2022年天津高考數學導數題解法探究

摘要：導數、不等式是高中數學課程的重要內容，在高考中導數題經常作為壓軸題出現.2022年天津高考數學第20題，將導數與不等式有機結合，綜合性強，難度大，區分度高，既考查了學生的學科核心素養，又滿足了高考選拔高層次人才的要求，非常值得探究.

關鍵詞：導數；不等式；學科核心素養；解法探究

1" 試題呈現：

題目（2022年天津高考第20題）已知a，b∈R，f（x）=ex－asin x，g（x）=bx .

（Ⅰ）求f（x）在0，f0處的切線方程；

（Ⅱ）若函數f（x）與 g（x） 的圖象有公共點.

（ⅰ）當a=0時，求b 的取值范圍；

（ⅱ）證明： a2+b2gt;e.

2 解法探究

下面只對第（Ⅱ）問進行探究.

2.1 對（i）的探究

分析：當a=0時，函數f（x）=ex與g（x）=bx的圖象有公共點.常用方法有三種，一是數形結合，考查兩個函數圖象的公共點；二是構造一個差函數k（x）=f（x）－g（x）討論函數k（x）的零點；三是分離參數，求一個具體函數的值域.

下面只給出筆者認為最優的解法.

法1：分離參數法.

由于x=0不是方程ex=bx的解，于是將參數b分離. 而exx求導麻煩，因此可化為1b2 再構造函數求解.

由方程ex=bx有解，可知bgt;0，且 xgt;0， 1b2=xe2x.

令g（x）=xe2x，則g′（x）=1-2xe2x.

當x∈0，12時，g′（x）＞0；當x∈12，+∞時，g′（x）＜0.則g（x）在0，12上單調遞增，在12，+∞單調遞減.

所以g（x）max=1b2max=g12=12e.

即b≥2e.

所以b的取值范圍是［2e，+∞）.

總結歸納：分離變量后，如直接求導非常麻煩，容易出錯.經過變形再求導就容易得多，難度自然會降低，從而增加正確率. 討論時應注意利用函數的單調性，結合零點存在性定理來處理.

法2：構造差函數法.

由題意得k（x）=ex－bx有零點.

則k′（x）=ex－b2x，bgt;0，且2b2=xex在0，+∞上有解.

設h（x）=xex－m，m=2b2gt;0，則h′（x）=1－xe－x.

當0lt;xlt;1吋，h′（x）gt;0，則h（x）單調遞增;當xgt;1時，h′（x）lt;0，h（x）單調遞減.

要使h（x）=xex－m有零點，必須滿足

h（x）max=1e－m≥0，m≤1e.

另一方面，當0lt;mlt;1e時，

h0=－mlt;0，h1=1e－m＞0.

故h（x）在0，1上存在實數解，0lt;m＜1e符合題意.

所以0lt;2b2≤1e.

解得b≥2e.

故實數b的取值范圍是［2e，+∞）.

2.2 對（ii）的探究

分析：根據函數圖象有公共點，轉化為方程ex－a5sin x=bx有解，其涉及的變量可通過換元、消元等多種方法實現減元的目的，這也是解決問題的關鍵.下面主要說下換元法：

法1：三角換元法.

方程可化為sin xa+xb－ex=0.

設a=rcos θ，b=rsin θ.代入方程得

sin xrcos θ+xrsin θ－ex=0.

則rsin2x+x2sinθ+φ=ex.

所以rsin2x+x≥ex，從而r=a2+b2≥exsin2x+x=e2xsin2x+xgt;e.（利用不等式放縮可證.）

故a2+b2gt;e.

總結歸納：此題中有正弦函數，可用三角換元，這也是常用方法，此法實用性強，計算容易.

法2：柯西不等式放縮法.

設兩函數圖象公共點的橫坐標為x0，則有ex0－asin x0=bx0，即ex0=asin x0+bx0，于是由

e2x0=asinx0+bx02≤（a2+b2）（sin2x0+x0）

可得a2+b2≥e2x0sin2x0+x0.

因為e2x0sin2x0+x0gt;ex0·ex0x20+x0≥ex0（1+x0）x0（x0+1）=e.

所以a2+b2gt;e成立.

總結歸納：此方法利用了柯西不等式以及ex≥1+x，ex≥ex進行放縮，比較便捷.也可使用均值不等式證明，但需注意其使用條件及合理性.

法3：距離法.

設兩函數圖象的公共點橫坐標為x0，則有ex0－asin x0=bx0，即asin x0+bx0－ex0=0.

則點A（a，b）在直線xsinx0+yx0－ex0=0上.

又原點O到該直線上點A的距離為a2+b2，

則a2+b2≥ex0sin2 x0+x0，即

a2+b2≥e2x0sin2x0+x0gt;ex0·ex0x20+x0≥ex0（1+x0）x0（x0+1）=e.

因而a2+b2gt;e得證.

總結歸納：此法轉換了思想，實用性強，計算也不難.

法4： 反證法.

由于方程ex－asin x=bx中a，b的范圍沒有確定，導致研究a2+b2的范圍受阻，此時聯想否定，用反證法.

假設a2+b2≤e（需證出與“方程ex－asin x=bx有解”矛盾的結論）.

考慮到f（x）=ex－asin x和g（x）=bxbgt;0 上升的快慢程度，下面證明“若a2+b2≤e，則exgt;asin x+bx”.

由結論sin xlt;x，可得

|a|x+|b|xgt;asin x+bx.

下面證明ex≥|a|+|b|x.

即證exx≥|a|+|b|.

由（i）可知函數m（x）=exx有最小值2e，所以只需證明2e≥|a|+|b|.

因為a2+b2≤e，所以a2+b22≤e2.

因為|a|+|b|2≤a2+b22，所以|a|+|b|2≤e2，即2e≥|a|+|b|.

故exgt;asin x+bx成立，則方程ex－asin x=bx無解，即兩函數圖象無公共點，與題意矛盾，即假設不成立.

因此證得a2+b2gt;e成立.

總結歸納：反證法作為不等式證明的重要方法可以用，但證明過程并不簡單.此外在證明該結論時可以選取其他方法，如線性規劃等討論關系求解.

法5：拉格朗日乘數法（新法探究）.

設L=a2+b2+λex－asin x－bx，分別對a，b，λ求導，并令其等于0.

于是L′a=2a－λsin x=0，

L′b=2b－λx=0，

L′λ=ex－asin x－bx=0.

解得a=exsin xsin2 x+x，b=exxsin2 x+x.

所以a2+b2=exsin xsin2 x+x2+exxsin2 x+x2

=e2xsin2 x+x.

因為sin2xlt;x，所以

a2+b2=e2xsin2x+xgt;e2x2x≥2ex2x=e.

故a2+b2＞e成立.

3 結束語

導數是高中數學的重要內容，高考中導數題經常作為壓軸題出現，每個學生應根據自己的實際情況，平時加強一題多解的訓練，解答時找到適合自己的解法，快速達到完美結果.