初中數學相似三角形的應用課例研究

王珺

摘? 要：相似三角形的學習是初中數學課程中的重難點，也是中學生從恒等變換圖形到相似變換圖形學習的一個轉折點，在教學中難度較大。因此文章通過對相似三角形的判定課例設計，旨在讓學生了解相似三角形的判定定理。

關鍵詞：相似三角形;初中數學;判定定理

一、教學任務分析

（一）教材分析

本節內容是滬教版九年級上冊第二十四章第三節“相似三角形”的第一節課，在此之前學生已經對相似圖形、比例線段等相關知識有所了解，因此本節課在學習的過程中起到的是承上啟下的作用，也是對之前全等三角形知識的內容拓展。相似三角形定理1是相似三角形學習的最基本知識之一，這一知識點的學習也能夠為后期的判定定理學習提供一定依據，因此本章的學習尤為重要。

（二）學情分析

此前的教學內容中已經有對相似圖形的教學，本次課程學習也有一定的知識積累。九年級學生對幾何猜想有一定的判定基礎并且能夠進行幾何驗證。在這個階段中，學生具備較強的動手能力，在課程學習過程之中也能夠自主探究。

（三）教學目標

1. 掌握相似三角形的概念，掌握預備定理及判定定理1，并且可以通過這些定理來解決實際數學問題。

2. 能夠根據操作情況完成對于圖形的觀察以及猜想，并且可以通過度量形式來對數學知識進行驗證推理。

3. 能夠積極參與到課堂的學習之中，對數學知識進行探索，感受學習數學知識過程中的快樂。

重點：相似三角形的預備定理和判定定理1。

難點：探究三角形相似的條件。

二、教學流程安排

（一）教學活動流程

階段一：以問題的方式復習相似多邊形的定義，全等三角形的定義，它在形狀上、大小上有何特征;兩個全等三角形的對應邊和對應角有什么關系，平等線分線段成比例定理。

階段二：明確本節課學習目標，學生通過測量法得出相似三角形預備定理。

階段三：由教師具體展示演繹推理過程。

階段四：運用所學知識去解決相似三角形等幾何問題，以小組的形式進行討論與分析，并嘗試寫出推理過程。

階段五：教師引導學生總結出相似三角形判定定理1，并由學生自己整理與小結本節課所學知識。

（二）教學活動目的

1. 教師通過復習，了解學生的掌握情況，為下一階段的教學做好準備。

2. 為證明兩個三角形對應線段比相等進而得出兩個三角形相似作鋪墊。

3. 驗證猜想，結論合理化。

4. 幫助學生理解吸收新知識，應用新知識，提高學生的幾何思維水平。

5. 納入相似三角形知識體系中，擴充學生思維認知。

三、教學過程設計

（一）階段一：信息

問題1：什么叫相似多邊形？

問題2：什么叫作全等三角形？它在形狀上、大小上有何特征？

問題3：兩個全等三角形的對應邊和對應角有什么關系？

師生活動：教師向學生提問。這些問題基本都是之前學習過的內容，大多數學生可以直接回答。學生在前面幾節課中已經學習了相似多邊形的性質和定義，在教師的幫助下可以得到相似三角形的定義。

設計意圖：識別學生對先前知識的熟練程度，通過概念性問題測試他們對概念的理解，將已學知識轉化為本次課程學到的內容，將現有知識作為新知識，成長點自然轉化為他們在這堂課上學到的東西，讓學生感受到今天所學的東西并不陌生，增加學習的信心和興趣，感受幾何語言的正確性。

（二）階段二：定向引導

每個學生準備兩個相似三角形△ABC和△DEF，現移動△ABC，使得∠A和∠D重合，邊AB落在邊DE上，邊AC落在邊DF上，如圖1所示，BC和EF有什么樣的位置關系呢？反之，如果BC∥EF，那△ABC和△DEF相似嗎？接著將△ABC繞著A點旋轉180°，再次求解。

師生活動：學生先觀察，后分組討論，在教師的指導下大膽猜想。根據所學知識，學生獨立回答討論，只有一種方法可以證明兩個三角形相似。相似三角形的概念可以使用先前學到的知識來解釋，分別是平行線分線段成比例定理和性質。分析結束后，選出兩組代表并展示在板書上。

板書之后，教師對內容進行一些簡單分析，學生嘗試將命題進行歸納：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三形相似。

總結出以上結論之后，繼而提出問題在△ABC和△A1B1C1中，已知∠A=∠A1，∠B=∠B1，能證明△ABC和△A1B1C1，相似嗎？

設計目的：學生已經具備較強的動手能力，通過實際動手操作來感受兩個三角形之間的關系，通過直觀感知進行猜想，但直觀的猜想是不夠的，需要從抽象層面提出假設，根據已知條件抽象出幾何問題之后，學生的幾何思維逐漸向抽象層次發展，幾何思維水平逐步從水平-2分析過渡到水平-3抽象。

