板材U形彎曲成形理論及有限元仿真分析

夏建生，竇沙沙

（鹽城工學院機械工程學院，江蘇 鹽城 224051）

1 引言

在近代工業急速發展，板料成形技術已成為精密機械產業中降低成本不可或缺的方法。CAD/CAE軟件應用，在計算機上設計建立模型，并利用其高速運算能力進行數值分析來模擬加工情況，可縮短設計時間，比以往實作來試驗產品制造的可能性，大大降低成本，縮短產品生命周期，提高精度，提升產業競爭力。其他普遍應用于日常生活以及工業科技發展，如手術器械、運輸工具、運動休閑器材、3C產品等相關技術至今已應用于醫院、醫療器材，且隨需求日益增加[1]。金屬板材成形過程的數值模擬是一項復雜的研究工作，主要因素有：高度的幾何和材料的非線性關系，模具的作用造成工件大位移、大旋轉、大應變所造成幾何上的非線性運動行為，包含金屬材料的機械性質、模具與材料的摩擦、成形速度以及溫度等因素的影響[2]。

板料彎曲是將板材加壓彎曲成一定曲率、角度與形狀的加工法，是板材成形領域常采用的加工技術，被大量應用于汽車零件、機械結構材和零組件等各種相關工業制品及家電用品上，常見的彎曲有V型、U型及L型等。板料彎曲過程中容易產生變薄、增厚或翹曲變形等問題，無法精確的獲得想要的形狀。文獻[3]以鍍鋅板為對象，發現U型彎曲過程中，考慮摩擦因素下的回彈量和側壁卷曲的現象與模具半徑、模具間隙、加工硬化率和屈服強度成正比。文獻[4]使用有限元素程序分析U形彎曲工藝參數，凸模速度，懲罰函數，阻尼比等，結合正交實驗評估影響回彈量的重要因子，結果得知板材元素大小和圓角半徑為顯著因子。

文獻[5]用NUMISHEET93分析U型彎曲成形問題，分析彎曲后的回彈量，結果發現變化的壓料力可以獲得較佳的成形品質。文獻[6]用增量彈塑性大變形有限元法分析V型彎曲，模擬回彈及馬鞍現象，獲得較好的效果。在增量彈塑性大變形有限元理論研究的基礎上，研究金屬板材U型彎曲過程工藝參數對成形性能的影響，改善成形中的厚度變化及翹曲現象，并用實例驗證，探討相關的改善方法。

2 板料成形理論

2.1 虛功原理

以Cauchy 應力的Jaumann 微分作為構成關系式的應力率，用更新的拉格朗日公式描述彈塑性變形，求得應力應變的虛功原理，如式（1）所示。

式中：—應力σij的Jaumann微分應變率應變張量；虛擬應變率；δLij—虛擬位移；δνi—虛擬速度；f—表面力；V—單位體積單位體積力；S—單位表面積。

2.2 彈塑性本構方程

假設材料具有均勻性與等向性；成形過程不考慮溫度變化影響；材料遵守Von Mises屈服法則，在彈性區域內滿足胡克定律，在塑性變形時遵守Prandtl Reuss流動法則；受等向性應變硬化影響，應變包括彈性應變和塑性應變兩部分，凸模、模具及板材視為剛體；反向卸載不考慮包辛格效應。經過上述假設，本構方程可表示為：

式中：—σij的Jaumann 微分；—彈塑性張量；—總應變率；—彈性模量；f—Von Mises屈服函數；H′—應變硬化率—等效應力。

的矩陣形式表示為：

式中：E—彈性模量；ν—比泊松比，當α=1時為塑性狀態，當α=0時為彈性或卸載狀態。

2.3 有限元分析

有限元分析是將結構離散，劃分為多個小單元的方法。基于大變形應力與應力速率關系和更新拉格朗日公式，有限元變形、材料組成關系、各單元的速度關系式為：

式中：[N]—形狀函數節點速度；[B]—應變率速度矩陣；[M]—速度梯度矩陣。

本構方程可以用增量形式表示：

式中：[K]—整體彈塑性剛度矩陣；{ΔF} —節點移位增量；{Δu} —節點力增量。

用增量法表示第（i）步的Cauchy應力方程：

2.4 摩擦處理

金屬沖壓成形中，工件與模具的接觸與摩擦為復雜問題，假設滑動時之摩擦是遵照庫倫摩擦定律，摩擦相對速度vt分為兩部分，可逆（彈性或黏滯）部分與不可逆（塑性或滑動）部分

