雙軸同步運動系統滑模PID交叉耦合控制

田 昊，唐道鋒，宋玉寶，盧翔宇

（中國空氣動力研究與發展中心低速空氣動力研究所，四川 綿陽 621000）

1 引言

雙軸同步運動系統被廣泛應用于數控機床、機器人、汽車、船舶等工業領域[1]，隨著工業技術的發展，對系統的位置控制精度及控制性能提出了更高的要求。雙軸同步平移機構作為雙軸同步系統的主要形式，雖然采用雙軸平行驅動，但在進給過程中，摩擦力等負載參數變化，負載不平衡等因素會導致較大的同步誤差[2]。為了提高類似雙軸系統的位置控制精度，研究同步控制策略具有重要的現實意義。

由于大多此類雙軸系統軸間存在著機械耦合關系，因此針對此類問題，應采用交叉耦合控制策略[3]。通過同步誤差在線計算雙軸補償增益，并輸入至單軸控制回路，以減小同步誤差，提高同步性能。此外，許多研究通過改進數學建模、采用傳統PID 控制[4?5]等手段提高同步控制精度，并將參考自適應控制[6]、迭代自學習控制[7]、神經網絡控制[8]、預測控制[9]等先進控制理論與交叉耦合控制相結合，以增強系統抗擾能力。

以上方法中，除傳統PID控制外，其他方法都存在實現復雜等不利因素。傳統PID 控制雖然實現簡單，但也存在對參數敏感，抗擾能力差等問題。滑模控制[10]根據系統當前狀態設計切換面，通過滑模控制器使得系統狀態向切換面收束，并最終沿切換面運動，對系統參數變化和外界干擾具有很好的適應性。因此將滑模控制與PID控制相結合，以實現高精度同步控制。

將滑模PID控制與交叉耦合控制相結合，根據單軸誤差和雙軸同步誤差，同時采用采用交叉耦合控制和滑模PID控制求解各軸速度補償量，并采用指數趨近律的控制方法，以消除滑模控制存在的抖振問題。該策略能有效提高雙軸協調性能和系統同步控制精度。

2 系統結構及控制系統設計

2.1 系統結構

雙軸同步平移機構結構，如圖1所示。左右兩臺電機通過齒輪箱減速后利用滾珠絲杠分別驅動左右兩組滑塊進行直線運動，從而帶動中間平臺平移。機構兩端位移通過與絲杠同軸的多圈絕對值編碼器反饋。左右兩側電機、編碼器及傳動機構都采用相同型號產品。

圖1 機構結構圖Fig.1 Structure of Mechanism

2.2 控制系統設計

根據機構雙軸之間在結構上存在交叉耦合的特點，設計控制系統結構，如圖2所示。

圖2 控制系統結構圖Fig.2 Structure of Control System

圖中：Pg—雙軸給定位置值；P1和P2—雙軸當前實際位置；e1和e2—雙軸當前誤差；εc—雙軸耦合同步誤差；ωg1和ωg2—雙軸轉速給定；C1和C2—求取同步誤差時雙軸誤差轉換。

3 耦合同步誤差與電機傳遞模型

3.1 耦合同步誤差

根據圖2可知雙軸耦合同步誤差為：

因此，需確定雙軸誤差轉換關系C1和C2。根據該雙軸聯動機構特點，取各軸測量點連線中點作為同步誤差計算參考點，即平臺同步誤差εc為該參考點實際位置與給定位置在運動軸線上的距離。

考慮機構中間平臺為剛體，兩端位移差不應導致其產生形變，只會使其沿運動方向發生整體偏轉，耦合同步誤差原理，如圖3所示。圖中，P—同步誤差計算參考點；l1和l2—平臺實際參考邊被理想參考邊分割后的兩部分長度。

