操作中找聯系，梳理中悟本質

摘 要：《立體圖形的表面積和體積（復習）》是六年級的一節總復習課。復習課既要鞏固學生已學的知識與方法，又要優化他們的認知結構，幫助他們感悟數學思想方法。因此，復習立體圖形時要基于聯系的觀點，在圖形的運動和變化中探索面與體的關系，幫助學生全面、系統地理解與掌握立體圖形表面積和體積計算方法。

關鍵詞：《立體圖形的表面積和體積（復習）》；自主梳理；認知結構

【教學內容】

蘇教版小學數學六年級下冊第94—95頁。

【課前思考】

蘇教版教材對“立體圖形”的編排有層次、有梯度：學生在第一學段初步認識實際物體和幾何圖形，在第二學段了解立體圖形的特征，學習立體圖形表面積和體積的計算方法，并初步探究圖形間的關系。但在實際教學中，存在“就題論題、蜻蜓點水”的現象，導致學生缺少多途徑循證、多元化表征的機會，無法建立起知識之間的聯系，對立體圖形知識點的理解呈散點化、單一化，對表面積和體積計算方法的運用較為形式化。因此，復習課要基于聯系的觀點，通過引導學生梳理立體圖形的特征、立體圖形表面積和體積計算公式等，滲透線、面、體之間的聯系，幫助學生全面、系統地理解與掌握立體圖形的核心知識，搭建立體圖形知識框架。

【教學目標】

1.在觀察、操作、想象、交流等活動中，豐富對立體圖形的認識，理清它們之間的聯系和區別，體驗三維立體圖形與二維平面圖形之間的相互轉化，發展空間觀念和極限思想。

2.在自主探索、合作交流等過程中系統地復習立體圖形知識，積累研究問題的經驗，增強學好數學的信心，滲透事物是相互聯系、發展變化的辯證思想。

【教學過程】

一、自主梳理，引發思考

課前學生完成“研究學習單”（如下頁圖1）。

二、交流展示，理清脈絡

（一）小組交流，回顧整理

師：同學們，今天這節課，我們來復習立體圖形的表面積和體積。課前，大家已經通過“研究學習單”進行了回顧和整理，下面請同學們根據活動要求，在小組內交流。

出示活動要求：（1）組員有序交流，介紹立體圖形的特征、立體圖形表面積和體積的計算方法，并做好補充或完善，準備全班匯報；（2）在整理與反思的過程中，會產生一些新的發現或疑問，與小組成員進行探討，并嘗試解決。

（二）全班交流，梳理整合

師：我們學習的這些立體圖形，它們都有什么特征？它們之間又有哪些聯系和區別？

師：你們會計算這些立體圖形的表面積和體積嗎？怎么算呢？

師：長方體、正方體和圓柱的表面積計算方法雖然不同，但它們之間有什么相似的地方呢？結合展開圖想一想，和同桌說一說你的發現。

師：長方體的體積公式是怎樣推導出來的呢？你能畫圖向全班同學解釋一下嗎？圓柱的體積公式又是怎樣推導出來的？計算圓錐體積時為什么要乘三分之一？

[設計意圖：復習不是對單個知識點的重復教學，而是對學生已有學習方法和知識的精準概括和結構化整理，需關注學生對復習內容的深層次理解。因此，筆者設計了指向“探索圖形之間聯系”的活動，先通過列舉立體圖形的表面積公式，幫助學生將腦海中的知識有序提取出來；再在交流、對比、補充的過程中，幫助學生明晰表面積計算方法的相通之處，形成結構化的數學思維；最后，讓學生回憶、整理立體圖形的體積公式，將點狀的知識串聯成線，構建立體圖形的體積計算方法體系。]

