考慮初始殘余應力的電梯導軌校直研究

毛慧俊，周自強

（1.常熟理工學院機械工程學院，江蘇 常熟 215500；2.蘇州大學機電工程學院，江蘇 蘇州 215000；3.江蘇省機電產品循環利用技術重點建設實驗室，江蘇 常熟 215500）

1 引言

電梯導軌在使用時會由于過載、沖擊等原因發生塑性變形，影響電梯運行的平穩性，此時就需要更換新導軌或對導軌進行再制造使其使其恢復使用前狀態即可繼續使用。目前主要針對加工過程的電梯導軌進行校直與殘余應力研究，不考慮導軌的初始應力狀態，文獻[1?2]利用仿真數據建立神經網絡模型，對校直行程進行預測，并對導軌多段校直進行了研究；文獻[3]推導導軌校直后截面的殘余應力分布公式；文獻[4]利用ANSYS軟件對電梯導軌輥式矯直后的殘余應力進行了仿真研究。在導軌再制造的校直過程中，除了需要考慮初始撓度外，還需要考慮初始殘余應力對校直過程的影響，目前也有一些針對初始殘余應力情況下的校直研究，文獻[5?7]對輥式矯直中理想彈塑性材料的二次反彎特性進行了研究，文獻[8?9]推導了輥式矯直中二次彎曲的M?C特性，并研究了初次彎曲歷史對二次彎曲的影響。但這些研究通常針對矩形截面進行理論推導，目前還沒有針對T型導軌在考慮初始殘余應力情況下的校直理論研究。

為研究初始殘余應力對導軌校直的影響，并將其用于自動化校直設備的參數控制，以側彎導軌的三點反彎校直為例，將其分為兩個過程：彈塑性彎曲變形過程和反彎校直過程。側彎變形過程基于三點彎曲理論模型，對導軌在使用過程中產生的塑性變形及殘余應力進行分析，而反彎校直過程則是對具有初始殘余應力的導軌校直進行彈塑性理論分析，確定初始殘余應力對導軌校直的影響程度。

2 電梯導軌側彎變形的殘余應力計算

2.1 彈塑性力學分析的基本假設

電梯導軌的彎曲變形是一個彈塑性過程，符合彈塑性力學原理，在進行理論分析前做出以下假設：

（1）材料模型假設：導軌的材料模型為線性強化模型。

（2）單向應力假設：認為在彎曲變形過程中截面只受到彎曲正應力，而忽略其他應力的影響。

（3）無初始變形及殘余應力假設：認為電梯導軌在使用前不存在初始殘余應力，在使用過程中由于過載等情況造成導軌彎曲變形。

（4）不考慮包辛格效應的影響。

2.2 參數設定

電梯導軌一般由軌頭、軌腰和底板三部分組成，其截面參數，如圖1所示。

圖1 電梯導軌截面參數及應力分布Fig.1 Sectional Parameters and Stress Distribution of Elevator Guide Rail

在進行彈塑性力學分析時，通常為了簡化理論模型而采用無量綱參數。設定彈性極限彎矩為Me，彈性極限曲率為Ce，截面彈性區高度為He，截面所受彎矩為M，彎曲曲率為CM。定義量綱一化后的參數如下：塑彎比彎曲曲率比C=CM Ce=1ξ；相對高度z=2h H，h為纖維層距中性層的高度，取值范圍為[?1，1]。

2.3 側彎變形過程的加載和殘余應力分布

由于導軌初始狀態的殘余應力為0，此過程為簡單彈塑性彎曲過程。電梯導軌在側彎過程中截面關于中性層對稱，應力分布也關于中性層對稱，由線性強化材料模型可知截面應力分布，如圖1所示。

