在變式教學中挖掘題根

摘要：數(shù)列在表達形式上具有下標這一特征，研究數(shù)列關于項下標的變式有助于我們透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從而解決與項下標有關的題型.本文中以人教A版中一道數(shù)列習題為載體，深度剖析習題所具有的特征以及所考查的知識點，結合從特殊到一般的數(shù)學思想方法，從不同角度對原題進行引申變式，挖掘出此題的題根，使學生從掌握一道題上升到掌握一類題.

關鍵詞：變式；題根；數(shù)列

萬爾遐老師曾經(jīng)說過：題根是一道具有生長性的題. 題根將學生救出“題海深淵”，提高解題效率，減輕學生負擔[1]. 數(shù)列作為高考中必考的知識點. 涉及的相關題型變化多端，計算紛繁復雜，但看似雜亂無章的問題背后，事實上有通法可尋. 古人云：“萬變不離其宗.”由于題根是題目的根基，因此研究題根對解題而言顯得尤為重要.

1 原題呈現(xiàn)

已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列.

思路1：化歸思想、方程思想.

分析：由于涉及等比數(shù)列前n項和，所以首先分類討論公比q是否為1，根據(jù)前n項和的定義，分析出S9和S6中都包含了S3，再根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)（等差中項）與等比數(shù)列通項公式列方程，求出公比q，代入需要求證的式子中，從而驗證結論.

證明：①當q=1時，由Sn=na1，得

2S9=18a1，S3+S6=3a1+6a1=9a1.

所以2S9≠S3+S6.

故S3，S9，S6不成等差數(shù)列，應舍去.

②當q≠1時，因為S3，S9，S6成等差數(shù)列，有2S9= S3+S6，所以

2（S3+a4+……+a9）=S3+（S3+a4+a5+a6）.

故2S3+2（a4+……+a9）=2S3+（a4+a5+a6）.

即2（a4+……+a9）=a4+a5+a6.

所以2（a4+a5+a6）+2a7+a8+a9=a4+a5+a6，a4+a5+a6+2a7+a8+a9=0.

又因為a7+a8+a9=q3（a4+a5+a6），所以

（a4+a5+a6）1+2q3=0.

又因為a4+a5+a6≠0，所以1+2q3=0.

于是q3=－12 .

由此可得

a2+a5=a21+q3=a22，2a8=2a2q6=a22 .

所以2a8=a2+ a5，即a2，a8，a5成等差數(shù)列.

思路2：整體代換法、分析法、方程思想.

分析：同思路1先分類討論公比q是否為1，再根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)（等差中項）列出等式，約分化簡后運用分析法，觀察化簡后的式子與待證明的式子之間的關系，發(fā)現(xiàn)兩式相差a1q－2倍. 思路2的特點是整個計算過程中并不用求出公比q，其巧妙之處在于運用分析法發(fā)現(xiàn)待證明等式和化簡出來的等式之間存在特定的倍數(shù)關系從而找到此題的突破口.

證明：①當q=1時，同思路1.

②當q≠1時，因為S3，S9，S6成等差數(shù)列，且Sn=a11－qn1－q ，所以2S9= S3+S6.

即2a11－q91－q=a11－q31－q+a11－q61－q，

21－q9=1－q3+1－q6，

2q9=q3+q6 .

等式兩邊同時乘a1q－2，得

2a1q7= a1q+a1q4.

所以2a8=a2+ a5，即a2，a8，a5成等差數(shù)列.

點評：思路1結合代入驗證利用化未知為已知思想，中規(guī)中矩；思路2結合逆向思維利用設而不求的整體代換思想，非常巧妙，為后面的變式奠定了基礎. 兩種處理方法殊途同歸，都運用了性質(zhì)法，分類討論思想、方程思想，培養(yǎng)了學生數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2 變式探究

原題所考查的知識點如表1所示，下面從條件和結論兩方面入手，對此題進行變式探究. 數(shù)列題所包含的基本量有：首項a1、公差d（或公比q）、具體項第n項an、第n項的序號n、前n項和Sn等[2]. 由于此題涉及到的基本量較少，因此主要研究項的下標以及前n項和的下標這兩種變式思路.

2.1 條件變式探究

結論不變，條件改變下標：

S3，S9，S6→S1，S7，S4/S2，S8，S5/Sn，Sn+6，Sn+3.