圖3 耦合同步誤差原理Fig.3 Schematic of Coupling Synchrous Error

當為圖3（a）情況，即兩軸實際位置同時大于或小于給定位置時，能得到：

當為圖3（b）情況，即其中一軸實際位置大于給定位置，另一軸實際位置小于給定位置時，根據圖中幾何關系，可得：

式中：l—平臺參考邊長度，l1和l2可根據前兩式求解，將式（3）聯立

求解可得耦合同步誤差：

根據式（2）和式（4）確定雙軸誤差轉換關系C1和C2。

3.2 電機傳遞模型

根據電機電樞回路電壓平衡方程、電磁轉矩方程及電機轉子轉矩平衡方程[11]，有：

式中：u（at）—電機電樞電壓；La、Ra—電樞電感和電阻；Ce—反電動勢系數；i（at）—電樞電流；θm（t）—電機轉子角位移；Mm（t）—電機轉矩；Cm—電機轉矩系數；Jm—電機和傳動機構折合到電機軸上的轉動慣量；fm—電機和負載折合到電機軸上的摩擦系數；M（ct）—負載轉矩。忽略電樞電感La和電機軸摩擦fm，將式（5）聯立求解可得：

將式（6）進行拉普拉斯變換可得：

根據式（7）得到電機角位移與電機電壓之間的傳遞關系。根據機構傳動形式，可得機構直線位移與電機角位移對應關系為：

式中：P（t）—直線位移；p—絲杠導程；n—齒輪箱減速比。同時電機電樞電壓與電機給定轉速ω（gt）之間可近似為：

根據式（8）和式（9），可將式（7）轉換為：

式（10）即為機構直線位移與電機速度之間的傳遞關系。設：

有：

4 滑模PID交叉耦合控制器

滑模變結構控制是基于控制率和變換結構在滑模面上的不連續性，迫使系統按照一定的到達條件進行滑模運動。由于滑模面一般固定，并且滑模運動的特性是預先設定的。因此，系統受參數變化和擾動的影響較小，具有很好的魯棒性[12]。滑模控制包含以下兩個要素[13]：（1）設計切換函數s，即尋求切換面；（2）設計滑模控制率u（x）。

4.1 滑模控制器設計

滑模PID控制通過引入PID切換面針對單軸誤差進行速度給定修正，由于雙軸位置給定相同，因此通過改善單軸跟蹤性能也能獲得軸間全局漸進穩定。以軸1為例，設計切換函數為：

式中：kp1—軸1比例系數；ki1—軸1積分系數；kd1—軸1微分系數；e（1k）—第k次補償時的單軸誤差；e（1k?1）—第k?1次補償時的單軸誤差。

暫時不考慮趨近律的影響，當=0時，滿足到達切換面的理想滑動條件，可得：

同理可得：

考慮軸1和軸2理論參數相同，控制目標一致，因此kp2、ki2和kd2可與軸1對應參數取相同的值。據式（12）和（14），可得：

可得軸1速度控制率為：

4.2 交叉耦合控制

以上直接根據單軸誤差分別進行控制的方法，未考慮軸之間的耦合關系，屬于并行控制。當單軸出現擾動時，軸間同步無法得到保證。但如果只針對式（2）或式（4）計算出的同步誤差進行交叉耦合控制，運動過程中可能出現同步誤差為0，而單軸誤差不為0的情況，因此應結合單軸誤差與同步誤差進行速度給定修正。

可在針對單軸控制的滑模PID函數基礎上根據耦合同步誤差補充設計一個線性切換函數，即將交叉耦合控制設計為P控制器，能同時針對單軸誤差和耦合同步誤差進行控制。切換函數為：

單軸控制率為：

式中：j—單軸代號，j=1，2。

4.3 趨近律控制

滑模變結構控制的最大缺點就是滑模切換時會出現抖振的情況，原因包括系統的慣性作用、測量誤差、離散系統的準滑模等。抖振會使系統產生穩態誤差，能量消耗增加，甚至出現控制失效的情況[14]。趨近律控制算法通過控制系統運動點向切換面運動的速度，可有效減小抖振[15]。本系統采用指數趨近律控制方法，即：

