數學文化素養話題之十：數論

劉勁苓 秦歷紅

秦歷紅：劉老師，因數、倍數、質數（也叫素數）、合數以及最大公因數、最小公倍數等概念，對小學生而言不是特別好理解，但又是重點。這部分知識屬于數論的內容吧？

劉勁苓：是的，數論是研究整數的性質的一門學問，它歷史悠久，以嚴格、簡潔、抽象著稱。高斯認為，“數學是科學的皇后，數論是數學的皇后”，可見數論在數學中的地位。

秦歷紅：這么說來，數論的知識在數學學習中真的很重要。其中有些內容，我了解一些卻并不豐富和深入，希望可以和大家一起繼續學習。北師大版教材中有這樣一段介紹：“質數又叫素數。每一個大于1的整數，要么是質數，要么是若干個質數的乘積。如：12=2×2×3。于是有人認為質數是數的‘數根。質數除了在數學領域中具有極其重要的地位之外，在密碼技術中也起著關鍵的作用，廣泛應用于金融、電子商務和網絡安全中?！蔽覀兙拖葟恼麛档摹皵蹈薄|數開始聊一聊吧！

劉勁苓：質數的研究在數論中具有很重要的作用。我們知道，正整數是由1、質數與合數這三類數組成的。一個大于1的正整數，如果只能被1和它本身整除，這樣的正整數就叫作質數；否則就叫作合數。所有的質數可以編成一個表——質數表。在質數表中，除了第一個質數2是偶數外，其余的都是奇質數。質數的重要性在于，它們是組成整數的基本單位（根），集中表現為“算術基本定理”。這個定理表明，所有不等于1的正整數，如果不是質數，那么可以分解為質數的乘積，且不計順序時，分解方式是唯一的。

秦歷紅：教學中我們通常是直接告知學生什么是質數、什么是合數，帶領學生找出100以內的25個質數，通過熟記100以內的質數，讓學生能夠熟練地判斷一個兩位數是質數還是合數。那么學生就會因此產生疑問，質數到底有多少個呢？

劉勁苓：學生的這個問題其實是關于質數的最古老的問題之一。其實，歐幾里得在《幾何原本》中最先證明了質數有無窮多個，他的方法非常巧妙，閃耀著智慧的光輝。兩千多年來，人們雖也提出過一些其他證明方法，但仍然沒有比歐幾里得的方法更好的。

秦歷紅：那么，歐幾里得到底是怎樣證明質數有無窮多個的呢？

劉勁苓：他用的其實是反證法，假定質數只有有限多個，設為p1，p2，p3，…，pn，考慮a= p1 p2 p3 …pn+1，顯然，a不能被p1，p2，p3，…，pn整除。故存在兩種情況：（1）a為質數；（2）a為合數，則a有除p1，p2，p3，…，pn以外的其他質因數。無論是哪種情況，都會出現不同于p1，p2，p3，…，pn的新的質數，因此否定了質數只有有限多個的假定。

秦歷紅：這個證明的構思真是非常巧妙，它的基本思路是：既然對于無論多大的質數，都一定有比它更大的質數，那當然質數就是無窮多個了。但是，它并非是構造性的，利用上面的式子a=p1 p2 p3 …pn+1得到的整數a并不總是質數。例如，2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509。

劉勁苓：質數雖然有無窮多個，但是在自然數列中，它排列得相當“稀疏”。100以內有25個質數，1000以內有168個質數。教學中，我們通常是怎樣把不超過某個固定的正整數n的所有質數全部羅列出來的？

秦歷紅：我在教學中會向學生介紹“篩法”，篩法是求不超過自然數n（n>1）的所有質數的一種方法，具體做法是：先把前n個自然數按從小到大的次序排列起來。第一個數1不是質數，也不是合數，劃去；第二個數2是質數，留下，并把2后面所有能被2整除的數都劃去；第三個數3是質數，留下，并把3后面所有能被3整除的數都劃去；第四個數5是質數，留下，并把5后面所有能被5整除的數都劃去……一直這樣做下去，就會把不超過n的全部合數都篩掉，留下的就是不超過n的全部質數。據說，篩法是古希臘的埃拉托斯特尼發明的，又稱“埃拉托斯特尼篩子”，他把數寫在涂了蠟的板上，每要劃去一個數，就在上面記一個小點，當尋找質數的工作完成后，這許多小點就像一個篩子，因此叫作“篩法”。還有一種解釋是，當時的數寫在紙草上，每要劃去一個數，就把這個數挖去。當尋求質數的工作完畢后，這許多小洞就像組成了一個篩子。

劉勁苓：其實，求不超過正整數n的質數的個數是有近似公式的，但這個公式理解起來有些麻煩，不適合介紹給小學生。找出一個比現在已知的最大質數更大的質數，是人們孜孜以求的一個夢想。2006年，人們找到的最大的梅森質數（形如2p-1的數稱為“梅森數”，如果該數為質數，則稱之為“梅森質數”）是232582657-1，它是一個9808358位數。而到了2018年，人們找到的最大的梅森質數已經變成了282589933-1，它是一個24862048位數！

