在歷史溯源中走出認知誤區

摘 要：溯源代數學的發展歷史，大致有“修辭代數—縮略代數—符號代數”三個主要時期。教學中發現，學生學習《用字母表示數》時產生的錯誤認知與這三個時期有較多相關性，因此，在設計《用字母表示數》一課的教學時，可以參照人類“用字母表示數”的歷史過程進行教學設計，以此引導學生走出認知誤區。

關鍵詞：《用字母表示數》；歷史溯源；認知誤區

“用字母表示數”是學生從自然的算術語言向抽象的代數語言過渡的起始，是算術思維向代數思維飛躍的開端，也是小學數學學習從“理解數量”轉向“探討關系”的標志，具有非同尋常的價值定位。然而，正因為“用字母表示數”是學生系統學習代數的起始，對數學思想的滲透又是隱性要求，導致一些教師的教學處理淺表化，給學生的學習、認知造成了很多誤區。因此，教師需要對“用字母表示數”進行深度剖析，在理解其歷史淵源和數學本質的基礎上，設計符合學生認知水平、能夠引領學生走出認知誤區的教學。

一、從認知誤區開始分析

學生學習了《用字母表示數》一課后，有時并未對“用字母表示數”的本質產生正確的認識。筆者通過對一些剛上初中（七年級）的學生進行抽樣調查，發現了幾個普遍問題，于是對這些問題做了初步的分析。

（1）解釋代數式“2+25m”的實際意義時，學生回答“某工程隊修路，2天修25米”。說明學生對“用字母表示數”的認識停留在字母表示量的單位的層面，遇到字母無法第一時間想到其代數意義。（2）求解問題“已知圓的周長為r，那么圓的面積是多少”時，近一半的學生將題目中的“周長”當作“半徑”來解答。這說明學生將某些字母的意義固化、窄化了，對字母在新情境下的意義理解不清。（3）求解問題“長方形長為x，寬為y，求長方形的周長”時，部分學生始終認為“2x+2y”不是這個長方形的周長，因為“2x+2y不是一個值”。這說明學生將代數式看作運算的過程，無法將其作為運算結果看待。（4）學習方程之后，學生依然選擇用算術方法求解應用題，需要經歷很長一段時間才能轉變為使用方程等代數方法……

這些普遍的錯誤認知再一次提醒我們，“用字母表示數”的價值定位不能只停留在理論上的“起始”“開端”“飛躍”，而要在學生接觸概念伊始就引領他們深入了解概念本質，并帶領他們經歷概念發生、發展的全過程。

二、追溯知識的發展歷史

學生認知中的普遍錯誤，往往出于對概念本質的不理解，造成這一現象的主要原因之一是概念的發展歷程和內在聯系被省略了，學生學到的只是孤零零的概念本身。

數學史家通常認為，代數學的發展經歷了“修辭代數—縮略代數—符號代數”三個主要階段。這三個階段的特點和人們對“用字母表示數”的理解具有高度相關性。所以，了解和分析這三個時期“用字母表示數”的發展對我們設計、優化教學具有重要作用。

代數學發展的早期，人們只會用大段的文字來表示研究對象，這一時期被稱為“修辭代數”時期。比如，3700年前，古埃及人用意為“一堆”的特殊文字來表示未知量；2600年前，古希臘的畢達哥拉斯學派能輕易說出具體的多邊形數，卻無法表達“任一”或“任意”；公元前3世紀，歐幾里得在《幾何原本》中，通過將偶數設為可平分的線段來證明“偶數相加，則其和也為偶數”。

直到公元3世紀，丟番圖首次用字母表示未知數，代數學才開始進入“縮略代數”時期（也稱“簡單代數”時期），人們開始用字母表示未知量。這一時期，雖然人們對“用字母表示未知量”有所了解和延伸，但只在用字母表示的未知量的類型和方程解的一般性上有所發展，而在用字母表示“一般量”上一直少有突破。

“縮略代數”時期一直持續到公元16—17世紀，法國數學家韋達有意識地使用系統的字母與符號表示數量，代數學才終于走進了“符號代數”時期。這一時期，一些人開始把已知量用輔音字母表示，把未知量以元音字母表示，并將它們稱為“類的算術”。數學史家李文林先生評價說：“這就使代數成為研究一般類型的形式和方程的學問，因其抽象而應用更為廣泛。”這一時代，大量的近現代數學成就開始涌現。