設材料的彈性模量為E，屈服強度為σs，強化系數為λ，則導軌彎曲變形的加載應力分布方程為：

式中：z—相對高度；C1—彎曲變形時的曲率比。

針對小變形導軌，塑性變形一般不會發生在導軌的軌腰和軌頭位置，而只會發生在導軌的底板部位，根據文獻[10]可知，導軌的加載彎矩表達式為：

側彎變形過程的塑彎比為：

彎曲曲率比C1=1ξ1，則彎曲變形過程中的?C1關系為：

電梯導軌的回彈過程是一個彈性過程，相當于在截面上施加了一個?M1大小的彎矩。其卸載后的殘余應力應視為加載應力σ1與回彈應力σr1的線性疊加，即：

回彈應力σr1是由?M1大小的彎矩形成的彈性應力，其分布函數為：

卸載后截面的殘余應力分布函數為：

彎曲過程的加載應力分布和卸載后的殘余應力分布，如圖2所示。

圖2 彎曲變形的截面加載應力和殘余應力分布Fig.2 Loading Stress and Residual Stress Distribution in Section of Bending Deformation

2.4 側彎變形過程撓度的數值求解

在三點反彎校直中，一般采用位移控制法控制校直壓頭的下壓行程達到校直的目的，避免測量曲率帶來的誤差。若側彎變形時彎曲曲率CM1=C1Ce，其中彈性極限曲率Ce為：

代入后得CM1為：

設導軌長度為L，彎曲變形時的撓度曲線為u（1x），（0 ≤x≤L），導軌回彈后的殘余撓度曲線為uc（1x），截面x處的所受彎矩為M（1x），曲率比為C（1x），由彈塑性力學中的曲率微分方程可知，彈性段撓度曲線微分方程為：

塑性段撓度曲線微分方程為：

式中：u（1x）和uc（1x）—彎曲曲率比C（1x）的函數，一般通過直接積分法或數值法求解微分方程組，由于直接積分法計算困難，可通過數值差分法求解方程得到u（1x）和uc（1x），并計算u1（L/2）和uc（1L/2）得到加載撓度u1和殘余撓度uc1。

3 考慮初始殘余應力的反彎校直分析

在電梯導軌存在初始殘余應力的情況下，截面的應力分布不再滿足簡單彈塑性彎曲過程的應力關系，屬于復雜彈塑性彎曲過程。令反彎校直的初始撓度u0=uc1，初始殘余應力σ0=σc1。

3.1 初始殘余應力條件下的二次加載應力分布

設反彎校直時截面所受彎矩為M2，反彎曲率比為C2，則反彎校直時截面的加載應力分布為初始殘余應力σ0與反彎校直的彎曲應力σM2的線性疊加。由于彎曲變形過程與反彎校直過程的加載方向相反，故：

反彎校直過程中的加載應力分布函數為：

（1）當ξ2≥ξ1時，為1類應力分布：

根據函數的連續性條件，求得ξ2為：

反彎校直的彎矩M2為：

由于不考慮包辛格效應的影響，反彎校直時彈性極限彎矩Me不變，此時截面的塑彎比=M2/Me。

（2）當ξ2<ξ1時，為2類應力分布：

根據函數的連續性條件，求得ξ2為：

此時反彎校直彎矩M2為：

可以看到，不管反彎校直時截面應力分布σ2屬于哪種情況，此時ξ2不再是簡單彈塑性彎曲過程與C2成反比的關系，而是受到歷史彎曲的影響，是C1和C2的函數，則彎矩比也是C1和C2的函數。

（3）應力分布邊界

當ξ2=ξ1時，即為兩種應力分布情況的邊界條件。此時ξ2既滿足情況1），又滿足情況2），則：

求得C2與C1的關系為：

可以明顯的看出，若截面要達到2類應力分布條件，反彎曲率比C2要大于彎曲變形曲率比C1。

3.2 初始殘余應力條件下卸載后的殘余應力分布

反彎校直卸載后的殘余應力與側彎變形時的殘余應力相似，由于反彎校直卸載時回彈應力σr2方向與σ1相同，則截面的殘余應力σc2為：

反彎校直過程截面的加載應力分布和殘余應力分布，如圖3所示。

圖3 反彎校直截面的加載應力和殘余應力分布Fig.3 Loading Stress and Residual Stress Distribution in Section of Bending Straightening

3.3 反彎校直過程的M-C與u-C關系

為研究反彎校直過程的M?C關系與u?C曲線，首先需要確定C2與C1的關系，進而確定反彎校直的應力分布情況。若反彎曲率比C2=C1，則截面的彎曲曲率CM2=CM1，由此可得u2=u1，此時應力分布函數為1類應力分布，可以得出在[?ξ，ξ]區間內加載應力σ2<σ1，則反彎彎矩M2uc1。

