感悟方法本質，發展結構化認識

摘 要：《三角形的面積》是蘇教版小學數學五年級上冊的重要內容，上承《平行四邊形的面積》中的等積轉化法，下啟《梯形的面積》中的倍積轉化法。教材中僅編排了倍積轉化法的教學，學生如果沒有經歷用等積轉化法計算三角形面積的過程，很難建立對轉化方法的結構化認識。因此，教學時可以嘗試引導學生用兩種不同的轉化方法進行探究，感悟轉化的本質，初步建立對平面圖形面積探究方法的結構化認識。

關鍵詞：《三角形的面積》；倍積轉化；等積轉化；結構化認識

【教學內容】

蘇教版小學數學五年級上冊第9—10頁。

【教學目標】

1.理解并掌握三角形面積計算公式，會正確計算三角形面積，能應用三角形面積計算公式解決簡單的實際問題。

2.經歷將三角形轉化成已知圖形求面積的過程，培養空間觀念，發展推理意識。

3.在探索活動中獲得積極的情感體驗，體會轉化思想的價值，感受數學文化的魅力，激發學習數學的興趣。

【教學重難點】

1.重點：探索并掌握三角形的面積計算公式，能正確計算三角形的面積。

2.難點：理解三角形面積計算公式的推導過程。

【教學過程】

一、問題引入，激發探究需求

師：（出示圖1）生活中我們經常會看到這樣的三角形交通標牌，要計算制作這樣的標牌需要多大的鐵皮，實際上是求什么？

生：求的是三角形的面積。

師：三角形面積如何計算呢？這節課我們就一起來探究。

[思考：引入部分，筆者設計了計算三角形標牌面積的問題，立足學生的學習起點和生活起點，激發探究需求，明確學習目的。]

二、動手操作，勾連新舊知識

師：我們已經學過了“平行四邊形的面積=底×高”，誰還記得這個公式是怎么來的嗎？

（指名學生回答，課件演示平行四邊形面積公式的推導過程。）

師：在探究平行四邊形面積公式過程中，我們是將平行四邊形轉化成長方形來計算的，這個過程對探究三角形的面積公式有什么啟發？

生：我們也可以將三角形轉化成之前學過的長方形或平行四邊形進行探究。

師：同學們說得非常好！今天，我們就從長方形、平行四邊形入手來研究三角形的面積。

（教師出示任務：請將你手中的長方形和平行四邊形紙片分成兩個相同的三角形。學生根據要求動手操作。）

師：觀察你分出的其中一個三角形，它和原來的長方形、平行四邊形之間有什么關系？

生：三角形的面積是原來的長方形、平行四邊形面積的一半，因為被分成的兩個三角形面積一樣。

師：既然被分成的兩個三角形的面積一樣大，你認為三角形的面積應該怎樣算？

生：我覺得算三角形的面積，可以先算出長方形、平行四邊形的面積，再除以2。

[思考：通過回顧平行四邊形面積公式推導過程，喚醒學生將三角形轉化成其他圖形來研究面積的意識。再通過把長方形和平行四邊形分成兩個一樣的三角形的活動，引導學生經過仔細觀察，比較直觀地看出三角形和長方形、平行四邊形的面積之間的倍數關系。]

三、方法對比，感悟倍積轉化

師：（出示圖2）如果沒有長方形、平行四邊形作對照，你能計算出這三個三角形的面積嗎？

（學生獨立計算，全班匯報交流。）

師：為什么這三個三角形都能用“6×4÷2”計算面積？

生：因為它們的底都是6cm，高都是4cm，根據公式“底×高÷2”計算就是“6×4÷2”。

師：看來大家都認為“底×高÷2”就是三角形的面積計算公式了，那你能結合圖形說說為什么嗎？

生：長方形的長、寬分別和三角形的底、高對應，平行四邊形的底、高分別和三角形的底、高對應。所以可用“底×高”先算出長方形、平行四邊形的面積，再除以2，就可以得到三角形面積。