中國代數學的發展歷程也大致如此。成熟于宋元時期的“天元術”標志著我國數學進入“半數學符號”階段，雖然這一階段比公元16世紀早了300多年，但比起“符號代數”時期，韋達系統地使用字母與符號表示數量，這種“半數學符號”階段依然還處于“縮略代數”時期。公元19世紀，李善蘭和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代數學》是我國第一部“符號代數”教材，其中的“代數”一詞，正是“用字母代替數”之意。

對比“用字母表示數”的發展歷史和學生學習“用字母表示數”時產生的認知誤區，二者有很高的相似性。例如，前述問題（1）和問題（4）表明學生只會用文字表述問題，或認為字母只能表示生活中各類量的單位，是典型的“修辭代數”階段的認識；問題（2）和問題（3）表明學生認為特定的字母只能表示特定的量，字母只是未知量，而不是“具體值”，代數式只能表示運算過程，不能表示結果，這是典型的“縮略代數”階段的認識。

三、設計揭示概念本質的教學

數學家余介石主張“歷史之于教學……可指示基本概念之有機發展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融合調劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也。”個人認知過程與歷史上知識發展有很大的相似性。了解歷史上數學家認識、解釋、創造數學概念的艱難過程，有助于揭示學生的認知發展規律，也有助于我們理解、預見、突破學生的學習難點。

基于以上思考，教學《用字母表示數》一課時，可以從歷史的發展順序中獲得教學的參考和依據，設計三個教學環節。

（一）交流生活經驗

活動1：師生相互分享生活中的“字母符號”，比如停車位上的“P”等。

學生感悟：生活中的字母和數學里的數量單位多是“完整說法的縮寫”。

活動2：請學生將教師帶來的撲克牌從小到大排一排，說說撲克牌里的J表示什么？Q表示什么？K表示什么？

學生感悟：撲克牌里的字母通常表示“特定的數”。

活動3：想一想“0，3，6，x，12，15”中的x可以表示什么樣的數，領悟x在這里的意義。

學生感悟：找規律中的字母“特定的未知數”。

（二）體驗抽象意義

活動4：課件呈現一堆相同長度的小棒，并用3根小棒搭成1個三角形，讓學生解答以下問題：（1）分別用算式表示搭2個三角形，3個三角形，4個三角形所需要的小棒根數；（2）一直這樣擺下去，如何用算式表示需要的小棒根數。學生完成后，教師出示學生寫出的“3×x”“3×n”等式子，全班討論x和n能表示哪些數，x和n是不是未知數。

學生感悟：一直這樣擺下去，算式是寫不完的，但是可以用字母來表示。這里，字母可以表示“變化的、已知范圍的數”。

活動5：猜年齡。用x表示老師的年齡：（1）x的范圍可能是多少？（2）老師比女兒大28歲，填空：老師的女兒______歲；當x=35，即老師35歲，老師的女兒______歲；當x=67，即老師67歲，老師的女兒______歲……

學生感悟：字母表示的數確定了，字母表示的式子的結果也就確定了，因此“x-28”這樣的式子也可以表示“具體的數量”。

（三）運用學習成果

活動6：用“c×4”編一個故事。出示：如果一支鉛筆的質量是c千克，那么4支相同鉛筆的質量就是c×4千克。學生按照給出的示例編故事，然后在小組內相互講一講各自編的故事。分享過后，教師從“c×4”開始講述“用字母表示數”的歷史發展過程。

學生感悟：數學家在探索“用字母表示數”的過程中經歷了無數曲折和波瀾，如今學到的“用字母表示數”雖然看似只是這部分學習的開始，但這一知識、概念其實已經跨越了幾千年的歷史長河。

這三個教學環節突顯了學生從已有經驗到概念形成的認知過程，6個活動引導學生對“用字母表示數”的理解經歷了“字母表示完整意義的縮寫—字母表示特定的數—字母表示特定的未知數—字母表示變化的、已知范圍內的數—字母式子表示具體數量”的完整過程，再現了“用字母表示數”的歷史發展順序，揭示了概念的本質，尊重了學生的認知規律。

人類完整地認識“用字母表示數”的本質經歷了數千年，學生自然不可能在短短一節課的時間里深刻而全面地領悟這些內容，因此，教師需要在揭示概念本質的過程中逐漸滲透概念背后的思想和精神，在歷史溯源中引領學生走出認知誤區。

參考文獻：

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[2]孫學東.結構性問題設計與高階思維培養[J].基礎教育課程，2019（2）.

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[4]張維忠，汪曉勤，等.文化傳統與數學教育現代化[M].北京：北京大學出版社，2006.

（周逸君，特級教師，江蘇省無錫市教師發展學院，郵編：214000）