（三）階段三：顯性化

經過第二階段的定向引導，學生大概可以猜出兩者之間的相似關系，但對于怎樣進行推理演繹還是不清楚的，即使頭腦中有一些思路，也比較混亂，難以梳理，所以在這個階段主要由教師板書演示推理過程，使結論合理化。處于水平-2的學生發展到水平-3，尤其要關注水平-2的學生的轉化，注意適當指導使水平-3的學生也能有所收獲。

師生活動：教師引導學生分析本題思路，在相似三角形證明的問題上，結合剛才學習的相似三角形預備定理，增加了一條證明的思路和依據，由此考慮通過移動其中的一個三角形，構造出具有預備定理的特征的圖形，然后利用預備定理解答。分析過后，小組討論證明過程。教師帶領學生一起詳細作圖，板書演示過程如下：

證明：在射線AB上截取AD=A1B1，再過點D做∠ADE =∠B1，DE與射線AC相交于點E。

∵ AD=A1B1，∠A=∠A1，∠ADE=∠B1

∴ △ADE≌△A1B1C1

∵ ∠B=∠B1

∴ ∠ADE=∠B，得DE∥BC

∴ △ADE ∶ △ABC（相似三角形預備定理）

∴ △ADE ∶ △A1B1C1

此即相似三角形判定定理1：如果一個三角形的兩角和另一個三角形的兩角對應相等，則兩個三角形相似。

設計目的：在課堂上，以學生為主導，學生主動參加到相似三角形的預備定理的探索發現過程中，使其通過對相似三角形判定定理的觀察、猜想、討論、分析和證明過程提高了思維的條理性。在這個階段，教師應參與到他們的分析、證明過程之中，帶領他們一起思考，學生在這個水平基礎上，能夠進行一些簡單的演繹推理，但是推理能力仍比較薄弱，對定理的理解還不夠深入，教師在班級走動的過程中，發現幾何知識薄弱的學生，可適時給予指導，不僅要講授證明的過程，更重要的是幫助學生梳理思路，使學生自然而然地往下一水平過渡。

（四）階段四：自由探索

經過前面的探索發現過程，學生已經初步了解了相似三角形預備定理和相似三角形判定定理1，接下來將知識應用于具體問題中。在這個過程之中，學生會將剛才學習的內容進一步鞏固，同時在學習上的問題也會暴露出來，教師便可根據學生暴露的實際掌握情況，對癥下藥，促進知識的內化吸收。

（1）已知：如圖3，直線BE與DC交于A，∠E=∠C，求證：DA·AC=BA·AE

（2）如圖4，若△DAE經過旋轉、平移、特殊化后，（1）中的結論是否依然成立，如果成立請證明，反之則給出理由。

師生活動：教師和學生一起讀題，由學生自己找出題目中的已知條件和證明問題，先由學生獨立思考，然后小組一起討論、交流思路，在教師的帶領下梳理思路。在例1中，要證DA·AC=BA·AE，只要證明△ADE～△ABC即可。圖形做以下變換后，結論依然成立。在此基礎上，請兩名同學到黑板上進行板書，其他同學在作業本上完成，完成之后，同桌交換進行點評。

證明：（1）∵ ∠E=∠A，∠EAD=∠CAB

∴ △ADE ∶ △ABC（兩角對應相等，兩個三角形相似）

∴ ■=■，即DA·AC=BA·AE

（2）∵ ∠A=∠A，∠ADB=∠ABC

∴ △ADE ∶ △ABC（兩角對應相等，兩個三角形相似）

∴ ■=■，即DA·AC=BA·AE

設計目的：學生已經能夠運用所學知識去解決相似三角形的幾何問題，在梳理了證明思路后能夠獨立完成證明過程的書寫，這就要求學生達到水平-3非形式化演繹水平或水平-4形式化演繹水平，在前面的研究中，只有25.9%的學生達到了形式化演繹水平，所以在此階段教師需要協助較多的學生來共同完成。在這一階段所解決的問題，不僅僅只是定理的簡單套用，更多的是需要深思熟慮之后的靈活運用，因此在這個階段，教師設置了不同難度的練習，由淺及深，引導學生的幾何思維能力穩步提高，不同難度習題的設置，也能滿足不同幾何思維水平學生的需求，使學有所困的學生夯實基礎，使學有余力的同學拓展提高。

（五）階段五：整合

經過前面幾個階段的學習，學生已經掌握了相似三角形預備定理和相似三角形判定定理1，并能將它們進行應用。

師生活動：由學生小結本節課主要學習了哪些內容，有什么收獲，教師或其他同學給予適當補充。

設計目的：學生梳理了本節課的學習內容，加深對本節課的理解，加強知識的鞏固，對本節課學習的相似三角形知識進行全面的評價，內化到自己的知識系統中。

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（責任編輯：淳? 潔）