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為它的等價(jià)問(wèn)題進(jìn)行求解[2].

下面通過(guò)對(duì)典型例題的解析，來(lái)了解和掌握運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”法來(lái)解決問(wèn)題的方法與技巧.

1 轉(zhuǎn)化中點(diǎn)法

一般情況下，對(duì)于中心對(duì)稱類問(wèn)題，主要根據(jù)“兩對(duì)稱點(diǎn)連線段被對(duì)稱中心平分”這一性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行解決.

例1求橢圓C：（x－1）216+（y－2）29=1關(guān)于點(diǎn)A（－2，1）對(duì)稱的橢圓C′的方程.

解：設(shè)已知橢圓C上任意一點(diǎn)P′（x′，y′）與橢圓C′上的點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（－2，1）對(duì)稱，則x′+x2=－2，y′+y2=1，得

x′=－4－x，y′=2－y①

因?yàn)镻′（x′，y′）在橢圓C上，所以

（x′－1）216+（y′－2）29=1②

將①式代入②式，得（－x－5）216+（－y）29=1.

所以（x+5）216+y29=1為橢圓C′的方程.

方法與技巧：本題屬于曲線f（x，y）=0關(guān)于點(diǎn)Q（m，n）的對(duì)稱曲線類典型問(wèn)題.解決這類問(wèn)題，首先將坐標(biāo)平移，使原點(diǎn)移到對(duì)稱中心Q，在新坐標(biāo)系下原曲線為f（x′+m，y′+n）=0，其對(duì)稱曲線為f（－x′+m，－y′+n）=0，然后再依據(jù)x′=x－m，y′=y－n將坐標(biāo)系平移回原坐標(biāo)系，可得到對(duì)稱曲線的新方程f（2m－x，2n－y）=0，最后再把已知曲線方程中的x換成2m－x，y換成2n－y即可.

例2已知橢圓x2b2+y2a2=1（agt;bgt;0），求出與該橢圓有公共焦點(diǎn)的雙曲線，使得以它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，并求出相應(yīng)四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo).

解：設(shè)所求雙曲線的方程為x2b21－y2a21=－1，它與橢圓在第一象限的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，y0）" ，則c2=a2－b2=b21+a21.

由x2b2+y2a2=1，

x2b21－y2a21=－1， 解得

Cbb1c，a1－b21c2.

所以S矩形ABCD=4x0y0=45bb1c5a1－b21c2=4abb21c21－b21c2.

因?yàn)閎21c2gt;0，1－b21c2gt;0，且b21c2+1－b21c2=1（定值），所以當(dāng)且僅當(dāng)b21c2=12時(shí)，S矩形ABCD取得最大值2ab.

此時(shí)b21=12c2=12（a2－b2），a21=12（a2－b2），所求雙曲線方程為y212（a2－b2）－x212（a2－b2）=1（agt;bgt;0），相應(yīng)四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為22b，22a，－22b，22a，－22b，－22a，22b，－22a.

方法與技巧：在本題中，由于雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且有相同的對(duì)稱軸，其四個(gè)交點(diǎn)組成以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的矩形，我們只要研究在第一象限的情況即可解決問(wèn)題.由此可見(jiàn)，對(duì)于一般的二次曲線問(wèn)題，利用它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式后的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心來(lái)解決較為便捷[3].

2 等價(jià)轉(zhuǎn)化法

對(duì)于求橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一條直線l對(duì)稱類問(wèn)題，我們可以化繁為簡(jiǎn)，將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)問(wèn)題來(lái)解決.

例3已知橢圓C的直角坐標(biāo)方程為x24+y23=1，試求出m的取值范圍，使對(duì)于直線y=4x+m，橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱.

解：設(shè)l′：y=－14x+n（n為實(shí)數(shù)）為已知直線y=4x+m的垂線，與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組x24+y23=1，

y=－x4+n，消去y，可得

13x2－8nx+16n2－48=0③

設(shè)l′與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），顯然x1≠x2.

由Δ=64n2－4×13（16n2－48）gt;0，即n2lt;134，得－132lt;nlt;132.