三、操作想象，溝通面與體的聯系

（一）研究立體圖形的表面積

師：上課前，我們思考了“一張長方形紙可以‘做出哪些立體圖形”，接下來，我們交流一下。

預設1：“卷”的方法。

師：（出示圖2）這是兩個“缺底”的圓柱，它們的表面積有什么關系？你會對比嗎？

預設2：“折”的方法。

師：（出示圖3）這兩個“缺底”的長方體的側面積有什么關系？你是怎樣比的？

師：折出來的長方體與原本的長方形紙有什么聯系？

師：還有其他的折法嗎？什么樣的長方形紙能折成正方體？

師：將長方形紙的一條邊分成四份，可以折出長方體，那分成三份會折出什么圖形？分成五份呢？八份呢？十二份呢？繼續不停地分下去，折成的立體圖形會接近什么圖形？

師：這些立體圖形有一個統一的名稱，叫作直柱體。它們的側面積都等于長方形紙的面積，可以用底面周“長×高”計算。

預設3：“轉”的方法

師：（出示圖4）將同一張紙繞不同的邊旋轉，得到兩個圓柱，它們的側面積相等嗎？

師：同一張紙，轉出來的圓柱形狀不同，側面積卻相等，這是為什么呢？

師：還能怎樣旋轉？怎樣旋轉體積最大？

師：如果將這張紙沿對角線剪開，得到直角三角形，旋轉這個三角形會得到怎樣的圖形？

師：旋轉后得到的圓錐，和剛才的圓柱之間有什么聯系？

[設計意圖：這一環節側重通過操作幫助學生理解立體圖形側面積概念，梳理各種立體圖形側面積計算方法之間的聯系。通過“卷”，幫助學生明晰側面積的概念和計算方法；通過“折”，幫助學生理解側面積等于“底面周長×高”，統一側面積的計算公式；通過“轉”，加深學生對圓柱側面積計算公式的理解。從“卷”到“折”再到“轉”，學生逐步探索，在操作中了解立體圖形與平面圖形之間的關系，溝通不同立體圖形表面積的計算公式，優化認知結構。]

（二）研究立體圖形的體積

師：（出示長方形從下向上平移的動態過程）將長方形從下向上平移，平移留下的痕跡也是立體圖形。我們可以在頭腦中想象一下，平移留下的痕跡是什么圖形？（出示正方形、圓形從下向上平移的動態過程）將正方形、圓從下向上平移，分別會形成什么立體圖形呢？

師：如果將三角形、梯形、正五邊形為從下向上平移，平移留下的痕跡又會形成什么樣的立體圖形呢？這些通過平移得到的立體圖形與平面圖形之間有什么聯系？

師：如果將正八邊形、正十二邊形向上平移，這個發現依然成立嗎？它們的體積應該怎么算？

師：繼續想下去，當被平移的正多邊形的邊數無限增多，我們會得到什么樣的立體圖形？

師：通過研究，我們發現這些直柱體的體積都可以用“底面積×高”來計算。在剛才的交流與分享中，我們又一次感受到了二維平面圖形和三維立體圖形之間的聯系。這也說明，解決問題時，我們要用聯系的眼光去分析。

[設計意圖：該環節意在引導學生從運動變化的角度復習立體圖形。學生通過想象平移留下的痕跡，感受立體圖形底面積不變的情況下，體積的大小與高有關。在此基礎上，學生通過平移，在想象中了解立體圖形的特征，透過變化的表象去深究事物的本質，猜想、探究直柱體體積的計算方法。最后，通過問題“當被平移的正多邊形的邊數無限增多，我們會得到什么樣的立體圖形”，引導學生體會極限思想，逐步擴展認知結構。]

四、精選練習，鞏固應用

全班交流推薦好題，分析解題策略。

師：立體圖形在生活中有很多應用。你知道這些現象應用了立體圖形的什么特征嗎？

課件出示：（1）為什么牛奶盒是長方體，可樂瓶卻是圓柱呢？（2）有關立體圖形的表面積（側面積）的實際問題中，有哪些典型的物體（比如通風管、金魚缸）？可以怎么分類呢？（3）為什么要將快遞盒拆開存放呢？（4）餐巾紙的包裝有圓柱和長方體兩種，它們之間有聯系嗎？

師：你在生活中還觀察到了什么，愛思考的同學課后可以單獨研究，也可以小組合作研究。

[設計意圖：復習課的練習需要幫助學生深刻理解問題的本質，完善認知結構，獲得自主復習的策略。課前的“好題推薦”，讓學生分享他們認為的“好題”，意在讓“不同學生得到不同的發展”，讓推薦者和被推薦者都能在復習過程中有新的收獲、新的認識，增加課的“厚度”；課后的“課題研究”，讓學生帶著觀察的眼光、思辨的精神走出課堂，探索立體圖形在生活中的應用，增加課的“長度”。這樣的學習才是具有生長性的。]

（魏俊晨，江蘇省南京玄武外國語學校附屬小學，郵編：210009）