式中：ε、k—正常數；sign—符號函數。通過減小ε以減小慣性作用，從而減弱抖振；通過調整k調節系統到達切換面的時間。按照趨近律控制，則單軸控制率相應調整為：

同時，為保證調節輸出的有效性，以及式（9）近似關系的成立，相鄰兩次輸出之間變化量應不超過角加速度與調節周期的乘積，即：

式中：a—電機角加速度；Ts—調節周期。

5 實驗與分析

為驗證控制方法的有效性，對雙軸同步平移機構分別采用普通PID控制方法與滑模PID控制方法以及滑模PID交叉耦合控制方法的直線運動位移數據進行對比分析。

5.1 實驗平臺與條件

可根據以上參數計算負載轉矩Mc。

實驗平臺采用西門子PLC 317?2 PN/DP型CPU作為控制系統的主控制器，通過各軸電機自帶編碼器和與機構同軸的多圈絕對值編碼器分別對各軸速度和位移進行測量并換算。上位機軟件采用LabVIEW開發平臺，PLC控制軟件采用SIMATIC Step7開發平臺，使用LAD（梯形圖）編寫。

根據機構和電機選型，相關實驗條件參數，如表1所示。

表1 實驗相關參數Tab.1 Parameters of Test

另根據電機編碼器10位分辨率，機構編碼器單圈13位分辨率，由表中機構參數可知，直線速度分辨率為0.0028mm/s，位移分辨率為0.00035mm。

5.2 實驗結果與分析

分別采用普通PID控制方法與滑模PID控制方法以及滑模PID交叉耦合控制方法對機構定位運動過程的雙軸位移差進行比較。為便于觀察，截取其中10s的運行數據進行對比，其中給定速度為10mm/s時數據曲線對比，如圖4所示。給定速度為20mm/s時數據曲線對比，如圖5所示。

圖4 10mm/s時同步誤差對比Fig.4 Comparison of Synchronous Erro（rv=10mm/s）

圖中：PID—普通PID控制；SMPID—滑模PID控制；SMPID+CC—滑模PID交叉耦合控制。

從圖4 和圖5 曲線對比圖可以看出，滑模PID 控制較普通PID控制能減小位移同步誤差最大波動量，消除明顯的誤差尖峰值，系統抗擾動能力得到增強；滑模PID交叉耦合控制能進一步減小同步誤差整體波動范圍，提高系統雙軸同步性能。

圖5 20mm/s時同步誤差對比Fig.5 Comparison of Synchronous Erro（rv=20mm/s）

為便于比較，對相關運行數據進行計算統計，給定速度為10mm/s時統計結果，如表2所示。給定速度為20mm/s時統計結果，如表3所示。

表2 10mm/s數據統計對比Tab.2 Statistics Results（10mm/s）

表3 20mm/s數據統計對比Tab.3 Statistics Results（20mm/s）

其中同步誤差平均值反映了實際誤差值整體偏離理想誤差值（0）的大小。從統計結果可以看出，三種方法中，雖然兩種滑模PID控制較普通PID控制，誤差均值有所增加，但整體控制在um量級，仍然接近0，對同步性能影響不大。

同步誤差最大值反映了同步誤差最大波動量的情況。從統計結果可以看出，滑模PID控制較普通PID控制位移同步誤差最大值減小量達到（30～50）%，滑模PID交叉耦合控制較滑模PID控制誤差最大值減小量為40%左右，滑模PID控制與滑模PID交叉耦合控制較普通PID控制均能大幅減小同步誤差最大值。

同步誤差均方差值反映了同步誤差整體波動量偏離均值的情況，即整體波動量的大小。從統計結果可以看出，滑模PID控制較普通PID控制對位移同步誤差均方差值減幅較小，優化效果不明顯，但滑模PID交叉耦合控制較滑模PID控制位移同步誤差均方差值減小量超過35%，滑模PID交叉耦合控制較普通PID控制能大幅減小同步誤差整體波動量，提升雙軸整體同步性能。

6 結論

這里針對雙軸同步系統，將滑模PID控制與交叉耦合控制相結合。針對單軸誤差和雙軸同步誤差，利用滑模PID控制和交叉耦合控制共同求解各軸速度補償量，并采用指數趨近律的控制方法，以消除滑模控制存在的抖振問題。最終使位移同步誤差最大值減小量達到（60～70）%，均方差值減小量超過35%，有效減小了同步誤差最大波動量和整體波動范圍，提高了雙軸協調性能和系統同步控制精度。