又因?yàn)镻Q的中點(diǎn)x1+x22，y1+y22在直線y=4x+m上，且由③知x1+x2=8n13，從而

y1+y2=－14（x1+x2）+2n=24n13，

代入12（y1+y2）=4×12（x1+x2）+m，得m=－4n13.

綜上可得－21313lt;mlt;21313.

方法與技巧：本題是利用對(duì)稱軸l：y=4x+m將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為它的等價(jià)問(wèn)題，即求直線l的垂線l′：y=－14x+n（其中n為待定常數(shù)），讓l′與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，并且線段PQ的中點(diǎn)在直線l上.這種“化m為n”的等價(jià)巧妙轉(zhuǎn)化法，充分展示了解題的便捷性與優(yōu)越性.

例4如圖2，已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸就是坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=12.試證明：在橢圓E上不存在關(guān)于直線l：2x－y－1=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn).

證法1：設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）.

由e=ca=12，可知a=2c，則b2=3c2.

將A（2，3）代入x24c2+y23c2=1，得c=2.

所以橢圓E的方程為x216+y212=1.

假設(shè)在E上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的兩個(gè)不同的點(diǎn)B（x1，y1）和C（x2，y2）.

因?yàn)锽C⊥l，所以kBC=y2－y1x2－x1=－12 .

設(shè)BC的中點(diǎn)為M（x0，y0），則

x0=x1+x22，y0=y1+y22.

因?yàn)辄c(diǎn)M在直線l上，所以

2x0－y0－1=0④

又因?yàn)辄c(diǎn)B，C在橢圓上，所以由x2116+y2112=1與x2216+y2212=1 兩式相減，得x22－x2116+y22－y2112=0，即

（x1+x2）（x2－x1）16+（y1+y2）（y2－y1）12=0.

整理為185x1+x22+y2－y1x2－x15165y1+y22=0.

將直線BC的斜率kBC和線段BC的中點(diǎn)M（x0，y0）代入上式，可得18x0－112y0=0，即

3x0－2y0=0⑤

④×2-⑤，得x0=2.這表明BC的中點(diǎn)就是點(diǎn)A，當(dāng)然這是不可能的.也就是說(shuō)，橢圓E上不存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn).

證法2：假設(shè)橢圓E上存在B（x1，y1），C（x2，y2）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則l⊥BC，所以kBC=－12.

假設(shè)直線BC的方程為y=－12x+m，將其代入橢圓方程x216+y212=1，化簡(jiǎn)后得到一個(gè)一元二次方程x2－mx+m2－12=0.因?yàn)閤1與x2是該方程的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=m，所以有y1+y2=－12（x1+x2）+2m=3m2.所以線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為m2，3m4.又因?yàn)榫€段BC的中點(diǎn)在直線y=2x－1上，所以3m4=m－1，得m=4.所以線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），與點(diǎn)A重合，與假設(shè)相矛盾.所以，橢圓E上不存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn).

方法與技巧：本題仍然是采用將待證點(diǎn)B，C等價(jià)轉(zhuǎn)換為已知點(diǎn)A的間接證明思路.在具體證明過(guò)程中，首先根據(jù)已知條件求出橢圓方程，然后利用橢圓的方程、性質(zhì)和已知直線的斜率得出假設(shè)的BC中點(diǎn)的坐標(biāo)與橢圓E上的點(diǎn)A重合的反面結(jié)論，從而使原題得證.

從上述典型例題的方法與技巧的總結(jié)中，我們可以看出，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化法”解決圓錐曲線對(duì)稱問(wèn)題具有較強(qiáng)的可行性與實(shí)用性，關(guān)鍵是要充分、靈活地利用好橢圓、直線與點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]宮正升.運(yùn)用轉(zhuǎn)化法解題[J].數(shù)學(xué)大世界（小學(xué)三四年級(jí)適用），2010（Z2）：89.

[2]郭天平，李作濱.條件轉(zhuǎn)化法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用舉隅[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2021（8）：56-57.

[3]楊金軍.例談圓錐曲線中的中點(diǎn)和對(duì)稱問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2021（4）：27-30.