秦歷紅：前面談到，質數廣泛應用于金融、電子商務和網絡安全中，一種常用的密碼體系，其保密性依靠的就是大數（多達幾百位）質因數分解的困難。日常生活中，如果把銀行卡密碼設置為888888、123456或者自己的生日，雖然好記，但萬一銀行卡丟了，密碼很容易被猜到。能不能設計出一組代碼，即使將代碼寫下來，別人也無法從中破譯出密碼呢？我們可以根據歐幾里得的證明方法，先給出數a=2×3×5×7×11×13+1=30031，而我們已經知道30031=59×509。那么，就可以把a的兩個因數59和509左右并在一起，形成一個五位數密碼59509，或在左邊添0占位，形成一個六位數密碼059509。為便于記憶，可以將30031或2×3×5×7×11×13+1作為代碼寫下來，別人即使看到了，也未必能猜到你的密碼。

劉勁苓：質數在單元教學中有著至關重要的作用，對于質數我們教材中還有一些數學文化的內容可以介紹給學生。比如，一對僅由一個偶數隔開的相鄰質數，我們將其稱為“孿生質數”，像（3，5）（5，7）（11，13）（17，19）（29，31）（41，43）（59，61）（71，73）都是孿生質數。還有著名的哥德巴赫猜想——任何一個比2大的偶數都可以表示為兩個質數的和。我國數學家陳景潤在1966年證明了“任何一個充分大的偶數都可以表示為一個質數和一個不超過兩個質數的乘積之和”，引起了國際數學界的強烈反響。至今，這仍是“哥德巴赫猜想”證明的最好結果。

秦歷紅：中國現代對數論的研究最早是從什么開始的？

劉勁苓：早在20世紀30年代，我國數學家華羅庚就開始研究數論問題了，他選擇了“哥德巴赫猜想”作為數論組討論班的主題。十幾年后，華羅庚回憶他的這個決定時仍然流露出滿意的神情。他說：“我不是要你們在這個問題上作出成果來，我的著眼點是哥德巴赫猜想跟解析數論中所有的重要方法都有聯系。以哥德巴赫猜想為主題來學習，將可以學到解析數論中所有的重要的方法?！?/p>

秦歷紅：在小學數學教學中，我們可以小游戲的形式向學生介紹哥德巴赫猜想，來激發學生的學習興趣，領略數學文化的魅力。我在教學時是這樣引入的：

生：（齊）所有大于2的偶數都可以寫成兩個質數之和。

師：剛剛我們只舉出了一些例子來說明，但這是一個世界難題，到現在沒有人能完全證明出來。我國數學家陳景潤的研究使這個難題有了很大的突破，感興趣的同學課下還可以再查找資料深入了解，期待同學們成為數學家，繼續研究這些難題！

劉勁苓：質數中蘊含著許多數學文化內容，教材中也有一些補充介紹，例如有關完全數（完美數）的介紹，很多學生看到教材的介紹都要自己親自嘗試驗證呢！除了質數的相關內容，《因數與倍數》也是滲透數論知識及相關數學文化的絕佳單元。例如，我們在教學《2、3、5的倍數特征》時，需要讓學生了解為什么判斷一個數是不是2或5的倍數，只要看個位上的數，而判斷是不是3的倍數，卻要看各個數位上數的和。

秦歷紅：是的，3的倍數特征在課堂上是值得花時間深入研究探討的，課堂上通?？梢杂谩皵怠焙汀靶巍眱煞N方法來研究。以247為例，“數”的方法就是把數拆開，把247看作“2×99+2+4×9+4+7”，2×99、4×9都是3的倍數，只要看剩余的2、4、7的和就行了，而2、4、7正好分別是247的百位、十位、個位上的數?！靶巍钡姆椒ň褪亲寣W生用小棒或計數器等學具，把247表示出來，學生就能在表示、擺放的過程中，根據數形結合的思想，發現3的倍數的特征。最終通過總結發現，“判斷一個數是不是3的倍數，只要看這個數各數位上的數之和是不是3的倍數?！睂W生通過自主探究，會感受到理性思考的力量，也會感受到數學的簡潔之美。

劉勁苓：小學數學教學中還有許多內容與數論相關，需要教師挖掘其中的數學文化，并將之運用、滲透到教學中去。我們期待更多教師重視學生數學文化素養的培養！

秦歷紅：謝謝劉老師的分享，再見！

（劉勁苓，特級教師，北京市西城區教育研修學院，郵編：100031；秦歷紅，北京市西城區黃城根小學，郵編：100034）

*本文系北京市教育科學“十三五”規劃2018 年度一般課題“小學數學教學中‘文以化人的育人研究”（課題批準號：CDDB18182）成果之一。