在初中數學教學中談“變”求通

摘" 要：在初中數學教學中，如何在有限的時間里，將一個知識點或一種方法吃透，而不是僅僅停留于機械模仿？采用以變求通的教學技巧，能把教材知識轉化為學生的內化認知，將數學知識中的某一個方法從不同角度、不同情形、不同背景去解讀與應用，調動學生已有知識經驗積累，培養學生的思維能力，達到舉一反三的目的。本文對變式教學在初中數學教學中的應用進行了探索。

關鍵詞：變式訓練;概念式變式;過程性變式

一、“變”的內涵

“變”指的是變式訓練，就是保持原命題的本質不變，通過變換原命題的條件、結論或圖形等產生新的情境，引導學生從不同的角度、用不同的思維去探究問題，采用變式形式進行技能與思維的訓練。

教師利用變式訓練引導學生對數學問題多角度、多方位、多層次地進行討論與思考，從而讓學生更深刻地理解數學知識，引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，最終走向知識“通透”的道路。

二、“變”的方式

（一）概念式變式

數學概念往往具有抽象性，但又來自具體的感性經驗，由直觀到抽象，由具體到一般，排除背景干擾，凸顯本質屬性和明晰外延，有利于學生真正理解概念的實質性含義和本質屬性。

例1 華東師大版八年級下冊《17.3.1 一次函數》概念教學

問題1：小明暑假第一次去北京。汽車駛上A地的高速公路后，小明觀察里程碑，發現汽車的平均車速是95千米/小時。已知A地直達北京的高速公路全程為570千米，小明想知道汽車從A地駛出后，距北京的路程和汽車在高速公路上行駛的時間有什么關系，以便根據時間估計自己距北京的路程。

請寫出距北京的路程y（千米）和汽車在高速公路上行駛的時間x（小時）的函數關系。

問題2：彈簧下端懸掛重物，彈簧會伸長。彈簧的長度y（厘米）是所掛重物x（千克）的函數。已知一根彈簧在不掛重物時長6厘米，在一定的彈簧限度內，每掛1千克重物彈簧伸長0.3厘米，求這個函數關系式。

步驟1：寫出函數解析式。

步驟2：化簡后觀察它們所具有的共同特征。

步驟3：歸納出概念：形如y=kx+b（其中k、b是常數，k≠0）的函數是一次函數。

變式1：下列函數中，哪些是一次函數？

（1）y=-3x+7 （2）y=6x2-3x （3）y=8x

（4）y= （5）y=

變式2：下列函數中，哪些是一次函數？

（1）y=x-1 （2）y=8+0.03t

（3）s=570-95t （4）y=kx+b

變式3：已知函數y=（n+1）x+（m+1）。

（1）若這個函數是一次函數，求m，n的值;

（2）若這個函數是正比例函數，求m，n的值。

分析：通過各種情境整理出函數，不同函數解析式間同化出共同的本質特征，從而形成一次函數概念。前兩個變式突出概念中k≠0，自變量最高為一次的本質特征;且變式2更豐富了一次函數的多種表達形式，使學生會用本質特征的內涵去界定是否為一次函數;變式3的概念應用，清晰了一次函數概念的邊界，強化了它的本質特征，明確了一次函數與正比例函數的聯系。

通過變式，豐富了概念，突出本質，讓學生多角度地理解概念，利于學生真正理解概念的本質屬性。

（二）過程性變式

數學活動過程的基本特征是層次性。這種層次性表現為一系列的臺階。過程性變式是指在數學活動過程中，通過有層次地推進，使學生分步解決問題，積累多種活動經驗。

例2 如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點M是BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB=AC，判斷△BMN的形狀，并證明你的結論。

lt;D：＼Jzianhi＼龍源＼課堂內外·初中教研202203PDF＼課堂內外·初中教研202203＼課堂內外教師版（初中教研）2022.03＼47-1.jpggt;[A][N][M][F][E][D][C][B]

變式1：如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點M是BC邊上的點，點N是線段AM上的點，AB=AC，若△NBM是等腰直角三角形。

求證：點M是BC的中點，BN平分∠ABE。

分析：對換條件與結論，對等腰三角形“三線合一”這一知識點呈現了不同角度的考查。原題是由等腰三角形底邊上的中線得到底邊上的高線，從而推出△BMN是直角三角形，進一步再求出它是等腰直角三角形;而變式1恰恰相反，已知AM是底邊上的高線，由等腰三角形的三線合一推出AM是底邊上的中線。

變式2：如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F，M 分別是AB，BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB=AC=BD，連接MF，NF，求證：△MFN∽△BDC。

分析：在例2中增加一些新條件——點F是AB的中點以及AB=AC=BD，可以得到新結論△MFN∽△BDC，在原來的基礎上，考查的知識點涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線定理以及三角形相似的判定定理，整體上的難度又上了一個檔次。

在原有的條件中，增加一些新條件，可以得到新的結論，體會知識點之間的聯系，讓學生感受到圖形的奇妙，以及各知識點的相互轉化。

變式3：如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點M是BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB=AC=BD=10，連接DN，當四邊形DNBC是平行四邊形時，求線段BC的長。

分析：以例2為載體，AB長度從一般到特殊，結合平行四邊形以及全等三角形的知識，發現新結論。

上述的變式，可以感受到幾何變形的魅力，多個條件，或少個條件，或變個條件，就能創造出新的題目，這就是數學的魅力。

例3 已知關于x，y的二元一次方程組x+y=2，

2x-y=4，且a=x-2y，則a=__________。

變式1：已知關于x，y的方程組x-2y=a，

2x-y=4，且x+y=0，則a=__________。

變式2：已知關于x，y的方程組x-2y=a，

2x-y=-3a+1，且x+y=0，則a=__________。

變式3：已知關于x，y的方程組x-y=1，

x+y=a與x+2y=b，

3x+y=15有相同的解，則a=__________，b=__________。

分析：例題和四個變式圍繞著方程的解這一知識點，看似不同題目，其實都是用同一種方法來解決，例3直接求出方程的解，再代入含參方程求出參數的值;變式1中可以延續原題的解法，求出方程的解（用參數表示），再代入第三個方程求出參數的值，也可以將三個方程重組，組成例3的模式;變式2是變式1中方法一的加強版，變式4是變式1中方法2的加強版。但不管是哪種解法，本質都是解方程組。

通過一系列的變式，可以提高學生解方程的能力，加深學生對方程的解的理解以及含參問題的解決能力。

三、變式的意義

變式教學可以幫助學生揭開數學問題的本質，提高自身數學問題的分析能力。“心中悟出始知深。”變式可以簡單，而思維必須深刻！注重變式教學，并運用于教學實際，讓學生積極、主動地參與教學的過程，調動和展示學生的思維，有利于學生掌握數學方法、數學思想的本質，培養學生的創造性思維，以及大膽創新、勇于探索的精神，數學課堂會收到事半功倍的效果。

（責任編輯：莫唯然）

參考文獻：

[1] 何乃忠. 新課程有效操作教學解讀[M]. 南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] 毛顯勇. 數學教學[M]. 上海：上海教育出版社，2004.

[3] 張偉品. 淺談初中數學教學中的變式訓練[J]. 學周刊，2016（01）：51.