變式訓練在高一函數教學中的應用

摘要：高中數學中某些考點考查的題目大多具有相似性，在課堂教學中加入變式訓練，不僅可以讓學生加深對知識的理解以及掌握該知識點的命題規律，而且還能提高學生學習數學的熱情，激發學生的創新思維和應用意識，從而提升學生解決問題的能力.

關鍵詞：變式訓練；實踐研究；數學課堂

變式訓練是高中數學課堂培養學生自主探究學習的一種有效教學方式，尤其是高一新生在學習新概念、新公式、新定理以及解決數學問題過程中，進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式訓練，可以幫助學生深刻理解知識的本質，揭示不同知識點之間的內在聯系，讓學生輕松地建立起知識點之間的框架結構，促進學生認知發展，坦然面對各種復雜問題，有效解決問題[1].

在單一的例題教學中引入變式教學，可以拓展學生的解題思路，讓學生更深刻地理解知識之間的聯系，利用已有數學知識探究新題型解題之法.不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式訓練可以快速提升學生對知識的理解，通過合理恰當的變式訓練，讓學生深刻理解知識的本質，有變化的重復學習可以提升解題效率[2]，加快該類題型模型化的程度.

1 利用變式訓練強化學生的數學抽象素養

例1關于x的函數f（x），其定義域為（m，n），則b＞0時，函數f（bx）的定義域為.

分析：函數的定義域是自變量x的取值范圍，抽象函數f（x）和f（bx）之間因對應關系f建立起橋梁，把x換元為bx，其范圍不變（即x的范圍就是bx的范圍），解不等式可解得函數f（bx）的定義域.這里要注意的是函數的自變量的范圍經過括號內變換后范圍不同.

解：因為函數f（x）的定義域為（m，n），所以函數f（bx）有意義時，則有mlt;bxlt;n.

因為b＞0，所以mblt;xlt;nb.

故函數f（ax）的定義域為mb，nb.

變式1a＞0時，函數f（ax）的定義域為（m，n），則函數f（x）的定義域為.

解：因為函數f（ax）的定義域為（m，n），且a＞0，所以amlt;axlt;an.

故函數f（x）有意義時，則有amlt;xlt;an.

所以函數f（x）的定義域為am，an.

變式2a＞0時，函數f（ax）的定義域為（m，n），求函數f（bx）的定義域.

分析：變式2是例1和變式1的綜合題.

解：因為函數f（ax）的定義域為（m，n），且a＞0，所以amlt;axlt;an.

故函數f（bx）有意義時，則有amlt;bxlt;an.

當b＞0時，amblt;xlt;anb；

當b＜0時，anb＜x＜amb.

所以，當b＞0時，函數f（bx）的定義域為amb，anb;當b＜0時，函數f（bx）的定義域為anb，amb.

點評：如果一個函數是具體的，它的定義域學生不難理解，但對于一個沒有具體解析式的抽象函數而言，其定義域就難以捉摸，變式訓練可促進學生對抽象函數及其定義域的理解，從而掌握抽象函數定義域的求法.在對應關系f下進行變換的式子范圍沒有改變，主要體現換元思想，利用不等式求解不同抽象函數的定義域.抽象函數雖然定義域發生了改變，但是值域還是相同的.函數的定義域始終是自變量的取值范圍，不管抽象函數的元怎么變，在同一對應關系下，其制約條件是一致的，即在同一取值范圍內，通過換元求得不同函數的定義域，也可以結合函數的圖象，平移伸縮變換說明定義域的變化過程.

2 利用變式訓練深化學生對基礎知識的理解

例2若函數f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數，且定義域為a－1，2a，則a=" ，b=" .

解：由偶函數的定義可知，偶函數的定義域關于原點對稱，即a－1+2a=0，得a=13.又因為f（x）既是二次函數又是偶函數，所以f（x）的對稱軸為y軸，即一次項系數為0，可得b=0.

故a=13，b=0.

變式已知f（x）是R上的奇函數，且當xgt;0時，f（x）=2x2－1，則f（－1）= ，f（x）=.

分析：根據奇函數的定義可知，存在－x使得f（－x）=－f（x），所以f（－1）=－f（1）=－1.又函數在R上有定義，圖象關于原點對稱，所以滿足f（0）=0.

解：由函數f（x）是奇函數，得f（－x）=－f（x）.

所以f（－1）=－f（1）=－1.

設xlt;0，則－xgt;0，滿足

f（－x）=2（－x）2－1.

所以－f（x）=2x2－1，即f（x）=1－2x2.

又因為函數在原點處有定義，所以f（0）=0.

故f（x）=2x2－1，xgt;0，

0，x=0，

1－2x2，xlt;0.

點評：函數的奇偶性，考察函數圖象關于原點和y軸的對稱性.首先必須堅持定義域優先原則，定義域關于原點對稱；其次根據函數為奇函數，有f（－x）=－f（x），若在x=0處有定義，則有f（0）=0.函數為偶函數有f（－x）=f（x），可求得函數的解析式以及參數的值.

3 利用變式訓練拓展學生的數學思維

例3已知偶函數f（x）在區間［0，+∞）上單調遞減，則滿足f（2x－1）gt;f13的實數x的取值范圍是.

解：因為函數f（x）為偶函數，所以函數f（x）的圖象關于y軸對稱.又因為f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，所以f（x）在區間（－∞，0）上單調遞增.故由f（2x－1）gt;f13，得－13lt;2x－1lt;13.所以實數x的取值范圍為13，23.

變式函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，且為增函數，若f（1－a）+f（1－a2）gt;0，求實數a的取值范圍.

解：由函數f（x）的定義域為（-1，1），可知不等式首先滿足－1lt;1－alt;1，

－1lt;1－a2lt;1，解得0lt;alt;2.

其次函數f（x）為奇函數，則f（1－a）+f（1－a2）gt;0 變形為

f（1－a2）gt;f（a－1）.

又因為函數在定義域上是增函數，所以1－a2gt;a－1，解得－2lt;alt;1.

綜上，實數a的取值范圍0，1.

點評：變式教學可以促進新知識與已有知識之間建立聯系，理解并掌握函數的單調性及其幾何意義，讓學生通過自主探究，體會數學概念的形成過程.偶函數在其對稱的區間上有相反的單調性，奇函數在其對稱的區間上有相同的單調性;通過變式訓練讓學生學會運用函數圖象理解和研究函數的性質，利用單調性比較函數值的大小、解不等式、求最值等，幫助學生提高應用知識解決問題的能力.

綜上所述，變式教學為學生鞏固基礎知識的同時創設求異思變的空間，啟發學生透過不同現象看透數學問題的本質，探索數學規律和數學理論知識的內在聯系，有利于幫助學生形成科學的概念，并對類型知識學習建立模型提供有力幫助.

參考文獻：

［1］劉利文.淺談變式練習在教學中的應用［OL］.http：//www.360doc.com/content/10/0912/11/3300527_53048385.shtml

[2]魯楓.變式訓練教學模式在高中數學解題中的應用［J］.數理天地（高中版），2022（13）：67-69.