加強(qiáng)課堂訓(xùn)練 提升思考能力

波利亞認(rèn)為：“教會學(xué)生有目的的思考，是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)之一.”[1]思考是思維的一種探究活動，是人類對意向信息進(jìn)行加工的過程，所有思考的進(jìn)行都存在聯(lián)想的參與.數(shù)學(xué)思考是指從數(shù)學(xué)的角度，用數(shù)學(xué)的思維對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行思考的過程，這種思維方式是形成創(chuàng)新能力的核心.數(shù)學(xué)抽象、推理與思維是數(shù)學(xué)思考的靈魂，也是形成數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)相對抽象，如何立足于當(dāng)堂訓(xùn)練，提升學(xué)生的思考能力是筆者近些年一直在研究的問題.本文從以下三點展開闡述.

1 加強(qiáng)復(fù)述訓(xùn)練，啟發(fā)思考

教學(xué)中，不少學(xué)生對一些數(shù)學(xué)知識處于“能意會，卻無法言傳”的狀態(tài)，這種情況常導(dǎo)致學(xué)生在解題時出現(xiàn)思維模糊、想著想著就跑偏了的現(xiàn)象.而復(fù)述是訓(xùn)練學(xué)生思考能力的基本手段之一，它能讓學(xué)生清晰思維、明晰解題思路.

所謂的復(fù)述是指將所學(xué)內(nèi)容，用自己的語言進(jìn)行流暢地表達(dá).這種方式能將學(xué)生思維的“圖式”呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生在多次重復(fù)的復(fù)述訓(xùn)練中不斷完善并豐富自己的思維結(jié)構(gòu).相對而言，高中數(shù)學(xué)有些語言比較拗口、抽象，要讓學(xué)生完整地通過自己的語言準(zhǔn)確表達(dá)出來，實非易事.但為了啟發(fā)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的思考，以訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，還需要鼓勵學(xué)生勤加訓(xùn)練，長期堅持才能真正達(dá)到啟發(fā)思維的效果.

例1“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念復(fù)述.

從字面上來看，這兩個概念異常相近.它們之間到底存在怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？這是本節(jié)課教學(xué)的重點與難點.為了讓學(xué)生徹底弄清這兩個概念，筆者在教學(xué)時先與學(xué)生共同探討這兩個概念：

在直角坐標(biāo)系中，若曲線C上的點和某個二元方程f（x，y）=0的實數(shù)解建立以下兩點聯(lián)系：①曲線上點的坐標(biāo)全都是該方程的解；②以此方程的解為坐標(biāo)的點，這些點均為曲線上的點.那么，此方程為曲線的方程，此曲線為該二元方程的曲線.

學(xué)生在課堂上雖對此概念有了一定的了解，但若不加以復(fù)述或鞏固，不少學(xué)生過兩天就開始混淆，理不清楚其中的關(guān)系.為此，筆者在當(dāng)堂課即帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行復(fù)述訓(xùn)練，以深化學(xué)生對這兩個概念的理解.而復(fù)述的過程則體現(xiàn)了思維活躍的過程，此過程能有效地啟發(fā)學(xué)生的思考.

復(fù)述：

（1）從定義中的兩個條件來復(fù)述

這兩個條件反映了曲線上的點和以方程的解為坐標(biāo)的點，二者是不多不少，恰合適的關(guān)系.從第一個條件來看，曲線上的點不多于方程的解為坐標(biāo)的點，也就是曲線上的點全都符合條件，沒有一點是例外的；從第二個條件來看，曲線上的點不少于方程的解為坐標(biāo)的點，也就是說所有符合條件的點均于這條曲線上，沒有遺漏.

（2）從集合的角度復(fù)述

將曲線理解為點的集合，記作C；將方程的實數(shù)解理解為點的坐標(biāo)，點集記作F.

CF

FCC=F，

也就是C=（x，y）f（x，y）=0.

從這兩個角度進(jìn)行復(fù)述的情況來看，復(fù)述訓(xùn)練能有效地啟發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生從自身獨有的思維角度去分析與理解知識的內(nèi)涵.此過程是內(nèi)化新知、建構(gòu)認(rèn)知體系的重要過程，亦是賦予所學(xué)知識價值的過程.

2 強(qiáng)化變式訓(xùn)練，深化思考

眾所周知，變式訓(xùn)練是相對于某種范式的變化形式，是深化學(xué)生思考，提升解題能力的重要途徑之一[2].變式一般是將簡單的概念、公式、性質(zhì)等演變成復(fù)雜問題的過程，一旦掌握了變式的基本思想，就能掌握解決問題的基本策略與方法.這種訓(xùn)練方式，對提高學(xué)生的辯證思維能力以及思維的自覺領(lǐng)悟能力具有重要影響.

教學(xué)中，我們常涉及到的變式有語言、圖形、概念、定理、公式或題目等，不論是哪種變式的應(yīng)用，均以知識和文化兩大導(dǎo)向為基礎(chǔ)，以實現(xiàn)教學(xué)的三維目標(biāo)為宗旨.我們接觸最多的是試題的變式，即以一道試題為母胎，為了深化其知識的內(nèi)涵，通過問題條件或結(jié)論的變化，呈現(xiàn)出一組新題.通過這組問題的解決，在完善原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上深化思考，形成良好的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

例2已知在數(shù)列an中，a1=1，an+1=an+1（n∈N），求該數(shù)列的通項公式.

變式1已知在數(shù)列an中，a1=1，an+1=an+n（n∈N），求該數(shù)列的通項公式.