師：對比平行四邊形面積公式和三角形面積公式的推導過程，你發現它們有什么相同的地方，有什么不同的地方呢？

生：推導平行四邊形面積公式和三角形面積公式的時候都用到了轉化的方法，把未知圖形轉化成已經學過的圖形來計算面積。

生：推導平行四邊形面積時，轉化前后的圖形面積相同；推導三角形面積時，轉化后的長方形、平行四邊形面積是三角形面積的兩倍。

師：都是轉化，但轉化的方式有所不同。平行四邊形轉化成長方形后，面積不變，這種轉化我們稱之為“等積轉化”。三角形轉化成長方形、平行四邊形，轉化后的圖形面積是三角形面積的兩倍，這種轉化我們稱之為“倍積轉化”。

[思考：將三角形的底、高與長方形（平行四邊形）的長、寬（底、高）分別對應，是學生普遍存在的難點。因此，筆者在沒有得出公式的情況下讓學生嘗試計算三角形面積，用任務“逼迫”學生“倒過來”想，引導他們主動產生對于“對應”的需求，推導三角形的面積公式。再通過比較兩種推導過程的異同，引導學生發現兩種轉化方法的本質相同，產生初步的結構化認識。]

四、由表及里，回歸等積轉化

師：剛剛同學們用倍積轉化的方式推導出了三角形的面積公式，那能不能用等積轉化的方法推導出三角形的面積公式呢？

（教師出示任務：嘗試用等積轉化的方式推導三角形面積公式，把你的想法用大家看得懂的方式表示出來。學生小組討論后完成研究任務。）

師：（出示圖3）請這個小組來分享你們的研究過程。

生：我們想到，如果不用倍積轉化法，能不能找到一種方法，把三角形直接轉化成長方形或者平行四邊形。所以我們把三角形都沿高的一半剪開，把上面的“尖尖”拼到下面，就成等積轉化了。

（其他學生分享過程略。）

師：轉化后三角形的面積有沒有發生變化？三角形的底、高與長方形的長、寬，平行四邊形的底、高有著怎樣的聯系？

生：轉化過后三角形面積不變，①號三角形轉化成了長方形，長方形的長是原三角形的底，寬是原三角形高的一半。②號、③號三角形轉化成了平行四邊形，平行四邊形的底是原三角形的底，高是原三角形高的一半。

師：看來，運用等積轉化也能推導出三角形的面積公式。其實不論是倍積轉化還是等積轉化，抓住轉化前后兩個圖形底和高的“變”與“不變”，得出兩個圖形的面積關系，才是用轉化方法求三角形面積的本質。

[思考：學生在自主交流的過程中探索用等積轉化的方法推導三角形的面積公式，體會解決問題策略的多樣性，加深對轉化方法本質的感悟，形成結構化的認識。]

五、滲透文化，領會方法背后的智慧

師：同學們只用一個三角形就推導出了三角形的面積計算公式，真棒！其實這種等積轉化的方法在我國古代的數學名著《九章算術》中已有記載。（課件出示教材“你知道嗎”，學生朗讀）古人用“半廣以乘正從”表示三角形的面積計算公式，相信大家能結合圖片解釋這個公式，它相當于“底×高÷2”，如果用a、h、S分別表示三角形的底、高、面積，三角形的面積計算公式還可以怎么表示？

生：S=ah÷2。

師：（再次出示圖1）回到課始的問題，現在，老師給出這塊三角形交通標識的數據：它的底大約是8分米，高大約是7分米，你能算出它的面積嗎？

（學生獨立完成，匯報交流。）

師：（出示圖4）這個三角形一共給出了三個數據，要選擇哪兩個數據進行計算呢？選擇合適的數據求出三角形的面積。

（學生獨立完成后，全班交流。）

師：今天我們研究了什么內容？是怎樣研究的？你還想研究哪些圖形的面積計算公式？打算怎樣研究？

[思考：數學教學要注重情境素材的育人功能，引入《九章算術》既能再一次讓學生體會轉化方法的多樣性，加深對等積轉化方法的認識，也能幫助學生了解和領悟中華民族獨特的數學智慧，增強文化自信和民族自豪感。練習的第1題意在幫助學生鞏固對三角形的面積計算公式的應用，第2題則著重引導學生運用所學知識進行靈活判斷，增強數學應用意識。課的最后，引導學生回顧反思，展望以后的學習內容和研究方法，再次促進知識的結構化。]

（孫進，安徽省合肥經濟技術開發區社會發展局中心教研室，郵編：230601）