在彈性時接觸應力張量與相對速度間之關系如下：

式中：Et—切線剛性分量；En—法線剛性分量。在摩擦的邊界條件下，虛功原理方程式可表示為：

假設摩擦邊界采用節點彈簧模型，有限元方程式表示為：

式中：{ △u} 和{ △ut} —節點位移向與模具位移向量；[Kfr]—摩擦剛性矩陣僅存在于與模具接觸時的節點自由度。

2.5 rmin增量法

以彈塑性大變形有限元素分析的增量法，在每一次時間增量的過程中，板材成形是以其增量開始的坐標為參考基準，采用更新拉格朗日公式的方法，計算卸荷狀態下板料的位移、應變、應力、荷載、回彈值，每一步的荷載增量值由rmin公式進行判斷和控制，方程如下：

式中：r1—最大允許應變增量；r2—最大允許轉動增量；r3—材料屈服判斷；r4—自由節點與模具的接觸位置；r5—接觸節點與模具的分離位置。

3 數值模擬分析

在彈塑性有限元理論基礎上，用NX軟件進行前處理，包括模型建構和網格劃分；將導出的數據文件導入到自編的金屬板材有限元分析程序My?Form分析，分析結果數據導入到NX后處理以圖形方式輸出，輸出內容有凸模負荷、應力與應變、厚度、回彈、翹曲分布等。為了研究不同的工藝參數對成形性能的影響，選取凸模圓角半徑、凹模圓角半徑、模具間隙等參數進行分析，考察這些參數對應力、應變、壁厚及翹曲的影響，并優化出最佳參數。

3.1 材料參數

實驗板料選用中國某鋼鐵公司提供的汽車結構冷軋板（JIS G3134 2006），其材料性能，如表1所示。

表1 冷軋板材料參數Tab.1 Material Parameters of Cold Rolled Sheet

3.2 有限元模型及網格分割

模型含凸模、凹模及壓料圈等三個部分構成。在模擬分析過程中，材料性質設定為等向性材料。首先在NX軟件建立模具及板料的三維模型，再利用NASTRAN Meshing工作模塊進行網格劃分，模具采用三角形元素，假設模具為剛體，受力無變形；板料的網格分割采用四邊形四節點退化殼元素，由于板料的幾何外形具有軸對稱性，取用四分之一分析。

3.3 模擬結果分析

3.3.1 凸模負荷與位移關系

凸模負荷與位移根據行程分三個階段：第一階段（0~15）mm，凸模的負荷急劇上升，主要是由于凸模底部端接觸到板料并帶動向凹模入口處流動變形，導致板料加工硬化增加。第二階段（15~22）mm時，負荷呈緩慢增加，到22mm時達到最大值，原因是板料在滑入凹模圓角時，板料向下滑動同時向中間集中，造成負荷增加。第三階段（22~40）mm，板料脫離凹模圓角時，其流動方向向下，板料與凸模前端及凹模側壁接觸，導致凸模負荷隨凸模沖程增加而下降。凸模負荷與位移關系，如圖1所示。

圖1 凸模負荷與位移關系圖Fig.1 Relationship Between Punch Load and Displacement

3.3.2 應力分布

板料成形過程中，初始應力主要集中在凸模圓角與凹模圓角處。當沖程H=12mm時，應力集中區域主要在凸模圓角處，板料底部也稍微有應力集中現象。隨著沖程的增加，板料與凸模圓角接觸區域的彎曲力矩大，產生應力集中現象；部分應力均勻分布于板料側壁。當沖程H=35mm板料脫離壓料板后，翹曲應力集中現象逐漸消除，板料側壁應力分布均勻。分析各項參數影響對應力影響得出：應力隨著凹模圓角半徑、隨模具間隙和板料厚度增大而增大，凸模圓角半徑和摩擦系數對應力影響不大。板料的應力分布，如圖2所示。