解析：依題意可得a2－a1=1，a3－a2=2，……，an－an－1=n-1.將這n－1個式子逐個相加，可得an－a1=n（n－1）2.因此an=n（n－1）2+1（n∈N*）.

變式2已知在數(shù)列an中，a1=2n－1，an+1=an+2n－1（n∈N），求該數(shù)列的通項公式.

解析：形如an+1=an+f（n）的遞推關(guān)系式，可采用疊加的數(shù)學(xué)思想，將問題化歸成等比或等差數(shù)列求和.

變式3將原式中an前面的系數(shù)變?yōu)?，也就是an+1=2an+1，求此時數(shù)列的通項公式.

解析：由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1）①，所以an+1+1an+1=2.因此an+1為一個等比數(shù)列，其首項為a1+1=2，公比為2.所以an+1=2n，由此可得an=2n－1.（注：①式中的1是湊配出來的，亦可運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行確定.）

小結(jié)：形如an+1=can+d（c≠0且c≠1，d≠0）的遞推關(guān)系式，可運(yùn)用待定系數(shù)法或湊配法.設(shè)an+1+l=c（an+l），那么an+1=can－l+cl和原遞推公式進(jìn)行比較，可得（c－1）l=d，l=dc－1，利用構(gòu)造法，可將問題化歸成等比數(shù)列的問題進(jìn)行解決.

變式4將變式3中的常數(shù)改成冪的形式，如an+1=2an－3n，求此時數(shù)列的通項公式.

解析1：與變式3類似，把遞推公式變形成an+1+3n+1=2（an+3n），從而湊配為等比數(shù)列an+3n，計算可得an=2n+1－3n.

解析2：將遞推公式的兩邊同時除以3n+1，可以得到an+13n+1=23×an3n－13.這與變式3的遞推公式類似，用待定系數(shù)法可湊配出等比數(shù)列進(jìn)行解題，該方法也是求此類問題的通法.

綜上，想要深化學(xué)生對知識縱深的理解，變式訓(xùn)練是最好的方法之一.通過以上變式的應(yīng)用，學(xué)生不僅對此類問題有了更為深刻的認(rèn)識，在腦海中建構(gòu)了一系列求解的通項公式，當(dāng)再次遇到類似問題時，則能舉一反三，順利解題.在此變式訓(xùn)練的過程中，學(xué)生在獲得知識的同時，還形成了良好的思考能力，為各項數(shù)學(xué)能力的提升奠定了基礎(chǔ)[3].

3 運(yùn)用感悟訓(xùn)練，提升思維

曾子有云：“吾日三省吾身.”反思是促進(jìn)思維成長的利器，是提高人類各項能力的保障.“悟”即深層次的思考與反思，它是學(xué)習(xí)者思維能力的體現(xiàn).那么，在數(shù)學(xué)課上，學(xué)生應(yīng)該從哪些角度去進(jìn)行感悟呢？筆者認(rèn)為有以下幾點：

（1）基礎(chǔ)知識的感悟

教學(xué)遵循一個循序漸進(jìn)的過程.課堂教學(xué)一般從基礎(chǔ)的概念、定理或公式出發(fā)，這些基礎(chǔ)性的知識雖然簡單，但若扣不住它的核心點，不弄清它的發(fā)展主線，則無法深刻認(rèn)識其內(nèi)涵與外延.而課堂時間又是有限的，有些問題教師并不能講得非常全面、透徹，尤其是在“以學(xué)生為主體”的背景下，更多的是教師的點撥與學(xué)生的自我領(lǐng)悟.因此，這就要求學(xué)生要擁有“悟”的意識，從不同視角去審視與感悟基礎(chǔ)知識，達(dá)到知其然且知其所以然的境界.

（2）解題方法的感悟

數(shù)學(xué)能力的高低可在解題中見分曉，良好的解題方法，為思維指明決策程序，為后期學(xué)習(xí)中的類比提供保障.對解題方法的感悟，最重要的是要注重思考解題方法的主要特征、基本步驟、技巧等，并將這些內(nèi)容內(nèi)化到自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，將良好的解題技巧與方法轉(zhuǎn)化為自己的技能.

（3）數(shù)學(xué)思想的感悟

解題方法與技巧屬于實施層面的內(nèi)容，而其背后一般都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)學(xué)思想，這些數(shù)學(xué)思想則屬于數(shù)學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)思想決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體策略與方法，是學(xué)生真正實現(xiàn)觸類旁通的關(guān)鍵因素.因此，教學(xué)中應(yīng)注重加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感悟.學(xué)生一旦領(lǐng)悟了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，則能從真正意義上實現(xiàn)以一通百的能力.

總之，提升學(xué)習(xí)效率是教學(xué)的首要任務(wù)，訓(xùn)練學(xué)生的思考能力具有重要的戰(zhàn)略意義.作為教師，應(yīng)結(jié)合學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容，在授學(xué)環(huán)節(jié)，選擇合適的方式進(jìn)行思考能力的訓(xùn)練，讓學(xué)生在復(fù)述、變式與感悟中不斷地提高自身的學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］路延捷， 侯京友， 陳愛新. 授人以漁 教學(xué)生“會學(xué)”——安丘市實驗小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)專題研究之四［J］. 山東教育， 1997（9）：29-30.

［2］嚴(yán)豪東， 劉成龍. 對一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的變式研究［J］. 理科考試研究， 2017（19）：3-6.

［3］張凱. 巧借“構(gòu)造法”，優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)［J］. 試題與研究：教學(xué)論壇， 2021（4）：169.