變式1已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S1，S7，S4成等差數(shù)列，求證a2，a8，a5成等差數(shù)列.

思路：引導學生逆向分析，由于條件改變，根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到的等式可變?yōu)?S7=S1+S4，化簡得到2q7=q+q4，比較它與特征式的異同之處，發(fā)現(xiàn)等式兩邊同時乘a1，可以得到2a1q7=a1q+a1q4，于是證明出a2，a8，a5成等差數(shù)列.

變式2已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S2，S8，S5成等差數(shù)列，求證a2，a8，a5成等差數(shù)列.

思路：等式2q8=q2+q5兩邊同時乘a1q-1.

變式3已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，對任意n∈N，Sn，Sn+6，Sn+3成等差數(shù)列，求證a2，a8，a5成等差數(shù)列.

思路：等式2qn+6=qn+qn+3兩邊同乘a1q1－n.

2.2 結論變式探究

條件不變，結論改變下標：

a2，a8，a5→a1，a7，a4/a3，a9，a6/am，am+6，am+3.

變式4已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證a1，a7，a4成等差數(shù)列.

思路：由于條件不變，因此由已知條件得到的等式2q9=q3+q6不變，引導學生利用原題的解決方法（根據(jù)在等式兩邊同時乘a1q－2便可得證），因此為我們提供了解題思路，等式兩邊同時乘a1q－3就能證明a1，a7，a4成等差數(shù)列.

變式5已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證a3，a9，a6成等差數(shù)列.

思路：等式2q9+q3+q6兩邊同時乘a1q-1.

變式6已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，對任意m∈N，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證am，am+6，am+3成等差數(shù)列.

思路：等式2q9=q3+q6兩邊同時乘a1qm－4.

3 題根探究

在上述兩種變式思路的基礎上，可以發(fā)現(xiàn)下標之間存在特定的聯(lián)系，結合由特殊到一般的數(shù)學思想方法，將條件結論結合在一起進行變式，拓展到更為一般情況.

變式7已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，對任意n，m∈N，有Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，求證am+1，am，am+2成等差數(shù)列.

思路：由變式教學過渡到題根教學的過程中，教師切忌“填鴨式”教學，而應充分發(fā)揮學生的主觀能動性，根據(jù)前面的變式循序漸進地引導學生自主找出規(guī)律，總結方法，提煉題根.培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)和歸納能力.（等式2qn=qn+1+qn+2兩邊同時乘a1qm－n－1.）

變式8已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，對任意p，r，t，k，m，n∈N，且p，r，t成等差數(shù)列，若pSk，rSm，tSn成等差數(shù)列，求證pak，ram+1，tan+1成等差數(shù)列.

思路：由于新添加了系數(shù)這一基本量，具有一定的難度.教師可以適當給出題根分析，即此題根是在討論已知含有系數(shù)的任意三個前n項和為等差數(shù)列，去判定任意三項亦為等差數(shù)列的問題.證明方法與前面類似，此處不再作具體的分析．

4 教學反思

荀子曰：“千舉萬變，其道一也．”意思是萬千事物盡管在形式上變化多端，但其本質(zhì)是不變的[3]. 在解決千變?nèi)f化的數(shù)學題的過程中，要注意觀察分析其變化規(guī)律，在變與不變中抓準其本質(zhì)的不變性，還原數(shù)學知識的本來面目，從而開展變式教學.

變式教學是一種雙贏的教學手段， 既能培養(yǎng)學生在變換的條件下舉一反三，又能挖掘出題目的本質(zhì)，有利于學生了解知識方法的拓展和遷移，從而掌握這一類題型. 因此教師在變式教學中，應抓住問題本質(zhì)，精選題、巧設計、有意識地尋找和設置題根，開展圍繞題根知識的變式教學.

參考文獻：

[1]李桂娟.高中數(shù)學題根教學實踐研究—以“數(shù)列的前n項和”教學為例[J].中學數(shù)學教學考，2021（19）：42-44.

[2]池璇.高中數(shù)列單元復習的例習題教學研究——以薄弱校為例[D].福州：福建師范大學，2018.

[3]畢美好.以變式題組優(yōu)化復習“數(shù)列求通項”[J].數(shù)學通訊，2021（14）：53-54，66.