圖2 板料應力分布圖Fig.2 Sheet Stress Distribution

在板料整個成形過程中，板料厚度會發生一定的變化。在沖程H=12mm時，板料較容易在凸模圓角半徑處產生變薄，而進入凹模過程中，在經過凹模圓角半徑時，受模具完全壓緊產生摩擦力影響，材料無法順利流動，其流動方向產生變化，板料會產生向兩側圓角中心處擠壓而增厚；當沖程H=20mm板料厚度出現最薄值；當沖程H=35mm時，板料出現增厚現象，最大厚度值出現在板料的兩端圓角處。經過分析，各項參數對厚度影響為：變薄區域隨凸模圓角半徑增大而增大，隨凹模圓角半徑增大而越小；模具間隙、摩擦系數則對厚度分布影響不大。板料厚度分布，如圖3所示。

圖3 厚度分布比較圖Fig.3 Thickness Distribution Comparison Chart

3.3.3 翹曲分析

在成形過程中，U型彎曲沿著Y軸的翹曲量不同，其變化，如圖4 所示。可以看出：翹曲形成最主要是在沖程H=0.0mm 到12.0mm 之間，隨后翹曲量增幅減緩。沖程H=9.0mm 時，翹曲量為2.13mm；沖程H=12mm 時，翹曲量為3.64mm；沖程H=40.0mm時，翹曲量為4.70mm；卸載后的翹曲量為4.72mm。翹曲原因是凸模向下移動使板料進入凹模，受到凹模拘束使板料沿著凸模側壁貼合動作，導致在曲線轉折處產生了反向作用力，迫使凸模底部的板料外翻造成翹曲現象。

圖4 不同沖程下翹曲量圖Fig.4 Warpage under Different Strokes

不同沖壓參數對翹曲影響：固定凸模圓角半徑，凹模圓角半徑越小翹曲量越好；固定凹模圓角半徑，凸模圓角半徑越大翹曲量越小；模具間隙對翹曲影響不大。如圖5所示。

圖5 翹曲和回彈量分析Fig.5 Analysis of Warpage and Springback Angle

在有限元仿真后，對板料進行了沖壓實驗測量，在相同的參數下對厚度和翹曲量進行了測量，其中厚度采用尖頭式分厘卡，測量板料的長軸方向來測量斷面厚度值；翹曲量用游標卡尺測量，如圖6所示。通過實驗數據的對比，實驗與模擬的變化趨勢是一致的，其中誤差率控制在5%以內，證明了本增量有限元模擬方法的有效性。

圖6 產品驗證圖Fig.6 Product Verification

4 總結

采用Prandtl Reuss流動法則與Von Mises的屈服條件，結合有限變形理論及更新的拉格朗日法建立增量彈塑性大變形有限元素分析，結合四邊形四節點退化殼元素所推導的形狀函數耦合到剛性矩陣中，以廣義rmin法則進行判斷，結合U型彎曲進行成形分析，探討其所產生的翹曲現象，并配合不同的參數獲得改善翹曲最佳參數，并進行實驗驗證結果一致，結論如下：

（1）前段應力主要集中在模具圓角處，隨著沖程移動到凹模入口與板料側壁處，應力分布均勻。應力隨著凹模圓角半徑、模具間隙越和板料厚度的增大而增大。（2）板料在凸模底部圓角處發生變薄，在板料的長軸末端發生增厚。變薄區域隨著凸模圓角半徑增大被變薄區域增大、而隨凹模圓角半徑增大被變薄的區域減小。（3）翹曲通常出現在凸模的圓角與凹模的圓角相切的時候，而后增幅變緩，翹曲應力集中的現象逐漸消除。（4）凸模圓角固定下，凹模圓角越小翹曲量越小；其次凹模圓角固定下，凸模圓角越大翹曲量越小。