若要達到校直目的，C2滿足的條件為：uc2=u0，又因為u0=uc1，故uc2=uc1。因此，反彎校直需滿足C2

設導軌反彎校直時加載撓度曲線為u（2x），卸載撓度曲線為uc（2x），u（2x）與uc（2x）建立的微分方程組也可通過數值差分法求解，進而得到反彎校直行程u2和殘余撓度uc2。

4 基于有限元的算例對比與分析

以T75導軌為例，對上述理論殘余應力分布、M?C模型和u?C數值求解模型進行分析，并通過有限元仿真驗證理論模型。設導軌長L=500mm，截面參數為：B1=8，B2=24，B3=30，H=75，H1=8，H2=10，彈性模量E=205GPa，屈服強度σs=235MPa，線性強化系數λ=0.0173。

4.1 理論殘余應力分布和有限元仿真模型的對比

設定彎曲曲率比C1=4.79，反彎曲率比C2=4.79，求得塑彎比：

在ABAQUS 仿真軟件中建立導軌的三維模型，首先模擬導軌的彎曲變形過程：在導軌中點處加載u1后卸載；然后模擬反彎校直過程在導軌中點處反向加載u2后卸載，得到反彎校直的殘余應力場。導軌中點處截面應力分布圖，如圖4所示。

將理論殘余應力分布與有限元模型進行對比，如圖5所示。

圖5 有限元模型和理論模型的殘余應力對比Fig.5 Residual Stress Comparison between Finite Element Model and Theoretical Model

可以看到，理論模型的側彎最大殘余應力約150Mpa，校直后最大殘余應力約100MPa，與有限元模型結果基本一致。同時，可以看出在考慮初始殘余應力的情況下校直后殘余應力更小。

4.2 反彎校直過程的2 ?C2與u-C曲線

圖6 反彎校直的?C2曲線Fig.6 2 ?C2 Curve of Reverse Bending Straightening

當C1=1時，彎曲變形過程未進入塑性，彎曲變形歷史將不對反彎校直過程產生影響，此時的曲線一致。 當值和 應 力分 布 邊 界對應 的C2值，如表1所示。

表1 側彎變形的截面-C1值

表1 側彎變形的截面-C1值

C1 M 1應力分布邊界的C2 4.791.598.06 5.861.6310.19 7.291.6913.02 8.111.7114.65

反彎校直過程的uc2?C2曲線，如圖7所示。其反映了截面的殘余撓度和曲率比的關系。

圖7 反彎校直的uc2?C2曲線

當C1=1時，uc2?C2曲線與uc1?C1曲線一致，當C1>1時，隨著C1的增大，相同C2下對應的uc2更大，因此，應該減小反彎校直時的曲率比C2和校直行程u2。

在ABAQUS 中對導軌進行彎曲變形和反彎校直仿真，并計算u1、uc1、u2和uc2，將其與理論值進行對比，如表2所示。

表2 u1、uc1、u2、uc2的理論值和仿真值Tab.2 Theoretical and Simulated Values of u1，uc1，u2 and uc2

從表中可以看出，理論模型比仿真值略大，但在合理誤差范圍內。

4.3 反彎校直曲率比C2和校直行程u2的求解

由以上結論可知，若彎曲變形曲率比為C1，為滿足校直要求，需滿足uc2=uc1。由此求得C2?C1曲線，如圖8所示。

圖8 反彎校直的C2?C1曲線Fig.8 C2?C1 Curve of Reverse Bending Straightening

從圖8中可以看出，若要達到校直目的，C2與C1基本成線性關系。

由于彎曲變形與反彎校直實際上是相反的過程，若初始彎曲撓度u0=uc1，在不考慮初始殘余應力時校直行程u=u1，在考慮初始殘余時校直行程u=u2，且滿足uc2=uc1。理論校直行程u1、u2和仿真結果，如圖9所示?？梢钥吹剑瑄2的理論和仿真值均比u1小0.1mm左右。

圖9 反彎校直的u?u0曲線Fig.9 u?u0 Curve of Reverse Bending Straightening

5 結論

（1）若要達到校直目的，則曲率比C2